摘要：放缩法是一种重要的数学方法.本文从放缩的方式，目标和适度三个方面举例说明其应用，放缩法对证明不等式，求极限和级数敛散性等的问题十分有效.
　　关键词：放缩方法;放缩目标;放缩的适度问题
　　 1 放缩的方法
　　 解题中采用什么方法来实现放缩？下面介绍几种方法.
　　 1.1 舍、添恒正或恒负的项
　　 在有关变形中，有时需要舍添某些项，如果舍添某些项的符号是确定的，那么其值被放大或缩小，这是一种常见的放缩方式.
　　 例：证明级数 收敛
　　 证：由，有
　　 =
　　
　　      =
　　 于是，，只要取，当时，，有
　　
　　 根据柯西收敛准则，级数收敛.
　　 由上例可以看出，是通过舍恒正的项来达到放大的目的从而顺利解得此题。可见，放缩法对解决级数敛散性的问题有一定的帮助.
　　 1.2 舍、添恒大（小）于1的因子
　　 类似于舍、添恒正负项，舍、添大（小）于1的因子也是放缩法常用的方法之一，最为常见的是利用三角函数的有界性.
　　 在证明或判断级数敛散性时，可利用和的性质，这就是放缩法中舍、添恒大（小）于1的因子的方法.
　　 1.3 换元以较大（小）的项（数）
　　 这种方法是前两种方法的推广，将某项（数）换成较大（小）项（数）即可.
　　 例：判别级数的敛散性.
　　 解： 时，
　　       ，
　　 收敛，故原级数收敛.
　　 此种方法比较灵活，在解题的过程中要灵活的运用.
　　 1.4 利用函数的单调性
　　 先确定某函数在特定空间的单调性，然后将该区间中某点处的函数值换成该区间中另一点处的函数值.
　　 2 放缩的目标
　　 从上面一些例子看出，恰当地使用放缩，往往能使问题解法简捷，但是放缩并不是随意进行的，它总是为了某种需要，因此，进行放缩变形时，首先应明确放缩的目标.
　　 2.1 便于运用公式。某些对象本身不好直接运用公式，但是其间却又含有某些公式的“影子”，因此，我们可把它调整到与公式结构相同的形式，而其调整过程往往就是放缩。
　　 2.2 便于约分。通过放缩，使某些分式的分子，分母能够约去若干因子，以此达到化简的目的。
　　 2.3 便于裂项。裂项相消（即分成某个数列中连续两项之差）是数列求和中的一种常用技巧，如果放缩后的式子能够进行差分，那么，通过两两抵消，可以使式子化简。
　　 例11 证明：数列收敛，其中
　　 证明：，取，当时，有
　　        =
　　
　　              =
　　 由柯西准则 {}收敛.
　　 2.4 便于消元。在多元不等式中，可将某些变元换作同一变量，以此达到消元的目的。
　　 3 放缩的适度问题
　　 由上面的讨论可知，在放缩变形中，既要找到放缩的根据，又要紧扣放缩的目标，这样才能使放缩无误而又不失其作用，但是，仅仅只注意这两点还是不够的.
　　 例15 求证： （）
　　 分析：如果按下面的方法
　　
　　                       =
　　                       =
　　 只能證得左边，其中放缩的根据以及放缩的目标，便于裂项都是恰当的，但却证不出所要的结果，究其原则，就是放缩前后的“差值”过大，这就是所谓的放缩的适度问题.
　　 上题中，只要对上面的证法稍加修改，即可完成证明
　　 ，，，，，
　　 于是
　　 从上面的例子可以看出，在使用放缩法时，如果按通常的方法放缩不出所要的结果，则必须调整放缩的“宽度”，使其达到目的，这里调整也没有统一的办法，常常因题而异.
　　
　　 参考文献：
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　　[5]程涛，曹建莉.放缩法在高等数学教学中的应用[J].高等函授学报，2010（23）：14-15.