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摘 要:作为高中教师,一题多解,多题一解已经不能满足学生的需求,用高等数学的思想、观点和方法来指导中学数学教学实践,沟通高等数学与初等数学的内在联系,指导学生进行研究性学习,培养学生的探究精神与创新能力,将是新形势下中学数学教学追求的一个新的目标,本文旨在通过一道高考真题从初等解法到高等解法的过渡,传递这一思想。
关键词:高等数学;高考试题;函数;导数
函数思想与方法是我们认识客观世界的重要武器,而导数是研究函数的重要工具,导数又是与高等数学衔接的知识,所以高考数学很重视导数的考察。近年来,以高等数学知识为背景的导数综合题在高考中频繁出现,一般所占分值大约十几分。细细品味题目背后的故事,会别有一番趣味。
下面笔者就2014年高考新课标II卷理科数学的导数试题进行评析,与大家分享。
(2014全国新课标II理数21)已知。
讨论的单调性。
设,若有,求的最大值。
已知,估算的近似值(精确到0.001)。
该题可以说是近几年高考中难度最大的。2014年吉林省15万左右的考生,做上此题者屈指可数。当年全省最高分149分(估计大多错在该题的第三问);而到了2015年高考时,全省数学满分150分竟然有三十多个,可见当年这道题的难度。
一般来说第一问都是送分的,故此问解答略去,但是导数题一般布置的非常微妙,对第二问肯定有作用,而第三问一般都要用到第二问的结论,一着不慎满盘皆输,所以导数压轴题的特点可以用四个字来概括----步步惊心。
接下来分析第二问,
法一 分类讨论
此处因式分解也是需要深厚的功力。分类讨论思想在导数中是经常用到的,有时同学们不知道什么时候开始讨论,其实不用刻意为之,让讨论来的自然一些。
(1)当时,,等号仅当时成立,所以在单调递增,而,所以对任意,;
(2)当时,若满足,即时,而,因此当时,。
综上,的最大值为2。 其实,这种求参数的取值范围题型,除了分类讨论之外,很容易让学生想到用分离参数的方法,研究发现利用分参法不能解决出现了“”型的式子,而这就是高等数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。
法二:洛必达法则
由(1)得,当时,恒成立;
,实现分离参数的目的;构造一个新函数
设;只需求出即可;
再构造函数
因为,,即,在上单调递增;
即,在上单调递增;的最小值为,出现,由洛必达可得
即;所以。
当然,用洛必达法则来做此题,思路非常清晰,回避讨论。
最后分析第三问,最吸引人之处是第三问,我先给出国家考试中心给的参考答案:
由(Ⅱ)法一知,。
当时,,;
当时,,
,所以的近似值为0.639。
参考答案如此简洁,简洁的让人看不懂!那2个b 来的太突然了!!!稍安勿躁,我们慢慢破解:
法一 :由(2)得 中,我们想要出现,还要出现ln2 ,这就要找到一个合适的x,因此 令,
得,即,
化简并移项得
,这便估算了的下确界。
其实对下确界的估计比较容易想到,而对上确界的估计较难理解。事实上,我们再次感受一下“步步惊心”:在第(2)问解法一中便已为第(3)问的上确界估计做了准备,并采用了相应的方法,如果考生在较为简单的第(2)问中采用采用解法二或其他方法,便很难估出上确界。可见游戏还没结束前,还不知谁能笑到最后。
让我们继续进行解题大业,由第(2)问解法一得
若,则时有,而,故此时若,则。
取,令,则,故
,化简并移项得,这便估算了的上确界。
此外,上确界估计中的不是凭空构造而出,而是由解出的。
至此,我们证明了,由四舍五入的原则,的近似值为0.693。
这个解法一较为复杂,导致本应较为简单的新课标II卷因此题而难度凸现,考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下,我们试图再追寻其他解法。
法二:高等数学中定积分解法
注意到,故,这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。,由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。
由在上单增知下凸函数,故。
取直线,其中,将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形,这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积,即的值。用表示第个小曲边梯形的面积,
则。至此,我们便求出了解法一中较为棘手的上确界(这里只计算了20项,看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦),接下来可以参考解法一的下界求法,
也可以用求得,但这里的放缩过宽,分割成20份达不到题目要求的精度,需分割为几百份,这个度很难把握,不适合在考场上使用。
这相比前一个方法简单不少,但是需要高等数学的知识。本题还有很多初等数学解法,还有这里就不一一列举了。
此处肯定有同学会问,不会高等数学怎么办?那就用解法一;用高等数学解法高考给分吗?吉林省数学阅卷组长吉林大学数学学院李院长曾说:在数学里,不错就是对。
其实,类似这样的题目还有很多,比如2008年全国卷II,2010年全国卷II,2013年辽宁理科,2014年全国卷II。可以这样说,从2006年起全国卷就一直在朝这个方向出题,而且在2014年达到顶峰,好几个省压轴题都有高等数学的背景,洛必达法则,拉格朗日中值定理,泰勒展式,泰勒级数,麦克劳林公式,调和点列,仿射几何变换等等。上述知识,看似可怖,实则可爱,由于高中生时间所限,只需掌握基本概念、基本应用就足以应对高考难题,不知不觉中,已入“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”之境。
关键词:高等数学;高考试题;函数;导数
函数思想与方法是我们认识客观世界的重要武器,而导数是研究函数的重要工具,导数又是与高等数学衔接的知识,所以高考数学很重视导数的考察。近年来,以高等数学知识为背景的导数综合题在高考中频繁出现,一般所占分值大约十几分。细细品味题目背后的故事,会别有一番趣味。
下面笔者就2014年高考新课标II卷理科数学的导数试题进行评析,与大家分享。
(2014全国新课标II理数21)已知。
讨论的单调性。
设,若有,求的最大值。
已知,估算的近似值(精确到0.001)。
该题可以说是近几年高考中难度最大的。2014年吉林省15万左右的考生,做上此题者屈指可数。当年全省最高分149分(估计大多错在该题的第三问);而到了2015年高考时,全省数学满分150分竟然有三十多个,可见当年这道题的难度。
一般来说第一问都是送分的,故此问解答略去,但是导数题一般布置的非常微妙,对第二问肯定有作用,而第三问一般都要用到第二问的结论,一着不慎满盘皆输,所以导数压轴题的特点可以用四个字来概括----步步惊心。
接下来分析第二问,
法一 分类讨论
此处因式分解也是需要深厚的功力。分类讨论思想在导数中是经常用到的,有时同学们不知道什么时候开始讨论,其实不用刻意为之,让讨论来的自然一些。
(1)当时,,等号仅当时成立,所以在单调递增,而,所以对任意,;
(2)当时,若满足,即时,而,因此当时,。
综上,的最大值为2。 其实,这种求参数的取值范围题型,除了分类讨论之外,很容易让学生想到用分离参数的方法,研究发现利用分参法不能解决出现了“”型的式子,而这就是高等数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。
法二:洛必达法则
由(1)得,当时,恒成立;
,实现分离参数的目的;构造一个新函数
设;只需求出即可;
再构造函数
因为,,即,在上单调递增;
即,在上单调递增;的最小值为,出现,由洛必达可得
即;所以。
当然,用洛必达法则来做此题,思路非常清晰,回避讨论。
最后分析第三问,最吸引人之处是第三问,我先给出国家考试中心给的参考答案:
由(Ⅱ)法一知,。
当时,,;
当时,,
,所以的近似值为0.639。
参考答案如此简洁,简洁的让人看不懂!那2个b 来的太突然了!!!稍安勿躁,我们慢慢破解:
法一 :由(2)得 中,我们想要出现,还要出现ln2 ,这就要找到一个合适的x,因此 令,
得,即,
化简并移项得
,这便估算了的下确界。
其实对下确界的估计比较容易想到,而对上确界的估计较难理解。事实上,我们再次感受一下“步步惊心”:在第(2)问解法一中便已为第(3)问的上确界估计做了准备,并采用了相应的方法,如果考生在较为简单的第(2)问中采用采用解法二或其他方法,便很难估出上确界。可见游戏还没结束前,还不知谁能笑到最后。
让我们继续进行解题大业,由第(2)问解法一得
若,则时有,而,故此时若,则。
取,令,则,故
,化简并移项得,这便估算了的上确界。
此外,上确界估计中的不是凭空构造而出,而是由解出的。
至此,我们证明了,由四舍五入的原则,的近似值为0.693。
这个解法一较为复杂,导致本应较为简单的新课标II卷因此题而难度凸现,考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下,我们试图再追寻其他解法。
法二:高等数学中定积分解法
注意到,故,这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。,由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。
由在上单增知下凸函数,故。
取直线,其中,将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形,这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积,即的值。用表示第个小曲边梯形的面积,
则。至此,我们便求出了解法一中较为棘手的上确界(这里只计算了20项,看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦),接下来可以参考解法一的下界求法,
也可以用求得,但这里的放缩过宽,分割成20份达不到题目要求的精度,需分割为几百份,这个度很难把握,不适合在考场上使用。
这相比前一个方法简单不少,但是需要高等数学的知识。本题还有很多初等数学解法,还有这里就不一一列举了。
此处肯定有同学会问,不会高等数学怎么办?那就用解法一;用高等数学解法高考给分吗?吉林省数学阅卷组长吉林大学数学学院李院长曾说:在数学里,不错就是对。
其实,类似这样的题目还有很多,比如2008年全国卷II,2010年全国卷II,2013年辽宁理科,2014年全国卷II。可以这样说,从2006年起全国卷就一直在朝这个方向出题,而且在2014年达到顶峰,好几个省压轴题都有高等数学的背景,洛必达法则,拉格朗日中值定理,泰勒展式,泰勒级数,麦克劳林公式,调和点列,仿射几何变换等等。上述知识,看似可怖,实则可爱,由于高中生时间所限,只需掌握基本概念、基本应用就足以应对高考难题,不知不觉中,已入“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”之境。