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摘 要：建构式教学是新课程理念下的一种教学实施方式，尽管按照学情而言，一味建构是不可取的，但是在某些概念课、复习课等课堂教学时，在启发式中渗透建构式教学是教师教学的一种尝试. 本文将从解题的角度出发，谈谈在解题教学中建构式教学的运用和尝试.
关键词：建构式；解题教学；启发式；解析几何；圆；三角；探究
众所周知，解题教学于学生而言是数学学习的核心. 学生对于数学问题的解决、方法选择的优劣、运算和思维的辨别等都依赖于长期的数学解题训练.长期以来，解题教学是以大量的重复训练来代替思维训练，以不断的熟练操作替代数学概念学习的本质，通过训练来了解数学概念、数学知识，这些做法都是低效、死板的.
随着近年新课程教学诸多全新的教学理念渗透进我们的课堂，解题教学也有了诸多全新尝试. 建构式教学源自美国现实主义教育家杜威的教育理论，强调学生学习的自我开拓性、自主研究性，通过学生自己的探索和建构形成知识. 根据现阶段学情而言，我国中学生要完全脱离教师的启发而实施建构式教学有一定的困难，但是在教师引导下，结合启发式和建构式的教学是完全可以实施的. 这样的解题教学带来下列几个方面好处：
（1）国家课程改革一直致力于大众教育和精英教育的有机结合，一直致力于培养学生的熟练程度，却忽视了精英学生的培养不是依赖于这种模式的，因此建构式对于有着积极思维、主动性较强的优秀学生而言，是越建构越启发，有助于学生自主解决问题能力的提高；
（2）建构式教学模式能提升学生独立解决问题的能力，这对学生而言，是一种全新的尝试和实践，对其将来进入更高等学府学习是一种能力上的提高；
（3）建构式并非全部都是有效的，启发式同样也并非全都无效，高中数学教学问题相对较多，如何选择有效的渗透建构式的解题教学需要教师具体把握.下面，笔者举一个建构式解题教学的案例，供读者参考：
试题1：设点A和B为圆周x2 y2=1上两动点，且满足与圆内一定点N
0，
使∠ANB=，求过点A和B的两条切线的交点M的轨迹方程.
试题背景：本题改编自江西高考理科第14题，切点弦方程是解析几何中的热点问题，也是高考命题热点之一. 随着导数的引入，它的内涵更加丰富. 本课从圆的切点弦入手，通过对圆的切点弦的证明及运用，用类比的思想使学生易于解决与椭圆、双曲线、抛物线等常见曲线的切点弦有关的问题. 让学生感受到数学知识的内在统一与和谐之美.
条件分析：（1）已知圆方程，易得以A，B为切点的切线方程；（2）求轨迹方程需找等量关系，由∠ANB=可得A，B坐标的关系，进一步求切点弦AB所在直线方程，从而获解.
[图1][y][O][x][A][B][M][N]
难点和关键点：求出切点弦AB所在的直线方程.
学情分析：学生已明确过圆上一点的切线方程的求法，但对结论的应用还不够熟练.平时应结合圆与圆锥曲线在曲线上某点处的切线方程的推导，使学生能熟记切线方程的统一形式，并灵活应用.
建构式解题过程
读题：教师展示：请大家认真读题和观察题目所给的图，找出已知条件并明确需求什么.
审题：引导学生分析和辨别.
建构式活动1：如何求轨迹方程？
学生：需要找等量关系.
思考：本题的等量关系是什么？可列出怎样的关系式？
学生：∠ANB=，可利用向量转化为坐标的运算.
学生求解：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则=
-x1，-y1
=
-x2，-y2
. 由∠ANB=得·=0，即·=x1x2
y1-
y2-
=x1x2 y1y2-·（y1 y2） =0.
分析：由式中x1x2，y1y2，y1 y2的结构特点联想到韦达定理，又A，B两点为直线AB与圆的交点，故需求直线AB方程.
建构式活动2：AB所在的直线方程是什么？
教师出示题目：过圆C：x2 y2=r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线MA，MB，求切点A，B所在直线方程.
分析：题目还提供了哪些已知条件？图中以A，B为切点的切线方程分别是什么？
学生建构式解法三种：
建构式法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则kOA=，所以kMA=-，
所以切线MA的方程为：y-y1=-·（x-x1）.
建构式法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），切线lMA：y=k1（x-x1） y1，联列lMA与圆C方程得关于x的一元二次方程，由Δ=0得k1=-，所以切线MA的方程为y-y1= -（x-x1）.
建构式法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y2=r2-x2两边对x求导得2yy′=-2x，于是有y′=-，
所以切线MA的方程为y-y1=-（x-x1），即x1x y1y=x y=r2，
同理lMB：x2x y2y=r2. 又M（x0，y0）在直线MA，MB上，则x0x1 y0y1=r2，
x0x2 y0y2=r2.
两式表示A（x1，y1），B（x2，y2）两点都在直线x0x y0y=r2上，即切点弦lAB：x0x y0y=r2.
小结：
过圆C：x2 y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为：x0x y0y=r2；
过圆C：x2 y2=r2外一点P（x0，y0）作圆的切线，切点为A，B，则切点弦AB所在直线方程为：x0x y0y=r2. 具体解题过程：学生求解，教师巡堂.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y2=r2-x2两边对x求导得2yy′=-2x，于是有y′= -，
所以切线lMA：x1x y1y=r2，lMB：x2x y2y=r2，
设M（x0，y0），则切点弦AB所在直线方程为x0x y0y=r2，
代入x2 y2=1得（x y）x2-2x0x 1-y=0，
则x1 x2=，
x1x2= （1）.
将（1）式代入AB直线方程得y1 y2= ，
y1y2=（2）.
又∠ANB=，由·=0得，
x1x2
y1-
y2-
=x1x2 y1y2-·（y1 y2） =0 （?），
将（1）（2）两式代入（?）式化简得3x 3y 4y0-8=0，
所以交点M的轨迹方程为3x2 3y2 4y-8=0.
总结提升：
（1）解题方法总结：导数法求在曲线上某点处的切线方程，设而不求法得切点弦直线方程.
（2）题目变式引申：上例中的圆能否换成其他的圆锥曲线，求解方法是否相同？如椭圆的切点弦直线方程如何求解？
给出变式建构（过程略）：设点A和B为椭圆 y2=1上两动点，且满足与圆内一定点N
0，
使∠ANB=，求过点A和B的两条切线的交点M的轨迹方程.
回顾本题，学生对本题的解决建构是非常丰富的，既有最基本、最朴实的直线解决方式，也有利用代数思想中重根的解决原理，更有高等数学背景下导数思想方法的渗透，这些都是学生在尝试过程中独立发现和实践的. 事实上，教师将一个问题搬出了多种解答，殊不知很多解法是无益的、低效的，因为这些方法并不是学生亲身实践的产物，只是教师一厢情愿的展示而已. 只有经历学生的思考过程，站在学生角度建构解决方法，才是有生命力的、有效的. 所以，笔者认为解题教学要给予学生充分的思考时间，否则将会是低效甚至无效的.
试题2：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac. （1）求B的值；（2）若b=2，求sinA sinC的取值范围.
分析：这是笔者给出的问题，笔者对第二问进行了学生变式的自主建构，旨在让学生对三角函数中的常见问题进行探索、编制、建构.
建构式编制1：若b=2，△ABC为锐角三角形，求sinA sinC的取值范围.
分析1：在上述的解法过程中，正是由于三角形的任意性，故满足条件的角A的范围为
0，
，但如果将△ABC限制为锐角三角形，那么，此时要满足条件，则角A的范围应该为
，
. 范围有了很大的限制，则sinA sinC=·sin
A
. 此时仍将A 看成一个整体，则其取值范围是
，
，于是通过对正弦曲线图象的应用，可以得到sinA sinC∈
，
.
建构式编制2：若b=2，求ac的最大值.
建构式编制3：若b=2，求a2 c2的最大值.
建构式编制4：若b=2，求△ABC的面积的最大值.
建构式编制5：若b=2，求三角形边b所在高的最大值；
说明：笔者请学生参与同类型问题的编制，发现尽管围绕着三角形边a，b，可以变化得到不同的问题方式，但殊途同归，无论怎么变化，最后都是在同一个特殊的三角形下确定其最值问题. 而这个最值的确定，就是在这样一个特殊的情景下，尽管三角形在变，但三角形所在的外接圆是稳定的，圆是一个对称图形，利用这个对称性，可以把上述问题全部归源于正三角形下的最值. 通过建构式编制，学生也清晰地了解三角函数背景下的最值问题的导向，有利于知识的巩固和运用.
总之，建构式教学不仅用于概念课等课堂教学，我们也可以将其用于解题教学的尝试，将理论用于全新的教学实践是对自身教学的一种充实，也提高了教学的效率. 限于水平，本文不足之处请读者指正.
关键词：建构式；解题教学；启发式；解析几何；圆；三角；探究
众所周知，解题教学于学生而言是数学学习的核心. 学生对于数学问题的解决、方法选择的优劣、运算和思维的辨别等都依赖于长期的数学解题训练.长期以来，解题教学是以大量的重复训练来代替思维训练，以不断的熟练操作替代数学概念学习的本质，通过训练来了解数学概念、数学知识，这些做法都是低效、死板的.
随着近年新课程教学诸多全新的教学理念渗透进我们的课堂，解题教学也有了诸多全新尝试. 建构式教学源自美国现实主义教育家杜威的教育理论，强调学生学习的自我开拓性、自主研究性，通过学生自己的探索和建构形成知识. 根据现阶段学情而言，我国中学生要完全脱离教师的启发而实施建构式教学有一定的困难，但是在教师引导下，结合启发式和建构式的教学是完全可以实施的. 这样的解题教学带来下列几个方面好处：
（1）国家课程改革一直致力于大众教育和精英教育的有机结合，一直致力于培养学生的熟练程度，却忽视了精英学生的培养不是依赖于这种模式的，因此建构式对于有着积极思维、主动性较强的优秀学生而言，是越建构越启发，有助于学生自主解决问题能力的提高；
（2）建构式教学模式能提升学生独立解决问题的能力，这对学生而言，是一种全新的尝试和实践，对其将来进入更高等学府学习是一种能力上的提高；
（3）建构式并非全部都是有效的，启发式同样也并非全都无效，高中数学教学问题相对较多，如何选择有效的渗透建构式的解题教学需要教师具体把握.下面，笔者举一个建构式解题教学的案例，供读者参考：
试题1：设点A和B为圆周x2 y2=1上两动点，且满足与圆内一定点N
0，
使∠ANB=，求过点A和B的两条切线的交点M的轨迹方程.
试题背景：本题改编自江西高考理科第14题，切点弦方程是解析几何中的热点问题，也是高考命题热点之一. 随着导数的引入，它的内涵更加丰富. 本课从圆的切点弦入手，通过对圆的切点弦的证明及运用，用类比的思想使学生易于解决与椭圆、双曲线、抛物线等常见曲线的切点弦有关的问题. 让学生感受到数学知识的内在统一与和谐之美.
条件分析：（1）已知圆方程，易得以A，B为切点的切线方程；（2）求轨迹方程需找等量关系，由∠ANB=可得A，B坐标的关系，进一步求切点弦AB所在直线方程，从而获解.
难点和关键点：求出切点弦AB所在的直线方程.
学情分析：学生已明确过圆上一点的切线方程的求法，但对结论的应用还不够熟练.平时应结合圆与圆锥曲线在曲线上某点处的切线方程的推导，使学生能熟记切线方程的统一形式，并灵活应用.
建构式解题过程
读题：教师展示：请大家认真读题和观察题目所给的图，找出已知条件并明确需求什么.
审题：引导学生分析和辨别.
建构式活动1：如何求轨迹方程？
学生：需要找等量关系.
思考：本题的等量关系是什么？可列出怎样的关系式？
学生：∠ANB=，可利用向量转化为坐标的运算.
学生求解：设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则=
-x1，-y1
=
-x2，-y2
. 由∠ANB=得·=0，即·=x1x2
y1-
y2-
=x1x2 y1y2-·（y1 y2） =0.
分析：由式中x1x2，y1y2，y1 y2的结构特点联想到韦达定理，又A，B两点为直线AB与圆的交点，故需求直线AB方程.
建构式活动2：AB所在的直线方程是什么？
教师出示题目：过圆C：x2 y2=r2外一点M（x0，y0）作圆的两条切线MA，MB，求切点A，B所在直线方程.
分析：题目还提供了哪些已知条件？图中以A，B为切点的切线方程分别是什么？
学生建构式解法三种：
建构式法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则kOA=，所以kMA=-，
所以切线MA的方程为：y-y1=-·（x-x1）.
建构式法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），切线lMA：y=k1（x-x1） y1，联列lMA与圆C方程得关于x的一元二次方程，由Δ=0得k1=-，所以切线MA的方程为y-y1= -（x-x1）.
建构式法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y2=r2-x2两边对x求导得2yy′=-2x，于是有y′=-，
所以切线MA的方程为y-y1=-（x-x1），即x1x y1y=x y=r2，
同理lMB：x2x y2y=r2. 又M（x0，y0）在直线MA，MB上，则x0x1 y0y1=r2，
x0x2 y0y2=r2.
两式表示A（x1，y1），B（x2，y2）两点都在直线x0x y0y=r2上，即切点弦lAB：x0x y0y=r2.
小结：
过圆C：x2 y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为：x0x y0y=r2；
过圆C：x2 y2=r2外一点P（x0，y0）作圆的切线，切点为A，B，则切点弦AB所在直线方程为：x0x y0y=r2. 具体解题过程：学生求解，教师巡堂.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），将y2=r2-x2两边对x求导得2yy′=-2x，于是有y′= -，
所以切线lMA：x1x y1y=r2，lMB：x2x y2y=r2，
设M（x0，y0），则切点弦AB所在直线方程为x0x y0y=r2，
代入x2 y2=1得（x y）x2-2x0x 1-y=0，
则x1 x2=，
x1x2= （1）.
将（1）式代入AB直线方程得y1 y2= ，
y1y2=（2）.
又∠ANB=，由·=0得，
x1x2
y1-
y2-
=x1x2 y1y2-·（y1 y2） =0 （?），
将（1）（2）两式代入（?）式化简得3x 3y 4y0-8=0，
所以交点M的轨迹方程为3x2 3y2 4y-8=0.
总结提升：
（1）解题方法总结：导数法求在曲线上某点处的切线方程，设而不求法得切点弦直线方程.
（2）题目变式引申：上例中的圆能否换成其他的圆锥曲线，求解方法是否相同？如椭圆的切点弦直线方程如何求解？
给出变式建构（过程略）：设点A和B为椭圆 y2=1上两动点，且满足与圆内一定点N
0，
使∠ANB=，求过点A和B的两条切线的交点M的轨迹方程.
回顾本题，学生对本题的解决建构是非常丰富的，既有最基本、最朴实的直线解决方式，也有利用代数思想中重根的解决原理，更有高等数学背景下导数思想方法的渗透，这些都是学生在尝试过程中独立发现和实践的. 事实上，教师将一个问题搬出了多种解答，殊不知很多解法是无益的、低效的，因为这些方法并不是学生亲身实践的产物，只是教师一厢情愿的展示而已. 只有经历学生的思考过程，站在学生角度建构解决方法，才是有生命力的、有效的. 所以，笔者认为解题教学要给予学生充分的思考时间，否则将会是低效甚至无效的.
试题2：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac. （1）求B的值；（2）若b=2，求sinA sinC的取值范围.
分析：这是笔者给出的问题，笔者对第二问进行了学生变式的自主建构，旨在让学生对三角函数中的常见问题进行探索、编制、建构.
建构式编制1：若b=2，△ABC为锐角三角形，求sinA sinC的取值范围.
分析1：在上述的解法过程中，正是由于三角形的任意性，故满足条件的角A的范围为
0，
，但如果将△ABC限制为锐角三角形，那么，此时要满足条件，则角A的范围应该为
，
. 范围有了很大的限制，则sinA sinC=·sin
A
. 此时仍将A 看成一个整体，则其取值范围是
，
，于是通过对正弦曲线图象的应用，可以得到sinA sinC∈
，
.
建构式编制2：若b=2，求ac的最大值.
建构式编制3：若b=2，求a2 c2的最大值.
建构式编制4：若b=2，求△ABC的面积的最大值.
建构式编制5：若b=2，求三角形边b所在高的最大值；
说明：笔者请学生参与同类型问题的编制，发现尽管围绕着三角形边a，b，可以变化得到不同的问题方式，但殊途同归，无论怎么变化，最后都是在同一个特殊的三角形下确定其最值问题. 而这个最值的确定，就是在这样一个特殊的情景下，尽管三角形在变，但三角形所在的外接圆是稳定的，圆是一个对称图形，利用这个对称性，可以把上述问题全部归源于正三角形下的最值. 通过建构式编制，学生也清晰地了解三角函数背景下的最值问题的导向，有利于知识的巩固和运用.
总之，建构式教学不仅用于概念课等课堂教学，我们也可以将其用于解题教学的尝试，将理论用于全新的教学实践是对自身教学的一种充实，也提高了教学的效率. 限于水平，本文不足之处请读者指正.