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【摘要】本文论述数形结合思想的培养途径，提出数形结合思想的培养应借助文字符号促进学生理解数量关系，应变多组数据拓展思维空间，应联系生活实际解决具体问题，应对比不同方案探求最佳解法等建议。
【关键词】小学数学 数形结合 解题方法 数学思想
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09A-0122-02
数形结合思想贯穿于整个数学学习的过程，小学的鸡兔同笼、初中的函数等，无一不用到了数形结合思想。而小学数学学习又处于一个打基础的阶段，培养学生的数形结合思想在小学数学教学过程中至关重要。因此，教师应注重培养学生的数形结合思想，潜移默化地灌输数学的思维和方法，使其能够学以致用，并将其所学运用到今后的学习中。本文笔者从四个方面论述如何培养学生的数形结合思想，提高学生的综合学习能力。
一、借助文字符号理解数量关系
数学是一门以数字为基础的抽象性学科，但有时在学习一些概念内容时，如果单单使用数字进行逻辑教学，大部分学生都比较难理解。这时，就需要借助图形、情景等一些其他形式的符号来进行辅助学习，使学生能够更好地理解数量之间的关系，解决不同类型的问题。
例如，在教学人教版三年级上册《数学广角——集合》时，笔者首先从本班学生入手，向学生介绍集合的概念。统计出本班喜欢跳绳的有17人，喜欢踢毽子的有20人，两者都喜欢的有5人。并将这一统计结果以集合的形式表示出来，其中两个集合的交集部分就是既喜欢跳绳又喜欢踢毽子的人数。接下来，对集合进行综合应用。“六年级三班共有50人，其中有22人参加了科技小组，31人参加了文艺小组，15人两个小组都参加了，问兩个小组都没有参加的人数是多少？”先让学生将参加科技小组和文艺小组的人数用韦恩图表示出来。由题可知两者的交集部分有15人，那么，参加科技小组和文艺小组的一共有22+31=53（人），再除去二者的公共部分53-15=38（人），即为参加活动的总人数。那么，没有参加活动小组的人数就用班级总人数减去参加了活动小组的人数即50-38=12（人）。
集合问题粗略地反映了容斥原理，将数与图巧妙地结合起来，向学生展示了数学直观的魅力，使学生对数量关系有了一些初步的认识，在解决许多与数量相关的问题时能够变换思考方式，借助于图形进行分析和处理。在今后对于该类问题的深入学习以及应用时也会更加得心应手，游刃有余。
二、变换多组数据拓展思维空间
图形虽然能够很直观地让学生看到数量之间的关系，但有时也会存在一些局限性。例如在求解与几何图形相关的问题时，单单用图是无法进行求解的，它只能给学生提供一个思考的方向。然而，要证明一些观点或结论时还是需要数来进行验证。
例如，在教学四年级下册《三角形》时，笔者首先让学生用几根不同长度的小木棒去围三角形，可以发现，有些学生的木棒刚好能围成一个三角形，而有些学生的木棒不是太长就是太短了，无法顺利地拼出三角形。由此可知，并不是任意三条边都能围成一个三角形。以△ABC为例，它所对应的边长分别为a，b，c，只有当a+b>c且a-b<c并且任意两边关系均满足时才可围成三角形。接下来，笔者引入一道简单的例题加深学生对三角形三边关系的理解。有以下三组边：（1）a=5cm，b=12cm，c=13cm;（2）a=3cm，b=6cm，c=9cm;（3）a=6cm，b=4cm，c=10cm。问：有几组边可以组成一个三角形？在（1）中，5+12=17>13=c，12-5=7<13=c，再用ac和bc两边分别与b边和a边进行比较，经比较之后可知均满足上述关系，即该组中的三边可以组成三角形。（2）中3+6=9=c不满足，故不成立。（3）同（2）a+b=c，亦不成立。
处理三角形的相关问题时，若题目中不知道图形是否为一个三角形，则首先要对其三边长度进行相加减再比较，判断是否为三角形，其次再进行下一步的计算。在之后所要学习的勾股定理以及解决与几何图形的面积相关的问题中都需要进行数的计算。从图转变到数，从几何问题转变为代数问题，既拓展了学生的思维空间，也提升了数学素养。
三、联系生活实际解决具体问题
数学就是为了解决生活实际问题而诞生的，它存在于我们日常生活中的方方面面。如购物时会很容易地将价格与实物联系起来，许多销售部门会根据上季度的销售价格与销售量之间的关系找到一个利润最大化的价格点等。这都是一些贴近我们生活的实例。可见，数形结合思想在我们的学习中十分重要。
例如，在教学五年级下册《折线统计图》时，笔者首先给学生出示A、B两地一年内的月平均气温，接着让学生自己动手将两地的月平均气温的相关数据反映到折线统计图中。根据学生所画出的折线统计图，可以得到以下几条信息：（1）A、B两地的最高气温以及最低气温;（2）可以判断出A、B两地的气温变化趋势;（3）若已知一类植物生长的适宜温度，可选择将其种植在A地还是B地;（4）还可以通过A、B两地的年平均气温大概地看出气候状况……这些都与我们的生活实际密切相关。包括我们在电视上看到主持人所播报的天气预报，也是通过我们所熟悉的数形结合的思想来向我们传达气温变化信息，提醒我们天冷加衣或是注意防晒等。如某天清晨气温为-4℃，14：00时温度最高为14℃，23：00时温度最低为-6℃，可以知道这一天的昼夜温差较大，为14℃-（-6℃）=20℃，若要出行则要注意防寒保暖。
数形结合思想体现在一些需要反映趋势变化的问题中，例如供求关系、成本与利润关系、不同年龄段的大众群体对某一产品的接受程度以及满意度等，这些都是利用数形结合思想通过实际的数据反映到图像中来分析问题以及解决问题的。
四、对比不同方案寻求最佳解法
一个问题通常都有多种解决方案，而学生需要在众多的解决方法中找寻到那个最佳的解决方法，这才是学习数学思维的根本目的。单单是数形结合思想就给予了数、图、数与图相结合这三种方法，当学生在解决实际问题的过程中，就可以灵活运用这三种方法，选择一个最合适的方法，得出一种最优解。
例如，在教学四年级下册《鸡兔同笼》时，笔者首先带领学生学习了课本上的列表法，然后再用数形结合的方法给学生讲解了该应用题。假设刘奶奶家的笼子里养了若干只鸡和兔子，从上面数一共有10个头，从下面数，一共有30只脚。问：刘奶奶家养的鸡和兔子各是多少只？分析题目，首先引导学生画10个头，假设这10只全是鸡，每只鸡身上长两条腿，一共有2×10=10（条）腿，还剩下30-20=10（条）腿，鸡再长两条腿就变成了兔子，从第一个开始，一直到剩余的10条腿都长完为止。这样就得到了兔子有10÷（4-2）=5（只），鸡有10-5=5（只）。而用列表法的话，当兔子有一只时，还剩下30-4=26（条）腿，则鸡应有26÷2=13（只），显然不成立;当有2只兔子，3只兔子，4只兔子，5只兔子时，相应的鸡的只数应为11、9、7，5。由此可知，鸡和兔子应各有5只。
从上述鸡兔同笼的例子来看，最起码有两种解决方法，加上之后将学到的解方程的方法则一共有三种解决方法。就目前来看，最简单直接的还是数形结合这一方法。当我们用图形表示出来后，甚至是低年级的学生也能够轻易地进行计算求解。因此，选择合适的解决方案就显得尤为重要了。
数形结合思想是数学思想的基础，很多逻辑思维都是建立在对本思想的运用的基础上产生的。因此，教师在教学过程中更应该注重对学生思维能力的培养，恰当的思想培养有助于开阔学生的创新性思维，提升学生的数学核心素养。
作者简介：罗红（1969— ），女，广西陆川人，一级教师，大专学历，主要研究方向：小学数学教育教学。
（责编 林 剑）
【关键词】小学数学 数形结合 解题方法 数学思想
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）09A-0122-02
数形结合思想贯穿于整个数学学习的过程，小学的鸡兔同笼、初中的函数等，无一不用到了数形结合思想。而小学数学学习又处于一个打基础的阶段，培养学生的数形结合思想在小学数学教学过程中至关重要。因此，教师应注重培养学生的数形结合思想，潜移默化地灌输数学的思维和方法，使其能够学以致用，并将其所学运用到今后的学习中。本文笔者从四个方面论述如何培养学生的数形结合思想，提高学生的综合学习能力。
一、借助文字符号理解数量关系
数学是一门以数字为基础的抽象性学科，但有时在学习一些概念内容时，如果单单使用数字进行逻辑教学，大部分学生都比较难理解。这时，就需要借助图形、情景等一些其他形式的符号来进行辅助学习，使学生能够更好地理解数量之间的关系，解决不同类型的问题。
例如，在教学人教版三年级上册《数学广角——集合》时，笔者首先从本班学生入手，向学生介绍集合的概念。统计出本班喜欢跳绳的有17人，喜欢踢毽子的有20人，两者都喜欢的有5人。并将这一统计结果以集合的形式表示出来，其中两个集合的交集部分就是既喜欢跳绳又喜欢踢毽子的人数。接下来，对集合进行综合应用。“六年级三班共有50人，其中有22人参加了科技小组，31人参加了文艺小组，15人两个小组都参加了，问兩个小组都没有参加的人数是多少？”先让学生将参加科技小组和文艺小组的人数用韦恩图表示出来。由题可知两者的交集部分有15人，那么，参加科技小组和文艺小组的一共有22+31=53（人），再除去二者的公共部分53-15=38（人），即为参加活动的总人数。那么，没有参加活动小组的人数就用班级总人数减去参加了活动小组的人数即50-38=12（人）。
集合问题粗略地反映了容斥原理，将数与图巧妙地结合起来，向学生展示了数学直观的魅力，使学生对数量关系有了一些初步的认识，在解决许多与数量相关的问题时能够变换思考方式，借助于图形进行分析和处理。在今后对于该类问题的深入学习以及应用时也会更加得心应手，游刃有余。
二、变换多组数据拓展思维空间
图形虽然能够很直观地让学生看到数量之间的关系，但有时也会存在一些局限性。例如在求解与几何图形相关的问题时，单单用图是无法进行求解的，它只能给学生提供一个思考的方向。然而，要证明一些观点或结论时还是需要数来进行验证。
例如，在教学四年级下册《三角形》时，笔者首先让学生用几根不同长度的小木棒去围三角形，可以发现，有些学生的木棒刚好能围成一个三角形，而有些学生的木棒不是太长就是太短了，无法顺利地拼出三角形。由此可知，并不是任意三条边都能围成一个三角形。以△ABC为例，它所对应的边长分别为a，b，c，只有当a+b>c且a-b<c并且任意两边关系均满足时才可围成三角形。接下来，笔者引入一道简单的例题加深学生对三角形三边关系的理解。有以下三组边：（1）a=5cm，b=12cm，c=13cm;（2）a=3cm，b=6cm，c=9cm;（3）a=6cm，b=4cm，c=10cm。问：有几组边可以组成一个三角形？在（1）中，5+12=17>13=c，12-5=7<13=c，再用ac和bc两边分别与b边和a边进行比较，经比较之后可知均满足上述关系，即该组中的三边可以组成三角形。（2）中3+6=9=c不满足，故不成立。（3）同（2）a+b=c，亦不成立。
处理三角形的相关问题时，若题目中不知道图形是否为一个三角形，则首先要对其三边长度进行相加减再比较，判断是否为三角形，其次再进行下一步的计算。在之后所要学习的勾股定理以及解决与几何图形的面积相关的问题中都需要进行数的计算。从图转变到数，从几何问题转变为代数问题，既拓展了学生的思维空间，也提升了数学素养。
三、联系生活实际解决具体问题
数学就是为了解决生活实际问题而诞生的，它存在于我们日常生活中的方方面面。如购物时会很容易地将价格与实物联系起来，许多销售部门会根据上季度的销售价格与销售量之间的关系找到一个利润最大化的价格点等。这都是一些贴近我们生活的实例。可见，数形结合思想在我们的学习中十分重要。
例如，在教学五年级下册《折线统计图》时，笔者首先给学生出示A、B两地一年内的月平均气温，接着让学生自己动手将两地的月平均气温的相关数据反映到折线统计图中。根据学生所画出的折线统计图，可以得到以下几条信息：（1）A、B两地的最高气温以及最低气温;（2）可以判断出A、B两地的气温变化趋势;（3）若已知一类植物生长的适宜温度，可选择将其种植在A地还是B地;（4）还可以通过A、B两地的年平均气温大概地看出气候状况……这些都与我们的生活实际密切相关。包括我们在电视上看到主持人所播报的天气预报，也是通过我们所熟悉的数形结合的思想来向我们传达气温变化信息，提醒我们天冷加衣或是注意防晒等。如某天清晨气温为-4℃，14：00时温度最高为14℃，23：00时温度最低为-6℃，可以知道这一天的昼夜温差较大，为14℃-（-6℃）=20℃，若要出行则要注意防寒保暖。
数形结合思想体现在一些需要反映趋势变化的问题中，例如供求关系、成本与利润关系、不同年龄段的大众群体对某一产品的接受程度以及满意度等，这些都是利用数形结合思想通过实际的数据反映到图像中来分析问题以及解决问题的。
四、对比不同方案寻求最佳解法
一个问题通常都有多种解决方案，而学生需要在众多的解决方法中找寻到那个最佳的解决方法，这才是学习数学思维的根本目的。单单是数形结合思想就给予了数、图、数与图相结合这三种方法，当学生在解决实际问题的过程中，就可以灵活运用这三种方法，选择一个最合适的方法，得出一种最优解。
例如，在教学四年级下册《鸡兔同笼》时，笔者首先带领学生学习了课本上的列表法，然后再用数形结合的方法给学生讲解了该应用题。假设刘奶奶家的笼子里养了若干只鸡和兔子，从上面数一共有10个头，从下面数，一共有30只脚。问：刘奶奶家养的鸡和兔子各是多少只？分析题目，首先引导学生画10个头，假设这10只全是鸡，每只鸡身上长两条腿，一共有2×10=10（条）腿，还剩下30-20=10（条）腿，鸡再长两条腿就变成了兔子，从第一个开始，一直到剩余的10条腿都长完为止。这样就得到了兔子有10÷（4-2）=5（只），鸡有10-5=5（只）。而用列表法的话，当兔子有一只时，还剩下30-4=26（条）腿，则鸡应有26÷2=13（只），显然不成立;当有2只兔子，3只兔子，4只兔子，5只兔子时，相应的鸡的只数应为11、9、7，5。由此可知，鸡和兔子应各有5只。
从上述鸡兔同笼的例子来看，最起码有两种解决方法，加上之后将学到的解方程的方法则一共有三种解决方法。就目前来看，最简单直接的还是数形结合这一方法。当我们用图形表示出来后，甚至是低年级的学生也能够轻易地进行计算求解。因此，选择合适的解决方案就显得尤为重要了。
数形结合思想是数学思想的基础，很多逻辑思维都是建立在对本思想的运用的基础上产生的。因此，教师在教学过程中更应该注重对学生思维能力的培养，恰当的思想培养有助于开阔学生的创新性思维，提升学生的数学核心素养。
作者简介：罗红（1969— ），女，广西陆川人，一级教师，大专学历，主要研究方向：小学数学教育教学。
（责编 林 剑）