【摘要】新课改的实施，教材比以前更注重对学生学习能力的培养，更有利于对优秀思维品质的培养，这就要求教师充分利用教材，不仅要重视知识的传播，更要重视学生思维能力和学习能力的培养，进一步挖掘和利用探究问题，做好前后知识的衔接、结论的推广、知识的深化，形成完整的知识体系。
　　【关键词】类比 思维的广阔性 思维的深刻性
　　【基金项目】甘肃省教育科学“十二五”规划课题，课题批准号GS[2014]GHB0982。
　　【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）01-0033-02
　　探究性问题可以是某些数学结果的推广和深化，也可以是不同教学内容之间的联系和类比，探究的过程和结论具有开放性。类比是人们认识社会、认识自然的基本思维方式，数学教学更是如此，通过类比，对一类知识形成完整体系，前后知识融会贯通，达到举一反三的效果，通过类比，归纳总结，掌握规律，推广结论，掌握知识点间的内在联系，深化对知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性与创造性。
　　下面我们看圆锥曲线章节中有关斜率的一个探究性问题：普通高中课程标准实验教科书，数学选修2—1（人民教育出版社）第55页探究问题，如图2.3—5，点A、B的分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是4/9，求点M的轨迹方程并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与普通高中课程标准实验教科书，数学选修2—1（人民教育出版社）第41页例3比较，有什么发现？
　　分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直线AM、BM的斜率之积是4/9，因此可以建立x、y之间的关系式，得出点M的轨迹方程。
　　所以点M的轨迹是焦点在x轴上（不含顶点即定点）的双曲线。
　　普通高中课程标准实验教科书，数学选修2—1第41页，例3，如，设点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9，求点M的轨迹方程。
　　分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM、BM的斜率就可以用含x、y的式子表示。由于直线AM、BM的斜率之积是-4/9，因此可以建立x、y之间的关系式，得出点M的轨迹方程。
　　学生通过类比达成的初步认识：到两定点的连线的斜率之积为负时点的轨迹为椭圆（除去顶点即两定点）、到两定点连线的斜率之积为正时点的轨迹为双曲线（除去顶点即两定点），教师再引导：同学们能否再准确的表述曲线的特征（位置、大小）？让学生将斜率之积更换为其它负数，多次练习，推出结果，通过横向类比推广、探求规律。结论：若点M（x，y）到两定点A（-m，0）、B（m，0）的连线斜率之积为-p（其中m、n、p均为正数）则点M的轨迹方程为px2+y2=pm2（x≠±m），则当01时，曲线为焦点在y轴上，长轴长为2m，短轴长为2m且除去两点的椭圆，当p=1时，曲线为以线段AB为直径除去两定点的圆。再让学生将斜率之积更换为其它正数，通过纵向类比，深入挖掘、探求变化规律，推导当斜率之积为正时的结论：若点M（x，y）到两定点A（-m，0）、B（m，0）的连线斜率之积为p（其中m、n、p均为正）则方程为px2-y2=pm2（x≠±m），不论p的值与1的大小如何，曲线总是双曲线，且焦点总在x轴上，实轴长为2m，虚轴长为2m，但值影响着双曲线的开口大小，特殊情况p=1时为等轴双曲线。
　　通过这样的练习学生对圆及圆锥曲线中的椭圆与双曲线的问题就可以通过统一的方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）去认识、去研究，当A、B、C同号且A=B时，则为圆，若A、B异号则为双曲线，A、B、C同号且A与B不相等则为椭圆。在求曲线方程时，最为理想的就是能够根据已知条件先定性再定量，即先确定为哪一类特殊的曲线，再按待定系数法去求常数，当然上面例子为求曲线方程的题目，必然要按常规步骤去做，因无足以说明曲线特征的明确条件，但如果探索清楚这类题目，则在选择题及填空题中能够节约时间，提高效率及准确度。
　　反思总结：教学本身是一个教与学的双边活动，教师、学生和教材构成教学的三个基本要素。首先教师要充分利用好教材，主要知识点按类别加以整理、归纳，使知识系统化、概括化，更好地理清关系，加强记忆，精心设计教学内容，对教学内容进行必要的调整、增补，必要时采用模型、挂图、多媒体等教学手段，丰富课堂教学内容，极大地激发学生的学习兴趣。其次教师要注意自身建设，教师必须不断提高自身的学术素养，要给学生一碗水，自己要有一桶水，教师的一桶水哪里来，是平时的点滴积累，对科学知识所蕴含的规律、蕴含的能力的深层次理解，解决问题时问题的方方面面都要想到，把解决问题的几个方案列出来，选择其中的最佳方案，简化解题过程，提高解题效率，培养学生稳定、综合的数学素质。第三关注学生的收获与发现，注重学生的良好发展，在学习过程中学习者发现的东西才是最重要的和富有个人特色的知识，只有亲自参与新知识的发现，感同身受，才能锻炼学生的思维，发展学生的能力，从经验中把握问题，培养学生思维的开放性，解决问题的自觉性与主动性。另外要发挥情感的增益效应，情感是人对客观现实的态度的体验，人是具有情感，对周围事物的认识会受到心境的影响，保持良好的心情显得尤其重要。教师在教学过程中要以饱满的激情和热情感染学生，让学生处于愉悦、兴趣饱满、精神振奋的状态中，使他们获得各种积极情感和高尚情操的陶冶，形成良好的好学、乐学的人格特征，培养起学生对该学科的热爱之情，教育要把握眼前机会，使学生在现实中磨炼提高。
　　总之在科学技术迅猛发展的信息时代，新知识剧增，必须善于学习，不断地进行学习。一要使学生认识到自己是学习过程中的主人，鼓励学生在学习中由此及彼，从一个问题衍生开来，提出崭新的问题，引导学生为自己的观点，积极找证据，既要敢于去想、去坚持，同时也要善于接纳他人正确的观点，在合作中、讨论中获得最大的收益。二要正确处理教学与学生思维的“同步”关系，从学生认知的“最近发展区”开始，因势诱导，会达到事半功倍的效果。三要注意引导学生纵横思索、发散联想、推广引申，通过横向类比推广、探求规律，培养学生思维的广阔性，通过纵向类比，深入挖掘、探求变化规律，培养思维的深刻性，从而成为真正意义上的创新性人才。