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在物理学中，人们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态.函数[y=Asin(ωx+φ)]，[x≥0][(A>0]，[ω>0)]可以描述简谐运动. 当[ωx+φ]确定时，[Asin(ωx+φ)]的值也确定了，所以[ωx+φ]代表了做简谐运动的质点此时正处于一个运动周期的哪个状态. 可见[ωx+φ]代表简谐运动的相位，[φ]是[x=0]时的相位，称作初相位或初相.求函数[y=Asin(ωx+φ)]的解析式是常见题型，一般来说，[A]与[ω]较好求，难点集中在求[φ]上，本文将举例说明[φ]的求法.
1. 准确理解定义，根据解析式求初相
当函数[y=Asin(ωx+φ)]，[x≥0]（[A]＞0，[ω]＞0）表示一个简谐运动时，[ωx+φ]为相位，[φ]为初相. 注意，当A＜0或[ω]＞0时，[ωx+φ]不能称为相位，[φ]也不能称为初相.
例1求函数[y=-sin(2x+π4),x≥0]的相位及初相.
分析如果回答相位是[2x+π4]，初相为[π4]，则是错误的，因为这里[A=-1]＜0. 对于本题，应该先用诱导公式将[A]和[ω]化为正数，再求初相和相位.
解[∵][y=-sin(2x+π4)]=[sin[π+(2x+π4)]]
=[sin(2x+5π4)]，
[∴]相位为[2x+5π4]，初相为[5π4]（或-[3π4]）.
点拨根据解析式求相位和初相时应谨记：（1）先将函数解析式化为[y=Asin(ωx+φ)]，[x≥0]的形式. （2）若[A]和[ω]不是均大于0，则用诱导公式将其化为大于0的形式. （3）若没有规定初相的范围，习惯上取满足条件的最大负角或最大正角.
2. 根据最值点求初相
因为函数[y=sinx]在[x=2kπ+π2(k∈Z)]时取最大值，在[x=2kπ-π2(k∈Z)]时取最小值，在[x=kπ+π2(k∈Z)]时取最大值或最小值；所以函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）在[ωx+φ=2kπ+π2(k∈Z)]时取最大值，在[ωx+φ=2kπ-π2(k∈Z)]时取最小值，在[ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)]时取最大值或最小值.我们可以利用这个性质来求初相.
例2已知函数[f(x)=Asin(ωx+φ)]，[x∈R]（其中[A]＞0，[ω]＞0，0＜[φ]＜[π2]）的图象与[x]轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为[π2]，且图象上一个最低点为M（[2π3,-2]），求[f(x)]的解析式.
分析可以根据函数图象与[x]轴两个相邻的交点间的距离求周期，进而求[ω]，由最低点的纵坐标求A，而[φ]则要根据最低点的坐标求.
解由图象上一个最低点为M（[2π3,-2]）得A=2.
由函数图象与[x]轴两个相邻的交点间的距离为[π2]得[T2=π2]，即[T=π].
[∴ω=2πT=2].
[∴f(x)=2sin(2x+φ)]，将点M的坐标代入此式得[f(2π3)=2sin(4π3+φ)=-2].
[∴sin(4π3+φ)=-1.∴4π3+φ=2kπ-π2,k∈Z.∴φ=2kπ-11π6,k∈Z.]
又0＜[φ]＜[π2]，[∴φ=π6].
[∴]函数的解析式为[f(x)=2sin(2x+π6)].
点拨用此方法求[φ]的取值时，还要注意[φ]的范围，不在范围内的要通过周期性加以转化.
例3已知函数[f(x)=sin(2x+φ)]，其中[φ]﹤[π]，若[f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，且[f(π2)]﹥[f(π)]，求[φ]的值.
解 [∵f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，
[∴x=π6]时，[f(x)]取最大值或最小值，
即[f(π6)=sin(π3+φ)=±1].
[∴π3+φ=kπ+π2(k∈Z)].
[∴φ=kπ+π6(k∈Z)].
（1）当[k=2n,n∈Z]时，
[f(π2)=sin(2×π2+2nπ+π6)=-12]，
[f(π)=sin(2π+2nπ+π6)=12]，
[f(π2)]﹤[f(π)]，不符合题意.
（2）当[k=2n+1,n∈Z]时，
[f(π2)=sin(2×π2+2nπ+π+π6)=12]，
[f(π)=sin(2π+2nπ+π+π6)=-12]，
[f(π2)]﹥[f(π)]，符合题意.
[∴φ=(2n+1)π+π6,n∈Z].
又[∵φ]﹤[π]，[∴φ=-5π6].
点拨本题的解题关键：[f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，得出[x=π6]，[f(x)]取最大值或最小值.
3. 根据零点求初相
函数[y=sinx]在区间[[2kπ-π2,2kπ+3π2)(k∈Z)]上有两个零点：[x=2kπ(k∈Z)]和[x=2kπ+π(k∈Z)].但应注意，零点[x=2kπ(k∈Z)]在函数[y=sinx]的单调递增区间[[2kπ-π2,2kπ+π2)(k∈Z)]上；零点[x=2kπ+π(k∈Z)]在函数[y=sinx]的单调递减区间[[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z)]上.若函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）的零点[(x0,0)]在增区间上，则[ωx0+φ=2kπ(k∈Z),]若零点[(x0,0)]在函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）的减区间上，则[ωx0+φ=2kπ+π(k∈Z)].
例4函数[f(x)=Asin(ωx+φ)]（[A,ω,φ]为常数，[A]＞0，[ω]＞0，[φ]＜[π]）的部分图象如图所示，求[f(x)]的解析式.
分析点（[π3,0]）是函数的一个零点，如果令[ω×π3+φ=2kπ(k∈Z)]，则是错误的，令[ω×π3+φ=kπ][(k∈Z)]也不妥当，因为此零点在函数的单调递减区间上，故[ω×π3+φ=2kπ+π(k∈Z)]可准确快速地求出[φ].
解由图可知[A=2]，[T4=7π12-π3=π4]，
[∴T=π]，[ω=2πT=2].
[∴f(x)=2sin(2x+φ)].
将点（[π3,0]）代入上式得
[2sin(2×π3+φ)]=0.
又点（[π3,0]）在此函数的单调递减区间内，
[∴2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z)]，
求得[φ=2kπ+π3(k∈Z)]，
又[∵][φ]＜[π]，[∴φ=π3].
[∴f(x)]的解析式为[f(x)=2sin(2x+π3)].
点拨根据零点求初相时，一定要弄清楚零点是在单调递增区间上还是单调递减区间上. 此题也可根据最低点的坐标求[φ].
4. 根据对称性求初相
函数[y=sinx]的对称轴为[x=kπ+π2(k∈Z)]，对称中心为[(kπ,0)]，我们可以利用正弦函数的这条性质求初相.
例5设函数[f(x)=sin(2x+φ)]（[-π]＜[φ]＜0），[y=f(x)]的一条对称轴是直线[x=π8]，求[φ].
解析[∵x=π8]是函数[y=f(x)]的一条对称轴，
[∴sin(2×π8+φ)=±1]，[∴π4+φ=kπ+π2,k∈Z.]
[∵-π]＜[φ]＜0,[∴]取[k=-1]得[φ=-3π4].
[【练习】]
1. 求函数[y=2sin(-2x-π3)(x≥0)]的初相.
2. 函数[y=sin(ωx+φ)]（[x∈R],[ω]＞0, 0[≤φ]＜[2π]）的部分图象如图，则（ ）
A．[ω=π2,φ=π4] B．[ω=π3,φ=π6]
C．[ω=π4,φ=π4] D．[ω=π4,φ=5π4]
4.如果函数[y=3sin(2x+φ)]的图象关于点[(4π3,0)]中心对称，那么[φ]的最小值为（ ）
A. [π6] B. [π4]
C. [π3] D. [π2]
5. 已知函数[f(x)=Asin(3x+φ)]（A＞0，[x∈R],0＜[φ]＜[π]）在[x=π12]时取得最大值4，求[f(x)]的解析式.
[【参考答案】]
1. [4π3]或[-2π3] 2. C 3. C
4. [fx=4sin(3x+π4)]
1. 准确理解定义，根据解析式求初相
当函数[y=Asin(ωx+φ)]，[x≥0]（[A]＞0，[ω]＞0）表示一个简谐运动时，[ωx+φ]为相位，[φ]为初相. 注意，当A＜0或[ω]＞0时，[ωx+φ]不能称为相位，[φ]也不能称为初相.
例1求函数[y=-sin(2x+π4),x≥0]的相位及初相.
分析如果回答相位是[2x+π4]，初相为[π4]，则是错误的，因为这里[A=-1]＜0. 对于本题，应该先用诱导公式将[A]和[ω]化为正数，再求初相和相位.
解[∵][y=-sin(2x+π4)]=[sin[π+(2x+π4)]]
=[sin(2x+5π4)]，
[∴]相位为[2x+5π4]，初相为[5π4]（或-[3π4]）.
点拨根据解析式求相位和初相时应谨记：（1）先将函数解析式化为[y=Asin(ωx+φ)]，[x≥0]的形式. （2）若[A]和[ω]不是均大于0，则用诱导公式将其化为大于0的形式. （3）若没有规定初相的范围，习惯上取满足条件的最大负角或最大正角.
2. 根据最值点求初相
因为函数[y=sinx]在[x=2kπ+π2(k∈Z)]时取最大值，在[x=2kπ-π2(k∈Z)]时取最小值，在[x=kπ+π2(k∈Z)]时取最大值或最小值；所以函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）在[ωx+φ=2kπ+π2(k∈Z)]时取最大值，在[ωx+φ=2kπ-π2(k∈Z)]时取最小值，在[ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)]时取最大值或最小值.我们可以利用这个性质来求初相.
例2已知函数[f(x)=Asin(ωx+φ)]，[x∈R]（其中[A]＞0，[ω]＞0，0＜[φ]＜[π2]）的图象与[x]轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为[π2]，且图象上一个最低点为M（[2π3,-2]），求[f(x)]的解析式.
分析可以根据函数图象与[x]轴两个相邻的交点间的距离求周期，进而求[ω]，由最低点的纵坐标求A，而[φ]则要根据最低点的坐标求.
解由图象上一个最低点为M（[2π3,-2]）得A=2.
由函数图象与[x]轴两个相邻的交点间的距离为[π2]得[T2=π2]，即[T=π].
[∴ω=2πT=2].
[∴f(x)=2sin(2x+φ)]，将点M的坐标代入此式得[f(2π3)=2sin(4π3+φ)=-2].
[∴sin(4π3+φ)=-1.∴4π3+φ=2kπ-π2,k∈Z.∴φ=2kπ-11π6,k∈Z.]
又0＜[φ]＜[π2]，[∴φ=π6].
[∴]函数的解析式为[f(x)=2sin(2x+π6)].
点拨用此方法求[φ]的取值时，还要注意[φ]的范围，不在范围内的要通过周期性加以转化.
例3已知函数[f(x)=sin(2x+φ)]，其中[φ]﹤[π]，若[f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，且[f(π2)]﹥[f(π)]，求[φ]的值.
解 [∵f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，
[∴x=π6]时，[f(x)]取最大值或最小值，
即[f(π6)=sin(π3+φ)=±1].
[∴π3+φ=kπ+π2(k∈Z)].
[∴φ=kπ+π6(k∈Z)].
（1）当[k=2n,n∈Z]时，
[f(π2)=sin(2×π2+2nπ+π6)=-12]，
[f(π)=sin(2π+2nπ+π6)=12]，
[f(π2)]﹤[f(π)]，不符合题意.
（2）当[k=2n+1,n∈Z]时，
[f(π2)=sin(2×π2+2nπ+π+π6)=12]，
[f(π)=sin(2π+2nπ+π+π6)=-12]，
[f(π2)]﹥[f(π)]，符合题意.
[∴φ=(2n+1)π+π6,n∈Z].
又[∵φ]﹤[π]，[∴φ=-5π6].
点拨本题的解题关键：[f(x)≤f(π6)]对[x∈R]恒成立，得出[x=π6]，[f(x)]取最大值或最小值.
3. 根据零点求初相
函数[y=sinx]在区间[[2kπ-π2,2kπ+3π2)(k∈Z)]上有两个零点：[x=2kπ(k∈Z)]和[x=2kπ+π(k∈Z)].但应注意，零点[x=2kπ(k∈Z)]在函数[y=sinx]的单调递增区间[[2kπ-π2,2kπ+π2)(k∈Z)]上；零点[x=2kπ+π(k∈Z)]在函数[y=sinx]的单调递减区间[[2kπ+π2,2kπ+3π2)(k∈Z)]上.若函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）的零点[(x0,0)]在增区间上，则[ωx0+φ=2kπ(k∈Z),]若零点[(x0,0)]在函数[y=Asin(ωx+φ)]（[A]＞0）的减区间上，则[ωx0+φ=2kπ+π(k∈Z)].
例4函数[f(x)=Asin(ωx+φ)]（[A,ω,φ]为常数，[A]＞0，[ω]＞0，[φ]＜[π]）的部分图象如图所示，求[f(x)]的解析式.
分析点（[π3,0]）是函数的一个零点，如果令[ω×π3+φ=2kπ(k∈Z)]，则是错误的，令[ω×π3+φ=kπ][(k∈Z)]也不妥当，因为此零点在函数的单调递减区间上，故[ω×π3+φ=2kπ+π(k∈Z)]可准确快速地求出[φ].
解由图可知[A=2]，[T4=7π12-π3=π4]，
[∴T=π]，[ω=2πT=2].
[∴f(x)=2sin(2x+φ)].
将点（[π3,0]）代入上式得
[2sin(2×π3+φ)]=0.
又点（[π3,0]）在此函数的单调递减区间内，
[∴2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z)]，
求得[φ=2kπ+π3(k∈Z)]，
又[∵][φ]＜[π]，[∴φ=π3].
[∴f(x)]的解析式为[f(x)=2sin(2x+π3)].
点拨根据零点求初相时，一定要弄清楚零点是在单调递增区间上还是单调递减区间上. 此题也可根据最低点的坐标求[φ].
4. 根据对称性求初相
函数[y=sinx]的对称轴为[x=kπ+π2(k∈Z)]，对称中心为[(kπ,0)]，我们可以利用正弦函数的这条性质求初相.
例5设函数[f(x)=sin(2x+φ)]（[-π]＜[φ]＜0），[y=f(x)]的一条对称轴是直线[x=π8]，求[φ].
解析[∵x=π8]是函数[y=f(x)]的一条对称轴，
[∴sin(2×π8+φ)=±1]，[∴π4+φ=kπ+π2,k∈Z.]
[∵-π]＜[φ]＜0,[∴]取[k=-1]得[φ=-3π4].
1. 求函数[y=2sin(-2x-π3)(x≥0)]的初相.
2. 函数[y=sin(ωx+φ)]（[x∈R],[ω]＞0, 0[≤φ]＜[2π]）的部分图象如图，则（ ）
A．[ω=π2,φ=π4] B．[ω=π3,φ=π6]
C．[ω=π4,φ=π4] D．[ω=π4,φ=5π4]
4.如果函数[y=3sin(2x+φ)]的图象关于点[(4π3,0)]中心对称，那么[φ]的最小值为（ ）
A. [π6] B. [π4]
C. [π3] D. [π2]
5. 已知函数[f(x)=Asin(3x+φ)]（A＞0，[x∈R],0＜[φ]＜[π]）在[x=π12]时取得最大值4，求[f(x)]的解析式.
[【参考答案】]
1. [4π3]或[-2π3] 2. C 3. C
4. [fx=4sin(3x+π4)]