【摘要】 本文借助于洛必达法则和极限的性质给出了未定型00,∞0,1∞极限的求法,并结合具体例题说明其应用.
　　 【关键词】 未定型极限 洛必达法则
　　
　　 极限是整个高等数学的基础,任何用到高等数学的地方都离不开它的存在,因而它的求法也就至关重要,在这里我们通过定理的形式给出一些未定型极限的求法.
　　 一､00型
　　 定理1 设函数f(x) → 0,g(x) → 0 ,极限lim f(x)g(x)可看做是00型,那么limf(x)g(x) = elimg(x)•lnf(x)
　　 其中(x → ∞,x → -∞,x → +∞;x → a,x → a+,x → a-)
　　 证明 因为f(x)g(x) = elimg(x) •lnf(x),所以根据初等函数的连续以及极限的四则运算法则有
　　 limf(x)g(x) = limeg(x) • lnf(x) = elimg(x) •lnf(x) .
　　 其中g(x)•lnf(x)为0•∞型可以转化成 或 型,然后再应用洛必达法则.
　　 例1 求极限 xsin x.
　　 解 这是00型未定式,根据定理1可得
　　 xsin x = e= e= e=
　　 e= e0 = 1.
　　 二､ ∞0型
　　 定理2 设函数f(x)→∞,g(x)→0,极限limf(x)g(x)可看做是∞0型,那么limf(x)g(x) = elimg(x)•lnf(x)
　　 其中(x→∞,x→-∞,x→+∞,x→a,x→a+,x→a-).
　　 证明 因为f(x)g(x) = eg(x) •lnf(x),所以根据初等函数的连续以及极限的四则运算法则有
　　 limf(x)g(x) = limeg(x) •lnf(x) = elimg(x)•lnf(x) .
　　 其中g(x)•lnf(x)为0•∞型可以转化成 或 型,然后再应用洛必达法则.
　　 例2 求极限 (tan x) .
　　 解 这是∞0型未定式,应用定理2得
　　
　　 (tan x)= e= e=
　　 e = e= e= e0 = 1.
　　 三､ 1∞型
　　 定理3 设函数f(x)→1,g(x)→∞,极限limf(x)g(x)可看做是1∞型,那么limf(x)g(x) = elim(f(x) - 1) •g(x)
　　 其中(x → ∞,x → -∞,x → +∞;x → a,x → a+,x → a-). 证明 因为f(x)g(x) = [1 + (f(x) - 1)]g(x) = [1 + (f(x) - 1)],
　　 所以根据重要极限有
　　 limf(x)g(x) = elim(f(x) - 1)•g(x)
　　 其中g(x)•lnf(x)为0•∞型可以转化成或 型,然后再应用洛必达法则.
　　 例3 求极限 (sin x)tan x .
　　 解 这是1∞型,根据定理3知
　　 (sin x)tan x= e= e= e =
　　e0 = 1.
　　
　　 【参考文献】
　　 [1] 同济大学应用数学系. 高等数学(上册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2006.
　　 [2] 陈纪修等. 数学分析(上册)(第一版)[M].北京:高等教育出版社, 2003.
　　 [3] 姚炳学等. 高等数学(乙种本上册)(第一版)[M].东营:石油大学出版社,2003.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”