论文部分内容阅读
对于任何一种数列，只要能求出它的通项公式，什么都好解决，掌握了通项公式的求法，就学好数列的一半内容，因此，高考题常要求出数列的通项公式。本文给同学们介绍几种最常用的求法。
1 加法求通项公式
例1、（北京，文16改编）数列{an}中，a1=2，an+1=an+nC（C是常数，n=1，2，3，…）且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。
求{an}的通项公式。
解：∵a1=2，an+1=an+nC
∴a2=2+C，a3=2+C+2C=2+3C
又∵a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，∴C≠0
由（2+C）2=2（2+3C）
∴C=2
∴a1=2，a2=4，a3=8，an+1=an+2n
∴an=an-1+2（n-1），即an-an-1=2（n-1）（n2）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2
=2×（1+n-1）（n-1）2+2
=n2-n+2（n2）
当n=1时a1=2上式也适合。
∴an=n2-n+2（n∈N*）。
讲评：常用累加法求形如a1=a，an+1=an+f（n）数列通项公式。
练习1：（江西卷5）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1n），则 an=A
A. 2+ln n B. 2+（n-1）ln n
C. 2+n ln nD. 1+n+ln n
练习2：（四川卷）2008设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=
n（n+1）2+1
。
【解】∵a1=2，an+1=an+n+1 ∴an=an-1+（n-1）+1，an-1=an-2+（n-2）+1，an-2=an-3+（n-3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1
将以上各式相加得：
an=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+n+1
=（n-1）[（n-1）+1]2+n+1=（n-1）n2+n+1
=n（n+1）2+1
故应填n（n+1）2+1；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住an+1=an+n+1中an+1，an系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
2 减法求通项公式
例2、（山东，17改编）设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1·an=n3，（n∈N*）求数列{an}的通项；
解：（Ⅰ）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1·an=n3，①
a1+3a2+32a3+…+3n-2·an-1=n-13（n2），②
①—②得：3n-1·an=13an=13n
当n=1时，a1=13也适合上式.
∴an=13n（n∈N*）
讲评：对应相减和错位相减都是求数列的an，sn的常用方法。
练习1：（重庆改编）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N。
求{an}的通项公式；
解：由a1=S1=16（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1>1，因此a1=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=16（an+1+1）（an+1+2）-16（an+1）（an+2）， （Ⅰ）
得（an+1+an）（an+1-an-3）=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去
因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an=3n-1
讲评：形如（Ⅰ）式或可化为（Ⅰ）的复杂递推关系式，常用因式分解法求解。
练习2：
200516. （山东卷）
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）
（I）证明数列{an+1}是等比数列；
解：由已知Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）可得n2，Sn=2Sn-1+n+4两式相减得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1即an+1=2an+1从而an+1+1=2（an+1）当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11从而a2+1=2（a1+1）
故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0从而an+1+1an+1=2即数列{an+1}是等比数列；
3 乘法求通项公式
例3、设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n∈N*），求它的通项公式。
解析：分解因式可得[（n+1）an+1-nan]·[an+1+an]=0，又an>0，则（n+1）an+1-nan=0，即an+1an=nn+1.又a1=1，由累积法可得an=anan-1 an-1an-2 an-2an-3 a2a1a1=1n.
练习.2004已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），则{an}的通项 an=1n=1
n！/2
n2
讲评：形如an+1an=nn+1或可化为此形式的数列题常用累积法。
4 除法求通项公式
例4、2008全1（本小题满分12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.
（Ⅰ）设bn=an2n-1.证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.
解析：（1）∵在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，bn=an2n-1，∴bn+1-bn=an+12n-an2n-1=an+1-2an2n=1，所以数列数列{bn}是等差数列是等差数列，且bn=n。
（2）由（1）知，bn=n，又bn=an2n-1，所以an=n·2n-1，则Sn=1×1+2×2+…+n×2n-1，2Sn=1×2+2×22+…+n×2n，两式相减得Sn=n×2n-1×20-1×2-…-2n-1=（n-1）×2n+1。
练习1：（江西卷改编）已知数列{an}满足：a1=32，且an=3nan-12an-1+n-1（n2，n∈N*）
求数列{an}的通项公式；
解：将条件变为：1-nan=13（1-n-1an-1），因此{1-nan}为一个等比数列，其首项为1-1a1=13，公比13，从而1-nan=13n，据此得an=n·3n3n-1（n1）
讲评：恒等变形是求通项公式的最常用的技巧。
练习2：2008（陕西卷22）.（本小题满分14分）
已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，….
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
解法一：（Ⅰ）∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13（1an-1），
又1an-1=23，∴（1an-1）是以23为首项，13为公比的等比数列.
∴1an-1=23 13n-1=23n，∴an=3n3n+2.
（14分）已知数列{an}中，a1=13，当n2时，其前n项和Sn满足an=2S2n2Sn-1，
（1）求Sn的表达式及 limn→∞anS2n的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（1）an=Sn-Sn-1=2S2n2Sn-1Sn-1-Sn=2SnSn-11Sn-1Sn-1=2（n2）
所以{1Sn}是等差数列。则Sn=12n+1。
limn→∞anS2n=limn→∞22Sn-1=22limn→∞Sn-1=-2。
（2）当n2时，an=Sn-Sn-1=12n+1-12n-1=-24n2-1，
综上，an=13（n=1）
21-4n2（n2）。
1 加法求通项公式
例1、（北京，文16改编）数列{an}中，a1=2，an+1=an+nC（C是常数，n=1，2，3，…）且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。
求{an}的通项公式。
解：∵a1=2，an+1=an+nC
∴a2=2+C，a3=2+C+2C=2+3C
又∵a1，a2，a3成公比不为1的等比数列，∴C≠0
由（2+C）2=2（2+3C）
∴C=2
∴a1=2，a2=4，a3=8，an+1=an+2n
∴an=an-1+2（n-1），即an-an-1=2（n-1）（n2）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2
=2×（1+n-1）（n-1）2+2
=n2-n+2（n2）
当n=1时a1=2上式也适合。
∴an=n2-n+2（n∈N*）。
讲评：常用累加法求形如a1=a，an+1=an+f（n）数列通项公式。
练习1：（江西卷5）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1n），则 an=A
A. 2+ln n B. 2+（n-1）ln n
C. 2+n ln nD. 1+n+ln n
练习2：（四川卷）2008设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an=
n（n+1）2+1
。
【解】∵a1=2，an+1=an+n+1 ∴an=an-1+（n-1）+1，an-1=an-2+（n-2）+1，an-2=an-3+（n-3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1
将以上各式相加得：
an=[（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1]+n+1
=（n-1）[（n-1）+1]2+n+1=（n-1）n2+n+1
=n（n+1）2+1
故应填n（n+1）2+1；
【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；
【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住an+1=an+n+1中an+1，an系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
2 减法求通项公式
例2、（山东，17改编）设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1·an=n3，（n∈N*）求数列{an}的通项；
解：（Ⅰ）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1·an=n3，①
a1+3a2+32a3+…+3n-2·an-1=n-13（n2），②
①—②得：3n-1·an=13an=13n
当n=1时，a1=13也适合上式.
∴an=13n（n∈N*）
讲评：对应相减和错位相减都是求数列的an，sn的常用方法。
练习1：（重庆改编）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N。
求{an}的通项公式；
解：由a1=S1=16（a1+1）（a1+2），解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1>1，因此a1=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=16（an+1+1）（an+1+2）-16（an+1）（an+2）， （Ⅰ）
得（an+1+an）（an+1-an-3）=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去
因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an=3n-1
讲评：形如（Ⅰ）式或可化为（Ⅰ）的复杂递推关系式，常用因式分解法求解。
练习2：
200516. （山东卷）
已知数列{an}的首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）
（I）证明数列{an+1}是等比数列；
解：由已知Sn+1=Sn+n+5（n∈N*）可得n2，Sn=2Sn-1+n+4两式相减得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1即an+1=2an+1从而an+1+1=2（an+1）当n=1时S2=2S1+1+5所以a2+a1=2a1+6又a1=5所以a2=11从而a2+1=2（a1+1）
故总有an+1+1=2（an+1），n∈N*又a1=5，a1+1≠0从而an+1+1an+1=2即数列{an+1}是等比数列；
3 乘法求通项公式
例3、设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n∈N*），求它的通项公式。
解析：分解因式可得[（n+1）an+1-nan]·[an+1+an]=0，又an>0，则（n+1）an+1-nan=0，即an+1an=nn+1.又a1=1，由累积法可得an=anan-1 an-1an-2 an-2an-3 a2a1a1=1n.
练习.2004已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），则{an}的通项 an=1n=1
n！/2
n2
讲评：形如an+1an=nn+1或可化为此形式的数列题常用累积法。
4 除法求通项公式
例4、2008全1（本小题满分12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.
（Ⅰ）设bn=an2n-1.证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn.
解析：（1）∵在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，bn=an2n-1，∴bn+1-bn=an+12n-an2n-1=an+1-2an2n=1，所以数列数列{bn}是等差数列是等差数列，且bn=n。
（2）由（1）知，bn=n，又bn=an2n-1，所以an=n·2n-1，则Sn=1×1+2×2+…+n×2n-1，2Sn=1×2+2×22+…+n×2n，两式相减得Sn=n×2n-1×20-1×2-…-2n-1=（n-1）×2n+1。
练习1：（江西卷改编）已知数列{an}满足：a1=32，且an=3nan-12an-1+n-1（n2，n∈N*）
求数列{an}的通项公式；
解：将条件变为：1-nan=13（1-n-1an-1），因此{1-nan}为一个等比数列，其首项为1-1a1=13，公比13，从而1-nan=13n，据此得an=n·3n3n-1（n1）
讲评：恒等变形是求通项公式的最常用的技巧。
练习2：2008（陕西卷22）.（本小题满分14分）
已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，….
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
解法一：（Ⅰ）∵an+1=3an2an+1，∴1an+1=23+13an，∴1an+1-1=13（1an-1），
又1an-1=23，∴（1an-1）是以23为首项，13为公比的等比数列.
∴1an-1=23 13n-1=23n，∴an=3n3n+2.
（14分）已知数列{an}中，a1=13，当n2时，其前n项和Sn满足an=2S2n2Sn-1，
（1）求Sn的表达式及 limn→∞anS2n的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（1）an=Sn-Sn-1=2S2n2Sn-1Sn-1-Sn=2SnSn-11Sn-1Sn-1=2（n2）
所以{1Sn}是等差数列。则Sn=12n+1。
limn→∞anS2n=limn→∞22Sn-1=22limn→∞Sn-1=-2。
（2）当n2时，an=Sn-Sn-1=12n+1-12n-1=-24n2-1，
综上，an=13（n=1）
21-4n2（n2）。