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摘 要：本文通过构建一个生产依赖的货币需求模型来探讨经济衰退和经济周期问题。这个模型给出了一个生产依赖的货币需求方程和货币增速方程。基于这两个方程，我们提出经济衰退发生的数学条件，即当货币增速小于产值增速时，经济衰退就将发生。这个结论能够成功解释中国经济史上的3次衰退和2020年的第4次经济衰退，以及美国20世纪60年代以来频繁的经济衰退。除此之外，本文的模型也提供了关于经济周期现象的一个新理解。
关键词：经济衰退 经济周期
一、引论
人们没有任何时候像今天一样渴望对自身经济规律的认识。仅仅时隔13年，人类又一次经历了全球性经济衰退，上一次还是在2007年，它由美国的次贷危机引起，波及全球。虽然这一次全球性经济衰退的起因是出人意料的新冠肺炎疫情引起的，但是经济学家面临同样的困境。新古典派和凯恩斯主义依然在争论不休，而政府最终依然选择凯恩斯主义者的建议，寄希望于扩张的货币和财政政策，但同时经济学家们又说不清量化宽松的政策对经济长期增长的危害，就和13年前一样。经济学家们仍然不能解释经济周期产生的原因;不知道下一次衰退会在什么时候发生;也仍然不确定政府应当采取的最佳对策是什么。
现代宏观经济学理论体系的缺陷在于假设。索洛在就任美国经济学会主席的演讲中就提到，新古典派的经济学家们以假设来排除工资和价格黏性，以及市场不能出清的可能性，乃是“愚蠢的限制”。他说，“我记得自己读到过一篇文章，说到科学家们还没有搞清楚长颈鹿的心脏如何能向自己的头部充分供血。但是很难想象，有人居然会就此得出结论说，这些生物的长颈并不存在。”。但实际上，凯恩斯主义又何尝不是以假设来排除市场出清的可能性呢？
凯恩斯主义假设产品价格和劳动力价格存在黏性以至于市场不能出清。价格黏性的假设已经作为宏观经济学的基本假设被引入到动态随机一般均衡理论，用来重新理解经济的波动。然而，新古典学派认为这个假设对于理解经济周期并不重要。尽管经济学家给出了各种支持它的解释，但是价格黏性假设并非永久可靠。正如保罗·克鲁格曼的评论：“我们现在可以解释价格黏性如何发生了。然而，有关它什么时候会发生、什么时候不会发生的预测，以及从菜单成本到真实菲利普斯曲线的模型，这些似乎还没有发展出来。”
不可靠的假设往往是致命的，对物理学家而言，与其相信不必要的假设，不如不带任何偏见直接对宏观经济学的过程建模。在这篇文章里，笔者主要关注货币的创生过程，考察了社会生产因素，即预期产业回报率，因而也是银行贷款利率或者国债收益率在货币创生过程中的作用。在这个模型下，我们得到了这样一个结论：如果一个经济体的货币增速与经济产值增速之差为负，那么，无论经济当局采取什么货币和财政政策，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速会出现衰退。
二、生产依赖的货币创生模型：货币需求方程
我们假设一个经济中存在银行、企业和消费者三种角色。企业向银行贷款，购买物料和人力，组织生产;然后企业把生产的产品售卖给消费者，实现投资的货币回报;企业在实现产品的货币价值后，再把货币本金和回报储蓄到银行里;其后，银行再扣除掉存款准备金和一部分备用金，把剩下的资金继续贷款给企业组织生产。
這个过程中，当企业把产品售卖给消费者时，银行实际上也为消费者提供消费贷款，以实现社会再生产的循环。因此，对于整个经济来讲，货币在某一时间的创生就来自银行的两次贷款，一次就是银行对企业的贷款以帮助企业组织生产，一次是银行对消费者的贷款以帮助企业实现产品价值。而消费贷款的来源可以认为是银行储存的备用金，也可以认为是来自央行的“印钞机”。
这就是本文模型假设经济中货币的创生过程。简单地说，就是在传统的货币创生模型基础上，除了存款准备金率等因素外引入了生产和消费的因素，当然消费本质上也是为生产服务的。
图1是本文模型的示意。首先，银行有存款M0，银行在扣除了一定存款准备金和备用金后，把剩余资金（1-a）M0贷给企业。这里a是常数存款准备金率和常数备用金率之和。企业主在原材料和人力市场上消费掉这笔资金，也就是过程C1，企业主获得了展开生产的物料和人力。显然，这笔资金通过消费过程C1并不能增值。
企业主展开生产后，生产出产值为P0Y0的产品，即
其中，P0为产品的市场交易价格，Y0是产品数量，而r0是这批产品的在第0期的预期回报率。所谓预期回报率就是产品的产值相对货币投入的价值增长率，它不是实际销售额带来的回报率，而是产品产值体现出来的增长率。r0也可以认为是银行的贷款利率，如果把产品理解为国债金融产品，则它可以理解为国债收益率。
实际上，消费者单纯从生产本身获得的财富是付不起全部产品的价值的，他们必须从银行获得消费贷款b*P0Y0，才能够完成消费过程C2。这里b代表常数销售率，也就是实际销售额与全部产出的产值的比例。
当消费者购买产品后，生产企业就实现了产品的货币价值，企业主于是将本金和利润b*P0Y0存于银行。银行在扣除存款准备金和备用金后，把剩余资金（1-a）*b*P0Y0继续贷款给企业组织生产。那么，一个经济社会的货币需求就来自三个部分：银行存款，生产贷款和消费贷款。其中后两个贷款项之和就是经济社会创生的货币量。
比如，在第0期生产中，银行创生了（1-a）M0+b*P0Y0的货币，考虑式（1），可以写为（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0，再加上存款M0就是第0期的货币需求量，即（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0 +（P0Y0）/＼[（1-a）（1+r0）＼];而经济社会的产出为P0Y0。 企业又利用贷款（1-a）*b*P0Y0生产出产值为（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0 的产品，这里r1是第1期的产品预期回报率，其后消费者又向银行贷款 （1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0完成了消费。因此，第1期生产，银行创生了（1-a）*b*P0Y0 +（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，货币需求为b*P0Y0+（1-a）*b*P0Y0 +（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，而社会的产出为（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0。
同理，第2期银行创造的货币为（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2 （1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，货币需求为（1-a）（1+r1）b2 P0Y0+（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，而社会产出为（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b2*P0Y0。
由此可见，第n期的货币需求量Mn也为三部分组成，即
Mn=（1-a）1+r0n∏ni=0（1+ri）bn+1P0Y0+（1-a）1+r0n∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0+（1-a）1+r0n-1∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0 （2）
这里n=0，1，2，3…，∏…表示连乘符号。而第n期的产出为
式（2）中的第一项为消费贷款;第二项为生产贷款;第三项为银行存款。结合式（2）和式（3），我们得到货币需求和产出及价格之间的关系：
式（4）可以变为连续时间下的形式：
式（5）就是生产依赖的货币创生模型下得到的货币需求方程。根据此方程，我们可以立即得到几个结论：
（1）如果按照货币交易理论理解，系数b+2-a（1-a）（1+r（t））的倒数可以看作货币周转速度，显然，货币周转速度与利率成正比。如果从流动性偏好的角度考虑，M/P为实际货币余额，那么它可以看成由兩部分组成，一部分是bY，也就是实际货币余额与收入成正比;另一部分是 2-a1-a*Y1+r，说明当充分就业时，实际货币余额与利率成反比。这两个结论和传统货币理论的基本结论是一致的。
（2）对生产依赖的货币需求式（5）来说，货币需求可以分成两部分，即M=1+11-aPY1+r+bPY，第一部分是来自生产过程的货币需求，它又分为两部分，PY1+r+11-aPY1+r。 其中，PY1+r 是组织生产所需要的初始货币资本，它是由银行贷款给企业的，是创生货币;而 11-aPY1+r则是银行的存款，银行以它为基础减去存款准备金以及其他备用金后把贷款发给企业作为生产的初始资本。第二部分是来自消费产品的货币需求，也来自银行贷款。因此，在这个生产依赖的货币需求模型里，货币购买力需求M/P包括来自生产的需求F1（r，Y）和消费的需求F2（Y），即M/P= F1（r，Y）+ F2（Y）。
（3）货币数量论在这个模型下不是明显成立的，因为产品预期回报率，或者贷款利率r本身与产值PY也是有联系的，这使得M与P的关系变得复杂。
三、动态分析：货币增速方程
我们现在来看一下货币需求与产值的动态关系。
令 ω为产值的增速，即ω=PY˙/PY，由模型可知，
我们对货币需求式（5）两边求导，并利用式（6），可得：
这里，q为货币需求量的增速，即M˙/M。式（7）就是货币需求的增速方程。我们看到货币需求的变化与销售率b无关。
货币量增速与产值增速之间相差一个关于产值的加速量 ω˙的项。对于货币交易论者，q和 ω可以通过货币周转速度的变化来解释两者之间的差额，然而在这个模型中，这个差额不是独立的，而是和ω及其变化率有关。
特别是，我们注意到式（7）的加速项中只有产值增速的变化率 ω˙可能为负，于是，当q>ω的时候，ω˙为负;而当q<ω的时候，ω˙为正，这说明q-ω的正负决定了ω变化的方向，进而决定了加速项的变化，可见，货币周转速度是不稳定的。货币周转速度的不稳定性决定了货币数量论的复杂性。
四、经济周期和经济衰退
为了求解货币增速式（7），我们假设货币需求增速q为常数。这个假设是安全的，因为在现实经济中，很多情况下q变化是缓慢的。于是，式（7）变为：
式（8）的相图如图2所示，注意经济学意义上，ω>-1。由图可知，方程在ω=-1处有一个均衡点，在ω=q处有一个不稳定的均衡点。那么它的经济学意义又是什么呢？
我们先定义一个变量 k=q-ω 为货币需求的相对增速，即货币增速相对于产值增速的差值。它表明了经济运行的阶段，k<0表明经济处于不稳定的加速阶段;而k>0表明经济处于不稳定的减速阶段。 我们于是从式（8）可以得出以下几个结论：
（1）货币的相对增速k与产值增速 ω呈线性负相关关系，斜率为-1且截距为q。我们总是希望通过降低k值来阻止经济产值增速的下降，但是如果k值降低到小于0，那么经济将进入不稳定的加速增长区，此时我们又希望增加k值来避免经济滑入不稳定的加速区。因此，经济当局应该尽力调整k值，使得经济产值总是处于减速正增长的状态。
（2）超长期看，只要一个经济体的k值为正，它的产出产值就趋向归零。索洛的增长模型一个重要的结论就是经济收敛性，也就是越发达的经济体的的经济增长率越低。然而，在我们的模型里，所有经济只要产出的产值增速跟不上货币增速，经济就将趋向于一个归0的均衡态。索洛模型无法解释穷国经济增长率也同样低的原因，而在我们的模型里，穷国和富国一样，只要经济超长期处于k>0的条件，经济产值增长率就会越来越小，最后进入经济负增长阶段。这个结论表明，人类自身具有改变k值的能力，使得人类社会的经济产值能够总是保持增长，但仍然要长期与不断趋小的增长率斗争。
（3）当产出产值增长率ω=q，经济处于一个不稳定的均衡态，一般而言，当经济升温，ω伴随着企业生产热情不断增大，经济体总是会跃入ω>q的非均衡态。这是一个正反馈的不稳定态，现实中的产值是不可能无限大的，因此未来某一时刻经济必然出现拐点，使得下降为负数，而也在短时间内下滑。这种情况在现实中，要么是经济发生危机，要么是经济出现回落。前者表现为产值增速断崖下跌：实际产出的增长率急速下降，或者通胀率急速下降，再或者就是两者双双快速下降。后者表现相对缓和，但经济产值增速逐期放缓。因此，经济危机或者经济回落，也就是经济衰退发生的数学条件就是货币的相对增速k<0，即q<ω。这是本文一个重要结论，称为k值原理，后面会用数据验证这个结论。
（4）由于经济总是趋向一个均衡态，但是我们的模型显示这个均衡态是ω=-1的产值毁灭态，就像热力学的“热寂说”一样，因此经济下滑是它天生的惯性。不过人类总是能够通过各种方式，让k值变小来反抗这种下滑的惯性。人类与经济之间这种惯性与反惯性的斗争就形成了经济周期。所以，本质上说，经济周期是由这种市场经济运行机制本身带来的，是不可消除的。当然，表面的原因就是产业预期回报率，利率或者国债收益率长期变小的趋势造成的。
（5）对经济周期具体过程而言，它包含了经濟产值繁荣和衰退两个过程，以及“重置”A和“顶峰”B两个拐点，如图2中的A点和B点。当经济从A点出发，产值ω不断增长，经济进入繁荣期，随着人们对经济预期回报的乐观，经济到达不稳定的均衡点ω=q点，并滑向加速增长的不稳定区域，最终在B点达到一个最大的产值增长率ωMAX，并转而向下，也就是产值加速度
由正变负，同时产值增速 ω转为下降。随后经济进入由B->A的衰退期，这个衰退期可能表现为经济危机的剧烈形式，也可能就是经济的一般回落。在A点，人们终于创造出新的经济增长点，k值开始降低，阻挡了产业预期回报率和利率下滑的趋势，重置了经济，从而经济又开始一个新周期的运行。当然，如果人们不能及时降低 k值，那么经济就可能滑入绝对负增长的区域。
五、事实与数据
为了验证关于经济衰退的数学条件，即当k<0时，就意味着未来宏观经济将要发生危机或者回落，我们研究了中国和美国经济历史上的经济衰退。所用的经济数据非常常见，就是广义货币M2年增长率q，GDP年增长率g ，和CPI年增长率c，因此k值就是q-（c+g）;而产值增速 ω=c+g。
中国经济的情况如图3所示， k值在k=0轴以下的阴影部分解释了不久后发生的经济衰退。从1987年到2015年，中国经济的k值有3次小于0，也就是1988—1989年，1994年和2007年。从数据看，k值首次小于0的当年，产值增速 ω就达到了最大值，其后经济便进入了 ω逐年下降的衰退期，有些年份 ω还出现断崖式下跌。对应1988—1989年k值小于0那次，产值增速 ω在1990年发生了断崖下跌，ω由上一年的2252%下降到697%，其降速为-6907%;对应1994年k值小于0那次，产值增速 ω第二年就进入逐年下降的周期，并在1998年产值增速快速下跌，ω在1998年的年度降速为-4191%;对应2007年k值小于0那次，ω也在2009年发生了断崖下跌，增速 ω由上一年的1552%下降到87%，其降速为-4396%。
我们知道1990年，1995—1998年和2008—2009年是中国经济史上有名的衰退期。而这一切发生之前，宏观经济数据的k值就已经提前表现出来了。无独有偶，2019年的k值再一次小于0，可以预见的是，中国的宏观经济又将进入一个衰退期。值得注意的是，图3中2011年开始的 ω值衰退，看上去并没有k<0的区域来解释，但是实际上它仍然可看作自2007年ω达到峰值以来的衰退期。我们知道那一次衰退中，政策当局为经济提供了4万亿元的量化宽松，使得经济可以在短期内改变方向，但大的周期方向并没有改变。这也可以让我们得出这样一个结论：如果一个经济在某个周期里k<0，那么未来的周期里至少有一个周期的产值增速是下降的。
我们再来看一下美国的数据。如图4所示， k值在k=0轴以下的阴影部分能够解释其后发生的产值增速下降的事实，也就是k<0总是出现在产值增速下降以前。表1中，在k值上画实线框的位置k<0，其右上方总有 ω的增长率为负的数据与其对应，它们被画在点画线框内。也就是，每当k<0出现，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速ω会出现下降。虽然ω下降的周期位置距离k<0的周期位置有长有短，这取决于宏观货币和财政政策干预的强度，但是ω下降的事实总会发生。 由表1，我們能够发现，一般在k<0出现周期的附近，经济产值增速会达到顶峰，其后经济进入衰退期，即产值增速 ω下降的周期。然而，经济是以危机形式表现的衰退，还是以一般回落表现的衰退，我们的理论目前还无法确定。也就是说，k值原理实际上是一个描述经济拐点的理论。
我们也由表1看到，美国的经济可以在不稳定的加速区运行数年，也就是经济连续几年处于k<0的状态，这个特点完全不同于中国经济。中国经济在不稳定的正反馈区运行的时间很短，最多就是2年（1988年和1989年）。另外，我们也看到，美国经济衰退的频率很高，这也决定了美国经济无法实现高速增长，而中国经济自1987年以来的30多年里，仅仅发生过3次衰退。
六、总结
我们的模型暗含着货币的创生是因为社会生产的需要。不同于马歇尔，凯恩斯和弗里德曼从个人需求的角度思考货币的需求，本文是从社会的视角来讨论货币的需求。
本文通过构建一个生产依赖的货币需求模型来探讨经济衰退和经济周期问题。这个模型给出了一个生产依赖的货币需求方程和货币增速方程，基于这两个方程，我们可以得到几个有趣的结论。
（1）如果一个经济体的货币增速与经济产值增速之差为负，那么，无论经济当局采取什么货币和财政政策，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速会出现衰退。
（2）市场经济形态决定了经济产值最终将走向负增长。无论经济当局如何设计货币政策，如何构造关于货币增速q的微分方程 q˙（t）=Q（q，ω，ω˙），货币增速方程（7）告诉我们ω=-1总是经济的均衡态。我们从欧洲发达国家和日本的经济史可以看出，自由经济体的经济产值增长率确实长期是下降的趋势。美国也是一样。从中国40年的市场经济史也可以看出经济增长长期降速的趋势。该模型（方程（6））还告诉我们，伴随着经济长期降速的是利率长期下降的趋势，这一点也是符合事实的。
（3）经济周期的原因本质上是由于市场经济运行机制本身引起的，是不可消除的。正是由于人们反抗经济长期下行的惯性才造成了经济的周期性。
参考文献
[1] N·格雷戈里·曼昆宏观经济学简史：工程师型与科学家型经济学家的角力[J]. 中国证券期货，2014（11）：76-86
[2] WOODFORD MInterest and prices ： foundations of a theory of monetary policy [M]. Princeton University Press，2003
[3]BARRO R J Macroeconomics[M]. 5th editionMassachusetts： MIT press， 1997
[4]DAVID ROMER Advanced Macroeconomics[M]. 2nd editionShanghai： Shanghai University of Finance & Economics Press and McGraw-Hill， 2003
关键词：经济衰退 经济周期
一、引论
人们没有任何时候像今天一样渴望对自身经济规律的认识。仅仅时隔13年，人类又一次经历了全球性经济衰退，上一次还是在2007年，它由美国的次贷危机引起，波及全球。虽然这一次全球性经济衰退的起因是出人意料的新冠肺炎疫情引起的，但是经济学家面临同样的困境。新古典派和凯恩斯主义依然在争论不休，而政府最终依然选择凯恩斯主义者的建议，寄希望于扩张的货币和财政政策，但同时经济学家们又说不清量化宽松的政策对经济长期增长的危害，就和13年前一样。经济学家们仍然不能解释经济周期产生的原因;不知道下一次衰退会在什么时候发生;也仍然不确定政府应当采取的最佳对策是什么。
现代宏观经济学理论体系的缺陷在于假设。索洛在就任美国经济学会主席的演讲中就提到，新古典派的经济学家们以假设来排除工资和价格黏性，以及市场不能出清的可能性，乃是“愚蠢的限制”。他说，“我记得自己读到过一篇文章，说到科学家们还没有搞清楚长颈鹿的心脏如何能向自己的头部充分供血。但是很难想象，有人居然会就此得出结论说，这些生物的长颈并不存在。”。但实际上，凯恩斯主义又何尝不是以假设来排除市场出清的可能性呢？
凯恩斯主义假设产品价格和劳动力价格存在黏性以至于市场不能出清。价格黏性的假设已经作为宏观经济学的基本假设被引入到动态随机一般均衡理论，用来重新理解经济的波动。然而，新古典学派认为这个假设对于理解经济周期并不重要。尽管经济学家给出了各种支持它的解释，但是价格黏性假设并非永久可靠。正如保罗·克鲁格曼的评论：“我们现在可以解释价格黏性如何发生了。然而，有关它什么时候会发生、什么时候不会发生的预测，以及从菜单成本到真实菲利普斯曲线的模型，这些似乎还没有发展出来。”
不可靠的假设往往是致命的，对物理学家而言，与其相信不必要的假设，不如不带任何偏见直接对宏观经济学的过程建模。在这篇文章里，笔者主要关注货币的创生过程，考察了社会生产因素，即预期产业回报率，因而也是银行贷款利率或者国债收益率在货币创生过程中的作用。在这个模型下，我们得到了这样一个结论：如果一个经济体的货币增速与经济产值增速之差为负，那么，无论经济当局采取什么货币和财政政策，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速会出现衰退。
二、生产依赖的货币创生模型：货币需求方程
我们假设一个经济中存在银行、企业和消费者三种角色。企业向银行贷款，购买物料和人力，组织生产;然后企业把生产的产品售卖给消费者，实现投资的货币回报;企业在实现产品的货币价值后，再把货币本金和回报储蓄到银行里;其后，银行再扣除掉存款准备金和一部分备用金，把剩下的资金继续贷款给企业组织生产。
這个过程中，当企业把产品售卖给消费者时，银行实际上也为消费者提供消费贷款，以实现社会再生产的循环。因此，对于整个经济来讲，货币在某一时间的创生就来自银行的两次贷款，一次就是银行对企业的贷款以帮助企业组织生产，一次是银行对消费者的贷款以帮助企业实现产品价值。而消费贷款的来源可以认为是银行储存的备用金，也可以认为是来自央行的“印钞机”。
这就是本文模型假设经济中货币的创生过程。简单地说，就是在传统的货币创生模型基础上，除了存款准备金率等因素外引入了生产和消费的因素，当然消费本质上也是为生产服务的。
图1是本文模型的示意。首先，银行有存款M0，银行在扣除了一定存款准备金和备用金后，把剩余资金（1-a）M0贷给企业。这里a是常数存款准备金率和常数备用金率之和。企业主在原材料和人力市场上消费掉这笔资金，也就是过程C1，企业主获得了展开生产的物料和人力。显然，这笔资金通过消费过程C1并不能增值。
企业主展开生产后，生产出产值为P0Y0的产品，即
其中，P0为产品的市场交易价格，Y0是产品数量，而r0是这批产品的在第0期的预期回报率。所谓预期回报率就是产品的产值相对货币投入的价值增长率，它不是实际销售额带来的回报率，而是产品产值体现出来的增长率。r0也可以认为是银行的贷款利率，如果把产品理解为国债金融产品，则它可以理解为国债收益率。
实际上，消费者单纯从生产本身获得的财富是付不起全部产品的价值的，他们必须从银行获得消费贷款b*P0Y0，才能够完成消费过程C2。这里b代表常数销售率，也就是实际销售额与全部产出的产值的比例。
当消费者购买产品后，生产企业就实现了产品的货币价值，企业主于是将本金和利润b*P0Y0存于银行。银行在扣除存款准备金和备用金后，把剩余资金（1-a）*b*P0Y0继续贷款给企业组织生产。那么，一个经济社会的货币需求就来自三个部分：银行存款，生产贷款和消费贷款。其中后两个贷款项之和就是经济社会创生的货币量。
比如，在第0期生产中，银行创生了（1-a）M0+b*P0Y0的货币，考虑式（1），可以写为（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0，再加上存款M0就是第0期的货币需求量，即（P0Y0）/（1+r0）+b*P0Y0 +（P0Y0）/＼[（1-a）（1+r0）＼];而经济社会的产出为P0Y0。 企业又利用贷款（1-a）*b*P0Y0生产出产值为（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0 的产品，这里r1是第1期的产品预期回报率，其后消费者又向银行贷款 （1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0完成了消费。因此，第1期生产，银行创生了（1-a）*b*P0Y0 +（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，货币需求为b*P0Y0+（1-a）*b*P0Y0 +（1-a）*（1+r1）*b2*P0Y0，而社会的产出为（1-a）*（1+r1）*b*P0Y0。
同理，第2期银行创造的货币为（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2 （1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，货币需求为（1-a）（1+r1）b2 P0Y0+（1-a）2（1+r1）*b2*P0Y0+（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b3*P0Y0，而社会产出为（1-a）2（1+r1）（1+r2）*b2*P0Y0。
由此可见，第n期的货币需求量Mn也为三部分组成，即
Mn=（1-a）1+r0n∏ni=0（1+ri）bn+1P0Y0+（1-a）1+r0n∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0+（1-a）1+r0n-1∏n-1i=0（1+ri）bnP0Y0 （2）
这里n=0，1，2，3…，∏…表示连乘符号。而第n期的产出为
式（2）中的第一项为消费贷款;第二项为生产贷款;第三项为银行存款。结合式（2）和式（3），我们得到货币需求和产出及价格之间的关系：
式（4）可以变为连续时间下的形式：
式（5）就是生产依赖的货币创生模型下得到的货币需求方程。根据此方程，我们可以立即得到几个结论：
（1）如果按照货币交易理论理解，系数b+2-a（1-a）（1+r（t））的倒数可以看作货币周转速度，显然，货币周转速度与利率成正比。如果从流动性偏好的角度考虑，M/P为实际货币余额，那么它可以看成由兩部分组成，一部分是bY，也就是实际货币余额与收入成正比;另一部分是 2-a1-a*Y1+r，说明当充分就业时，实际货币余额与利率成反比。这两个结论和传统货币理论的基本结论是一致的。
（2）对生产依赖的货币需求式（5）来说，货币需求可以分成两部分，即M=1+11-aPY1+r+bPY，第一部分是来自生产过程的货币需求，它又分为两部分，PY1+r+11-aPY1+r。 其中，PY1+r 是组织生产所需要的初始货币资本，它是由银行贷款给企业的，是创生货币;而 11-aPY1+r则是银行的存款，银行以它为基础减去存款准备金以及其他备用金后把贷款发给企业作为生产的初始资本。第二部分是来自消费产品的货币需求，也来自银行贷款。因此，在这个生产依赖的货币需求模型里，货币购买力需求M/P包括来自生产的需求F1（r，Y）和消费的需求F2（Y），即M/P= F1（r，Y）+ F2（Y）。
（3）货币数量论在这个模型下不是明显成立的，因为产品预期回报率，或者贷款利率r本身与产值PY也是有联系的，这使得M与P的关系变得复杂。
三、动态分析：货币增速方程
我们现在来看一下货币需求与产值的动态关系。
令 ω为产值的增速，即ω=PY˙/PY，由模型可知，
我们对货币需求式（5）两边求导，并利用式（6），可得：
这里，q为货币需求量的增速，即M˙/M。式（7）就是货币需求的增速方程。我们看到货币需求的变化与销售率b无关。
货币量增速与产值增速之间相差一个关于产值的加速量 ω˙的项。对于货币交易论者，q和 ω可以通过货币周转速度的变化来解释两者之间的差额，然而在这个模型中，这个差额不是独立的，而是和ω及其变化率有关。
特别是，我们注意到式（7）的加速项中只有产值增速的变化率 ω˙可能为负，于是，当q>ω的时候，ω˙为负;而当q<ω的时候，ω˙为正，这说明q-ω的正负决定了ω变化的方向，进而决定了加速项的变化，可见，货币周转速度是不稳定的。货币周转速度的不稳定性决定了货币数量论的复杂性。
四、经济周期和经济衰退
为了求解货币增速式（7），我们假设货币需求增速q为常数。这个假设是安全的，因为在现实经济中，很多情况下q变化是缓慢的。于是，式（7）变为：
式（8）的相图如图2所示，注意经济学意义上，ω>-1。由图可知，方程在ω=-1处有一个均衡点，在ω=q处有一个不稳定的均衡点。那么它的经济学意义又是什么呢？
我们先定义一个变量 k=q-ω 为货币需求的相对增速，即货币增速相对于产值增速的差值。它表明了经济运行的阶段，k<0表明经济处于不稳定的加速阶段;而k>0表明经济处于不稳定的减速阶段。 我们于是从式（8）可以得出以下几个结论：
（1）货币的相对增速k与产值增速 ω呈线性负相关关系，斜率为-1且截距为q。我们总是希望通过降低k值来阻止经济产值增速的下降，但是如果k值降低到小于0，那么经济将进入不稳定的加速增长区，此时我们又希望增加k值来避免经济滑入不稳定的加速区。因此，经济当局应该尽力调整k值，使得经济产值总是处于减速正增长的状态。
（2）超长期看，只要一个经济体的k值为正，它的产出产值就趋向归零。索洛的增长模型一个重要的结论就是经济收敛性，也就是越发达的经济体的的经济增长率越低。然而，在我们的模型里，所有经济只要产出的产值增速跟不上货币增速，经济就将趋向于一个归0的均衡态。索洛模型无法解释穷国经济增长率也同样低的原因，而在我们的模型里，穷国和富国一样，只要经济超长期处于k>0的条件，经济产值增长率就会越来越小，最后进入经济负增长阶段。这个结论表明，人类自身具有改变k值的能力，使得人类社会的经济产值能够总是保持增长，但仍然要长期与不断趋小的增长率斗争。
（3）当产出产值增长率ω=q，经济处于一个不稳定的均衡态，一般而言，当经济升温，ω伴随着企业生产热情不断增大，经济体总是会跃入ω>q的非均衡态。这是一个正反馈的不稳定态，现实中的产值是不可能无限大的，因此未来某一时刻经济必然出现拐点，使得下降为负数，而也在短时间内下滑。这种情况在现实中，要么是经济发生危机，要么是经济出现回落。前者表现为产值增速断崖下跌：实际产出的增长率急速下降，或者通胀率急速下降，再或者就是两者双双快速下降。后者表现相对缓和，但经济产值增速逐期放缓。因此，经济危机或者经济回落，也就是经济衰退发生的数学条件就是货币的相对增速k<0，即q<ω。这是本文一个重要结论，称为k值原理，后面会用数据验证这个结论。
（4）由于经济总是趋向一个均衡态，但是我们的模型显示这个均衡态是ω=-1的产值毁灭态，就像热力学的“热寂说”一样，因此经济下滑是它天生的惯性。不过人类总是能够通过各种方式，让k值变小来反抗这种下滑的惯性。人类与经济之间这种惯性与反惯性的斗争就形成了经济周期。所以，本质上说，经济周期是由这种市场经济运行机制本身带来的，是不可消除的。当然，表面的原因就是产业预期回报率，利率或者国债收益率长期变小的趋势造成的。
（5）对经济周期具体过程而言，它包含了经濟产值繁荣和衰退两个过程，以及“重置”A和“顶峰”B两个拐点，如图2中的A点和B点。当经济从A点出发，产值ω不断增长，经济进入繁荣期，随着人们对经济预期回报的乐观，经济到达不稳定的均衡点ω=q点，并滑向加速增长的不稳定区域，最终在B点达到一个最大的产值增长率ωMAX，并转而向下，也就是产值加速度
由正变负，同时产值增速 ω转为下降。随后经济进入由B->A的衰退期，这个衰退期可能表现为经济危机的剧烈形式，也可能就是经济的一般回落。在A点，人们终于创造出新的经济增长点，k值开始降低，阻挡了产业预期回报率和利率下滑的趋势，重置了经济，从而经济又开始一个新周期的运行。当然，如果人们不能及时降低 k值，那么经济就可能滑入绝对负增长的区域。
五、事实与数据
为了验证关于经济衰退的数学条件，即当k<0时，就意味着未来宏观经济将要发生危机或者回落，我们研究了中国和美国经济历史上的经济衰退。所用的经济数据非常常见，就是广义货币M2年增长率q，GDP年增长率g ，和CPI年增长率c，因此k值就是q-（c+g）;而产值增速 ω=c+g。
中国经济的情况如图3所示， k值在k=0轴以下的阴影部分解释了不久后发生的经济衰退。从1987年到2015年，中国经济的k值有3次小于0，也就是1988—1989年，1994年和2007年。从数据看，k值首次小于0的当年，产值增速 ω就达到了最大值，其后经济便进入了 ω逐年下降的衰退期，有些年份 ω还出现断崖式下跌。对应1988—1989年k值小于0那次，产值增速 ω在1990年发生了断崖下跌，ω由上一年的2252%下降到697%，其降速为-6907%;对应1994年k值小于0那次，产值增速 ω第二年就进入逐年下降的周期，并在1998年产值增速快速下跌，ω在1998年的年度降速为-4191%;对应2007年k值小于0那次，ω也在2009年发生了断崖下跌，增速 ω由上一年的1552%下降到87%，其降速为-4396%。
我们知道1990年，1995—1998年和2008—2009年是中国经济史上有名的衰退期。而这一切发生之前，宏观经济数据的k值就已经提前表现出来了。无独有偶，2019年的k值再一次小于0，可以预见的是，中国的宏观经济又将进入一个衰退期。值得注意的是，图3中2011年开始的 ω值衰退，看上去并没有k<0的区域来解释，但是实际上它仍然可看作自2007年ω达到峰值以来的衰退期。我们知道那一次衰退中，政策当局为经济提供了4万亿元的量化宽松，使得经济可以在短期内改变方向，但大的周期方向并没有改变。这也可以让我们得出这样一个结论：如果一个经济在某个周期里k<0，那么未来的周期里至少有一个周期的产值增速是下降的。
我们再来看一下美国的数据。如图4所示， k值在k=0轴以下的阴影部分能够解释其后发生的产值增速下降的事实，也就是k<0总是出现在产值增速下降以前。表1中，在k值上画实线框的位置k<0，其右上方总有 ω的增长率为负的数据与其对应，它们被画在点画线框内。也就是，每当k<0出现，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速ω会出现下降。虽然ω下降的周期位置距离k<0的周期位置有长有短，这取决于宏观货币和财政政策干预的强度，但是ω下降的事实总会发生。 由表1，我們能够发现，一般在k<0出现周期的附近，经济产值增速会达到顶峰，其后经济进入衰退期，即产值增速 ω下降的周期。然而，经济是以危机形式表现的衰退，还是以一般回落表现的衰退，我们的理论目前还无法确定。也就是说，k值原理实际上是一个描述经济拐点的理论。
我们也由表1看到，美国的经济可以在不稳定的加速区运行数年，也就是经济连续几年处于k<0的状态，这个特点完全不同于中国经济。中国经济在不稳定的正反馈区运行的时间很短，最多就是2年（1988年和1989年）。另外，我们也看到，美国经济衰退的频率很高，这也决定了美国经济无法实现高速增长，而中国经济自1987年以来的30多年里，仅仅发生过3次衰退。
六、总结
我们的模型暗含着货币的创生是因为社会生产的需要。不同于马歇尔，凯恩斯和弗里德曼从个人需求的角度思考货币的需求，本文是从社会的视角来讨论货币的需求。
本文通过构建一个生产依赖的货币需求模型来探讨经济衰退和经济周期问题。这个模型给出了一个生产依赖的货币需求方程和货币增速方程，基于这两个方程，我们可以得到几个有趣的结论。
（1）如果一个经济体的货币增速与经济产值增速之差为负，那么，无论经济当局采取什么货币和财政政策，从下一期开始的未来周期里将至少有一个周期的经济产值增速会出现衰退。
（2）市场经济形态决定了经济产值最终将走向负增长。无论经济当局如何设计货币政策，如何构造关于货币增速q的微分方程 q˙（t）=Q（q，ω，ω˙），货币增速方程（7）告诉我们ω=-1总是经济的均衡态。我们从欧洲发达国家和日本的经济史可以看出，自由经济体的经济产值增长率确实长期是下降的趋势。美国也是一样。从中国40年的市场经济史也可以看出经济增长长期降速的趋势。该模型（方程（6））还告诉我们，伴随着经济长期降速的是利率长期下降的趋势，这一点也是符合事实的。
（3）经济周期的原因本质上是由于市场经济运行机制本身引起的，是不可消除的。正是由于人们反抗经济长期下行的惯性才造成了经济的周期性。
参考文献
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