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摘 要：采用田间小区试验和非线性回归分析的方法，对作物的密度与产量的经验模型进行模拟和比较。结果表明：二次曲线模型运算简洁、可操作性强，是模拟谷子密度与产量关系的最优模型。谷子种植密度对籽粒产量具有重要影响。谷子籽粒产量随着种植密度增加呈先升后降的趋势。
关键词：谷子；种植密度；产量；预测模型
中图分类号：Ｓ５１５ 文献标识码：A DOI编码：10.3969/j.issn.1006－6500.2013.02.0２１
Study on Prediction Model of Planting Density and Yield in Summer Sowing Foxtail Millet
LIU Hong-xia1， LIU En-kui2， LIU Huan3， ZHANG De-rong2， LIU Yong-ping2， HOU Sheng-lin4， SONG Yin-fang4， WANG Xin-yu4， ZＨOU Han-zhang4
（1.Vocational and Technical Education Center of Shenze County，Shenze， Hebei 052560， China；2.Agricultural and Animal Husbandry Bureau of Wu'an County，Wu'an， Hebei 056300， China； 3.Agricultural Bureau of Shenze County，Shenze， Hebei 052560， China； 4.Institute of Millet of Hebei Academy of Agricultural and Forestry Science， Shijiazhuang， Hebei 050031，China）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： The main density on crop yield empirical model，a few fitting models were simulated and compared by employing field plot experiment and nonlinear regression analysis. The results showed that the summer sowing foxtail millet planting density on yield had important influence. The trend of foxtail millet grain yield with planting density increase was first increased then decreased. Through the model simulation and comparison， quadratic curve model operation concise， the maneuverability was strong，was considered the optimal model that the foxtail millet density and yield relate.
Key words： foxtail millet； planting density； yield； prediction model
谷子是我国主要粮食作物之一，具有抗旱耐瘠、适应性强、水分利用效率高、营养丰富、粮草兼用的特点[1]。多年来，谷子栽培一直存在种植密度不甚合理的技术问题。有关种植密度与作物产量关系的研究，国内外已有报道[2-4]。1964年许章全等[5]报道了春玉米密植定额和种植方式研究，研究了密度与产量间的关系，提出了二次曲线回归方程及其预测最适密度的经验公式。1987年丁昌龄[6]报道了密度-产量的理论曲线方程，构建了异形双曲线预测模型，分析了水稻产量与密度的关系。2002年郝天民等[7]报道了产量密度方程在谷子密度试验中的应用，运用产量密度方程 Y= ɑxe-bx进行了数理统计。2010年李书田等[8]报道了谷子新品种播期、密度与施肥的复因子试验，研究了内蒙谷子品种、播期、密度与产量的关系。目前，夏谷生态区的谷子种植密度与籽粒产量曲线关系的研究，尚未见报道。作者针对谷子生产中栽培问题进行了相关研究，旨在确定一种拟合精准、运算简单、操作便捷的预测模型，预测谷子最适种植密度，为谷子丰产提供理论依据。
1 材料和方法
1.1 试验地概况
2011年，在河北邯郸武安市北安乐乡迂城村进行夏谷种植密度试验。武安市迂城村，属太行山山前平原区，土质为壤土，有机质含量17.592 2%，全氮为0.880 9%，碱解氮101.764 1 mg·kg-1，速效磷11.825 0 mg·kg-1，速效钾107.953 1 mg·kg-1，土壤pH 值7.286。前茬作物为小麦，于6月10日收获，6月12日播种，播种方式均为条播，每行定量播种，播种量为30 kg·hm-2。播后苗前喷施44%单密·扑灭WP1 800 g·hm-2，进行化学除草及其它大田管理。试验地墒情较好，具有一定的代表性。
1.2 试验材料
谷子品种为冀谷19、冀谷31，由河北金谷农业科技有限公司提供。
1.3 试验方法
1.3.1 试验设计 夏谷5叶期定植，留苗密度梯度为45.00，52.50，60.00，67.50，75.00，82.50万株·hm-2等6个处理，3次重复，采用随机区组排列，小区面积20 m2。其它管理措施各小区相同。
采用绝对数调查法，每小区随机量取3个样点，每个测量点连续取20株，记载播期、出苗期、拔节期、孕穗期、抽穗期、成熟期及其相关数据等。谷子成熟期收获，每小区收割样点12.8 m2，将谷穗晾晒至水分含量12%～13%，脱粒，实测籽粒产量，求得谷子的单株穗粒质量与公顷产量。 1.3.2 数据分析与模型构建 对试验相关数据，以夏谷种植密度与籽粒产量为指标，采用SPSS18.0软件进行统计分析。通过SPS曲线估计[9]，以决定系数R2（拟合优度）值最大、F值最大为原则，初选最佳数学模型；根据谷子种植密度与谷子产量的实测值，进行模拟与比较，再以决定系数R2值最大、残差平方和最小以及运算简单、便于操作的实用性为原则[10]，确定最优预测模型。
2 结果与分析
2.1 谷子种植密度对籽粒产量的影响
夏谷种植密度对籽粒产量具有重要影响。由表1可见，不同种植密度下的冀谷19、冀谷31的籽粒产量不同。经方差分析，2个品种不同种植密度的组间显著值（Sig.）均为0.000＜0.01，表明6个种植密度对谷子产量的影响差异极显著；经多重比较，组内（重复间）显著值Sig.＞0.05，差异不显著。
根据谷子籽粒产量的实测值可以看出，冀谷19种植密度为52.50万株·hm-2和60.00万株·hm-2的产量最高，分别为5 539.05 kg·hm-2和5 526.00 kg·hm-2，二者差异不显著，可视为最适种植密度；种植密度为67.50万株·hm-2的产量居中（5 476.50 kg·hm-2），视为适宜密度。冀谷31种植密度为67.50 万株·hm-2的产量最高（5 703.00 kg·hm-2），其次为密度60.00 万株·hm-2与密度75.00 万株·hm-2的产量，三者差异不显著，前者可视为最适种植密度；后二者视为适宜种植密度。
从谷子籽粒产量对种植密度的散点图（图1）看出，夏谷稀植时，籽粒产量随着密度的增加而增加；当产量达到最高时，继续增加种植密度，籽粒产量反而降低。
2.2 谷子种植密度与籽粒产量的曲线估计与模型初选
由表2模型汇总的拟合结果可以看出，SPSS曲线估计的二次曲线模型（y= b0+ b1x+ b2x2）的显著性Sig.<0.001，表明该数学模型显著有效，而其余8种数学模型的显著性Sig.＞0.05，表明这些数学模型均无效果（图1），不适合模拟夏谷种植密度与籽粒产量的关系。冀谷19二次曲线模型y=1 588.586+128.565x-1.043x2的决定系数R2=0.925，F值为92.086；冀谷31二次曲线模型y=-173.900+182.257x-1.404x2的决定系数R2=0.926，F值为94.080。结果表明，9个模型中二次曲线模型的决定系数R2与F值最大，拟合优度高达92.5%～92.6%，因此，选择二次曲线模型来描述夏谷种植密度与籽粒产量之间的关系。根据谷子种植密度与籽粒产量的实测值，将该模型和国内报道的有关种植密度与作物产量的文献中的主要模型进行比较，结果见表3。
2.3 夏谷种植密度与籽粒产量的经验模型的拟合与优选
由表3可以看出，根据冀谷19的籽粒产量实测值，对4个主要数学模型进行模拟与比较，异形双曲线模型Y=x/（a+bx+cx2）的决定系数（R2=0.945）最大，残差平方和（Q=26 293.970）最小，表明该预测模型拟合冀谷19籽粒产量的效果最优。二次曲线函数模型Y=a+bx+cx2的决定系数R2=0.925，残差平方和Q=36 149.829，表明它的拟合效果位居第二，但它较异形双曲线模型具有运算更简洁、可操作性更强的特点；经验模型Y=x/（a+bx2）与Y= axe-bx的决定系数分别为0.829与0.848，残差平方依次为82 302.724与72 966.591。根据冀谷31的籽粒产量实测值，对预测模型进行模拟与比较，二次曲线函数模型Y=a+bx+cx2的决定系数（R2=0.926）最大，残差平方和（Q=58 210.591）最小，表明该预测模型拟合冀谷31籽粒产量的效果最优。异形双曲线模型Y=x/（a+bx+cx2）的决定系数R2=0.904，残差平方和Q=75 819.066，表明它的拟合效果位居第二；经验模型Y=x/（a+bx2）与Y= axe-bx的决定系数分别为0.715与0.706，残差平方依次为224 823.178与231 861.220。结果表明，拟合的4个预测模型，均有很好的拟合优度（R2≥0.706），参数a，b，c均有明确、实际的生物学意义，均能更好地解释夏谷籽粒产量与种植密度之间的关系，由于二次曲线函数模型较异形双曲线模型具有运算更简洁、可操作性更强的特点，被确定为预测夏谷种植密度及籽粒产量的最优模型。
2.4 夏谷种植密度与籽粒产量的预测模型及其预测结果
本试验优选的预测模型为：
Y=A+BX+CX2
式中，Y为谷子籽粒产量，X为谷子种植密度，A，B，C为参数。A代表种植密度小到个体无竞争时的理论产量（籽粒产量），B代表理论产量随着种植密度增加1万株而增加的量，C代表理论产量随着种植密度递增而减少的趋势。Xi=-B／（2 C）为理论最适密度，Yi=A-B2/（4 C）为最高理论产量。
采用预测模型Y=A+BX+CX2对夏谷种植密度与籽粒产量进行预测，冀谷19的方程式为Yx19=1 588.586+128.565X-1.043X2，理论上最高籽粒产量为Yi=A-B2/（4C）=1 588.586-[128.565 2/4×（-1.043）]=5 550.47（kg·hm-2），最适密度为Xi=-B/（2C）=-128.565/2×（-1.043）=61.63（万株·hm-2），处于实测适宜种植密度52.50万～67.50万株·hm-2之间，其精确度却高于实测最适种植密度52.50万～60.00万株·hm-2；夏播冀谷31的方程式为Yxj31=182.257x-1.404x2-173.900，理论上最高籽粒产量为5 740.92 kg·hm-2，最适密度为 64.91万株·hm-2，处于实测适宜种植密度60.00～67.50万株·hm-2之间，与实测值相吻合，但定位更准。 该模型表明了谷子籽粒产量与种植密度的关系：当谷子种植密度较低时，个体竞争力很强，单株籽粒产量较大，谷子产量随着种植密度增加而快速上升；当种植密度较大时，个体竞争力较强，单株籽粒产量居中，谷子产量增速渐趋平缓，并渐渐接近最大值；如果种植密度过大，个体竞争力降低，单株籽粒产量降低，籽粒产量将随着种植密度的增加呈下降趋势（表1、图1）。
3 结论与讨论
夏谷不同的种植密度有不同的籽粒产量，对籽粒产量有重要影响。当谷子种植密度较低时，籽粒产量随着种植密度增加而上升；当种植密度较大时，籽粒产量增速渐趋平缓，且渐渐接近最大值；如果种植密度过大，籽粒产量将随着种植密度的增加呈下降趋势。
二次曲线函数模型的拟合优度≥92.5%，能很好地描述夏谷籽粒产量与种植密度的关系。较异形双曲线具有运算简洁、可操作性强的特点，是模拟夏谷籽粒产量与种植密度关系的最优模型。
在本试验条件下，冀谷19的方程式为Yx19=1 588.586+128.565X-1.043X2，理论上最适密度为61.63万株·hm-2，最高籽粒产量为5 550.47 kg·hm-2；冀谷31的方程式为Yxj31=182.257x-1.404x2-173.900，理论上最适密度为64.91万株·hm-2，最高籽粒产量为5 740.92 kg·hm-2。
本研究采用小区试验与非线性回归分析，确定的二次曲线预测模型，能很好地解释谷子籽粒产量随着种植密度增加呈先升后降的趋势，其参数具有明确、实际的生物学意义[2-3]。该二次曲线预测模型（Y=a+bx+cx2）虽与许章全等[2]报道的预测模型相同，但它拓宽了该预测模型的预测范围，明确了谷子种植密度及籽粒产量的关系，还进一步明确了计算理论最适种植密度与理论最高籽粒产量的简化公式；该预测模型的方程式虽然不通过原点，但它的拟合优度较大、残差平方和较小，是模拟谷子籽粒产量与种植密度关系的理想模型，其预测效果既高于莫惠栋[2]构建的混合模型（Y=axe-bx），又高于吴占鹏[3]构建的双曲线模型（Y=x/（a+bx2））。利用该模型进行预测，其结果与丁昌龄[6]异形双曲线预测模型[Y=x/（a+bx+cx2）]预测结果基本一致，但二次曲线预测模型运算更为简单，操作更便捷、实用。利用这个预测模型既能很好地描述谷子籽粒产量与种植密度的关系，预测不同种植密度下的谷子产量，又能通过模型参数来分析谷子的最适种植密度、最高籽粒产量，为夏谷科学管理奠定理论基础。
本试验研究的夏谷主栽谷子品种种植密度与籽粒产量的预测模型，虽然具有较强的实用性与广适性，但该模型的预测方程式及其参数值，能否适用于河北乃至全国不同生态条件的所有谷子品种的预测，有待深入研究。
参考文献：
[1] 周汉章，任中秋，刘环，等.谷田杂草化学防除面临的问题及发展趋势[J].河北农业科学，2010，14（11）：56-58.
[2] 莫惠栋.种植密度和作物产量—产量和密度的数量关系及其分析（续）[J].江苏农学院学报，1980， 1（3）：12-26.
[3] 吴占鹏.作物产量与密度的理论曲线方程[J].辽宁农业科学，1986（5）：18-21.
[4] 唐雪辉，贺建文，白桂萍.不同施氮量和密度对稻田免耕直播油菜产量的影响[J].天津农业科学，2012，18（5）：92－94.
[5] 许章全，黄炳生，沈仲茂.春玉米密植定额和种植方式研究[J].作物学报，1964，3（3）：229-245.
[6] 丁昌龄.密度—产量的理论曲线方程及其商榷[J].上海农业科技，1978（14）： 4-9，26.
[7] 郝天民，李树范，崔志民.产量密度方程在谷子密度试验中的应用[J].中国农学通报，2002，18（2）：96，125.
[8] 李书田，赵敏，刘斌.谷子新品种播期密度与施肥的复因子试验[J].内蒙古农业科技，2010（3）：33-34.
[9] 刘小虎.SPSS12.0 for Windows在农业试验统计中的应用[M].沈阳：东北大学出版社，2007.
[10] 戚佩珊.非线性回归分析中衡量拟合曲线优劣的依据[J].安徽科技学院学报，1990（1）：31-33.
关键词：谷子；种植密度；产量；预测模型
中图分类号：Ｓ５１５ 文献标识码：A DOI编码：10.3969/j.issn.1006－6500.2013.02.0２１
Study on Prediction Model of Planting Density and Yield in Summer Sowing Foxtail Millet
LIU Hong-xia1， LIU En-kui2， LIU Huan3， ZHANG De-rong2， LIU Yong-ping2， HOU Sheng-lin4， SONG Yin-fang4， WANG Xin-yu4， ZＨOU Han-zhang4
（1.Vocational and Technical Education Center of Shenze County，Shenze， Hebei 052560， China；2.Agricultural and Animal Husbandry Bureau of Wu'an County，Wu'an， Hebei 056300， China； 3.Agricultural Bureau of Shenze County，Shenze， Hebei 052560， China； 4.Institute of Millet of Hebei Academy of Agricultural and Forestry Science， Shijiazhuang， Hebei 050031，China）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： The main density on crop yield empirical model，a few fitting models were simulated and compared by employing field plot experiment and nonlinear regression analysis. The results showed that the summer sowing foxtail millet planting density on yield had important influence. The trend of foxtail millet grain yield with planting density increase was first increased then decreased. Through the model simulation and comparison， quadratic curve model operation concise， the maneuverability was strong，was considered the optimal model that the foxtail millet density and yield relate.
Key words： foxtail millet； planting density； yield； prediction model
谷子是我国主要粮食作物之一，具有抗旱耐瘠、适应性强、水分利用效率高、营养丰富、粮草兼用的特点[1]。多年来，谷子栽培一直存在种植密度不甚合理的技术问题。有关种植密度与作物产量关系的研究，国内外已有报道[2-4]。1964年许章全等[5]报道了春玉米密植定额和种植方式研究，研究了密度与产量间的关系，提出了二次曲线回归方程及其预测最适密度的经验公式。1987年丁昌龄[6]报道了密度-产量的理论曲线方程，构建了异形双曲线预测模型，分析了水稻产量与密度的关系。2002年郝天民等[7]报道了产量密度方程在谷子密度试验中的应用，运用产量密度方程 Y= ɑxe-bx进行了数理统计。2010年李书田等[8]报道了谷子新品种播期、密度与施肥的复因子试验，研究了内蒙谷子品种、播期、密度与产量的关系。目前，夏谷生态区的谷子种植密度与籽粒产量曲线关系的研究，尚未见报道。作者针对谷子生产中栽培问题进行了相关研究，旨在确定一种拟合精准、运算简单、操作便捷的预测模型，预测谷子最适种植密度，为谷子丰产提供理论依据。
1 材料和方法
1.1 试验地概况
2011年，在河北邯郸武安市北安乐乡迂城村进行夏谷种植密度试验。武安市迂城村，属太行山山前平原区，土质为壤土，有机质含量17.592 2%，全氮为0.880 9%，碱解氮101.764 1 mg·kg-1，速效磷11.825 0 mg·kg-1，速效钾107.953 1 mg·kg-1，土壤pH 值7.286。前茬作物为小麦，于6月10日收获，6月12日播种，播种方式均为条播，每行定量播种，播种量为30 kg·hm-2。播后苗前喷施44%单密·扑灭WP1 800 g·hm-2，进行化学除草及其它大田管理。试验地墒情较好，具有一定的代表性。
1.2 试验材料
谷子品种为冀谷19、冀谷31，由河北金谷农业科技有限公司提供。
1.3 试验方法
1.3.1 试验设计 夏谷5叶期定植，留苗密度梯度为45.00，52.50，60.00，67.50，75.00，82.50万株·hm-2等6个处理，3次重复，采用随机区组排列，小区面积20 m2。其它管理措施各小区相同。
采用绝对数调查法，每小区随机量取3个样点，每个测量点连续取20株，记载播期、出苗期、拔节期、孕穗期、抽穗期、成熟期及其相关数据等。谷子成熟期收获，每小区收割样点12.8 m2，将谷穗晾晒至水分含量12%～13%，脱粒，实测籽粒产量，求得谷子的单株穗粒质量与公顷产量。 1.3.2 数据分析与模型构建 对试验相关数据，以夏谷种植密度与籽粒产量为指标，采用SPSS18.0软件进行统计分析。通过SPS曲线估计[9]，以决定系数R2（拟合优度）值最大、F值最大为原则，初选最佳数学模型；根据谷子种植密度与谷子产量的实测值，进行模拟与比较，再以决定系数R2值最大、残差平方和最小以及运算简单、便于操作的实用性为原则[10]，确定最优预测模型。
2 结果与分析
2.1 谷子种植密度对籽粒产量的影响
夏谷种植密度对籽粒产量具有重要影响。由表1可见，不同种植密度下的冀谷19、冀谷31的籽粒产量不同。经方差分析，2个品种不同种植密度的组间显著值（Sig.）均为0.000＜0.01，表明6个种植密度对谷子产量的影响差异极显著；经多重比较，组内（重复间）显著值Sig.＞0.05，差异不显著。
根据谷子籽粒产量的实测值可以看出，冀谷19种植密度为52.50万株·hm-2和60.00万株·hm-2的产量最高，分别为5 539.05 kg·hm-2和5 526.00 kg·hm-2，二者差异不显著，可视为最适种植密度；种植密度为67.50万株·hm-2的产量居中（5 476.50 kg·hm-2），视为适宜密度。冀谷31种植密度为67.50 万株·hm-2的产量最高（5 703.00 kg·hm-2），其次为密度60.00 万株·hm-2与密度75.00 万株·hm-2的产量，三者差异不显著，前者可视为最适种植密度；后二者视为适宜种植密度。
从谷子籽粒产量对种植密度的散点图（图1）看出，夏谷稀植时，籽粒产量随着密度的增加而增加；当产量达到最高时，继续增加种植密度，籽粒产量反而降低。
2.2 谷子种植密度与籽粒产量的曲线估计与模型初选
由表2模型汇总的拟合结果可以看出，SPSS曲线估计的二次曲线模型（y= b0+ b1x+ b2x2）的显著性Sig.<0.001，表明该数学模型显著有效，而其余8种数学模型的显著性Sig.＞0.05，表明这些数学模型均无效果（图1），不适合模拟夏谷种植密度与籽粒产量的关系。冀谷19二次曲线模型y=1 588.586+128.565x-1.043x2的决定系数R2=0.925，F值为92.086；冀谷31二次曲线模型y=-173.900+182.257x-1.404x2的决定系数R2=0.926，F值为94.080。结果表明，9个模型中二次曲线模型的决定系数R2与F值最大，拟合优度高达92.5%～92.6%，因此，选择二次曲线模型来描述夏谷种植密度与籽粒产量之间的关系。根据谷子种植密度与籽粒产量的实测值，将该模型和国内报道的有关种植密度与作物产量的文献中的主要模型进行比较，结果见表3。
2.3 夏谷种植密度与籽粒产量的经验模型的拟合与优选
由表3可以看出，根据冀谷19的籽粒产量实测值，对4个主要数学模型进行模拟与比较，异形双曲线模型Y=x/（a+bx+cx2）的决定系数（R2=0.945）最大，残差平方和（Q=26 293.970）最小，表明该预测模型拟合冀谷19籽粒产量的效果最优。二次曲线函数模型Y=a+bx+cx2的决定系数R2=0.925，残差平方和Q=36 149.829，表明它的拟合效果位居第二，但它较异形双曲线模型具有运算更简洁、可操作性更强的特点；经验模型Y=x/（a+bx2）与Y= axe-bx的决定系数分别为0.829与0.848，残差平方依次为82 302.724与72 966.591。根据冀谷31的籽粒产量实测值，对预测模型进行模拟与比较，二次曲线函数模型Y=a+bx+cx2的决定系数（R2=0.926）最大，残差平方和（Q=58 210.591）最小，表明该预测模型拟合冀谷31籽粒产量的效果最优。异形双曲线模型Y=x/（a+bx+cx2）的决定系数R2=0.904，残差平方和Q=75 819.066，表明它的拟合效果位居第二；经验模型Y=x/（a+bx2）与Y= axe-bx的决定系数分别为0.715与0.706，残差平方依次为224 823.178与231 861.220。结果表明，拟合的4个预测模型，均有很好的拟合优度（R2≥0.706），参数a，b，c均有明确、实际的生物学意义，均能更好地解释夏谷籽粒产量与种植密度之间的关系，由于二次曲线函数模型较异形双曲线模型具有运算更简洁、可操作性更强的特点，被确定为预测夏谷种植密度及籽粒产量的最优模型。
2.4 夏谷种植密度与籽粒产量的预测模型及其预测结果
本试验优选的预测模型为：
Y=A+BX+CX2
式中，Y为谷子籽粒产量，X为谷子种植密度，A，B，C为参数。A代表种植密度小到个体无竞争时的理论产量（籽粒产量），B代表理论产量随着种植密度增加1万株而增加的量，C代表理论产量随着种植密度递增而减少的趋势。Xi=-B／（2 C）为理论最适密度，Yi=A-B2/（4 C）为最高理论产量。
采用预测模型Y=A+BX+CX2对夏谷种植密度与籽粒产量进行预测，冀谷19的方程式为Yx19=1 588.586+128.565X-1.043X2，理论上最高籽粒产量为Yi=A-B2/（4C）=1 588.586-[128.565 2/4×（-1.043）]=5 550.47（kg·hm-2），最适密度为Xi=-B/（2C）=-128.565/2×（-1.043）=61.63（万株·hm-2），处于实测适宜种植密度52.50万～67.50万株·hm-2之间，其精确度却高于实测最适种植密度52.50万～60.00万株·hm-2；夏播冀谷31的方程式为Yxj31=182.257x-1.404x2-173.900，理论上最高籽粒产量为5 740.92 kg·hm-2，最适密度为 64.91万株·hm-2，处于实测适宜种植密度60.00～67.50万株·hm-2之间，与实测值相吻合，但定位更准。 该模型表明了谷子籽粒产量与种植密度的关系：当谷子种植密度较低时，个体竞争力很强，单株籽粒产量较大，谷子产量随着种植密度增加而快速上升；当种植密度较大时，个体竞争力较强，单株籽粒产量居中，谷子产量增速渐趋平缓，并渐渐接近最大值；如果种植密度过大，个体竞争力降低，单株籽粒产量降低，籽粒产量将随着种植密度的增加呈下降趋势（表1、图1）。
3 结论与讨论
夏谷不同的种植密度有不同的籽粒产量，对籽粒产量有重要影响。当谷子种植密度较低时，籽粒产量随着种植密度增加而上升；当种植密度较大时，籽粒产量增速渐趋平缓，且渐渐接近最大值；如果种植密度过大，籽粒产量将随着种植密度的增加呈下降趋势。
二次曲线函数模型的拟合优度≥92.5%，能很好地描述夏谷籽粒产量与种植密度的关系。较异形双曲线具有运算简洁、可操作性强的特点，是模拟夏谷籽粒产量与种植密度关系的最优模型。
在本试验条件下，冀谷19的方程式为Yx19=1 588.586+128.565X-1.043X2，理论上最适密度为61.63万株·hm-2，最高籽粒产量为5 550.47 kg·hm-2；冀谷31的方程式为Yxj31=182.257x-1.404x2-173.900，理论上最适密度为64.91万株·hm-2，最高籽粒产量为5 740.92 kg·hm-2。
本研究采用小区试验与非线性回归分析，确定的二次曲线预测模型，能很好地解释谷子籽粒产量随着种植密度增加呈先升后降的趋势，其参数具有明确、实际的生物学意义[2-3]。该二次曲线预测模型（Y=a+bx+cx2）虽与许章全等[2]报道的预测模型相同，但它拓宽了该预测模型的预测范围，明确了谷子种植密度及籽粒产量的关系，还进一步明确了计算理论最适种植密度与理论最高籽粒产量的简化公式；该预测模型的方程式虽然不通过原点，但它的拟合优度较大、残差平方和较小，是模拟谷子籽粒产量与种植密度关系的理想模型，其预测效果既高于莫惠栋[2]构建的混合模型（Y=axe-bx），又高于吴占鹏[3]构建的双曲线模型（Y=x/（a+bx2））。利用该模型进行预测，其结果与丁昌龄[6]异形双曲线预测模型[Y=x/（a+bx+cx2）]预测结果基本一致，但二次曲线预测模型运算更为简单，操作更便捷、实用。利用这个预测模型既能很好地描述谷子籽粒产量与种植密度的关系，预测不同种植密度下的谷子产量，又能通过模型参数来分析谷子的最适种植密度、最高籽粒产量，为夏谷科学管理奠定理论基础。
本试验研究的夏谷主栽谷子品种种植密度与籽粒产量的预测模型，虽然具有较强的实用性与广适性，但该模型的预测方程式及其参数值，能否适用于河北乃至全国不同生态条件的所有谷子品种的预测，有待深入研究。
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