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近几年高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视主干知识的交汇罾而向量知识具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学的许多主干知识联系，并形成知识交汇点.因此，作为中学数学的一个新的知识“交汇点”，以平面向量与各个板块内容的交汇为起点和落脚点设计试题，考查考生的综合能力成为高考的一个新热点，希望考生在高考复习中能引起足够的重视.
一、平面向量于平面几何
平面向量和平面几何结合，一般会出现在选择 题或者填空题中，试题多呈现为图文并茂，新颖独 特.解题的一般规律是：通过图形，寻找向量之间的 加法、减法等运算法则，把图形的语言转化为向量 符号的语言，实现语义转化是解决问题的关键所在。
例1 在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ， ，则有关系式（ ）
A.m+n=1, B.m-n=1,C.m+n=2， D.m-n=2
解析：画出图形，如右图所示，帮助大家理清解题的思路。
因为点O是BC的中点，所以：
，
又因为M、O、N三点共线，所以得 + =1
即m+n=2，故选C.
思维拓展：寻找 与 ， 之间的关系，这是解题思维的起点，易得 ，再 联系题设条件，找到 与 ， 之间的关系. 由此我们可以得出直线的向量方程为：若P是直线 P1P2上一点，且O为任意一点，则 =+，且α+β=1。
二、平面向量与三角函数
三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这是因为这两部分内容是解决数学问题的工具，两部分内容互相渗透，互相融合.三角函数及其性质，既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学的基础，向量是新课程新增内容，它以其独特的数形结合和坐标运算成为衔接代数与几何的最佳纽带。
例2如图， ， ,与 的夹角为150°，点C是△ABC的外接圆上优弧AB上的一个动点，记 与 的夹角为θ。
（1）当θ=60°时，求 ；
（2）求 • 的最大值。
解析：（1）连接AB，BC，易知∠BOC=90°.
在△OAB中，由余弦定理，得.
于是 .
连接AC,由 ，得
，
所以 • =cosθ=
=
其中 为锐角，且满足tan = .
因为0≤θ≤ ,所以 ≤2θ+ ≤ + .
故当2θ+ =90°时，关系式 • 取得最大值 .
思维拓展：在△OAB中，利用正弦定理，得 ；在△OBC中，利用正弦定理，得 .于是，有 .由公式 • =cosθ知， • 可以表示为角θ的三角函数。而asinθ+bcosθ型的三角函数问题，其转化的方向为 ，这在高考中考查的频率非常高。
三、平面向量与解析几何
应用向量关系式表示线段的定比分点，用向量 的方式呈现直线和直线的垂直关系，这是因为向量 的几何运算可以转化为坐标的代数运算.把向量的 表示式转化为相应的坐标关系，这是解答解几综合 题的突破口。
例3已知双曲线C: 的又焦点为F，F且过斜率为 的直线交C于A、B两点，若 =4 ，则C的离心率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：设双曲线C:的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l与M，BN⊥l与N，BD⊥AM与D,由直线AB的斜率为 ，知直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD=60°,，由双曲线的定义，得
思维拓展：考生要合理应用向量的相关知识，去探求所要确定的特征量.如果要求e的值，就需要建立离心率e的方程，应用方程方法处理问题.
四、空间向量与立体几何
通过建立恰当的空间坐标系，设出点的坐标，构造空间向量，应用空间向量的知识，计算有关的距离、夹角，证明有关的平行和垂直关系。空间向量方法是把几何的运算和推理转化为向量的相关知识，进而化归为坐标的代数运算，也就是把几何推理化归为有序的代数逻辑推理，其核心是坐标思想.
例4 一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.
（1）求证:PB∥面EAC；
（2）若F为侧棱PA上一点，且 ，证明：PA⊥平面BDF,并求此时几何体F-BDC的体积。
解析:（1）如图，以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0，- ,0)，B(1,0,0)，C（0， ，0），D（-1，0，0），P(0,0,1)，E(- ，0， )，则 =(1，0，-1)， =( ，- ，- )， =(0,2,,0)，
思维拓展：向量的内积是一个十分重要的知识点，无论在立体几何的计算题，还是证明题当中，均显示了强有力的作用.平面的法向量是一个辅助量，找到它就能参与相应公式的运算了。题目的解答里：“设平面EAC的法向量为 ，则
”
进而建立x，y，z的方程组，这是数学学解题中经常用到的待定参数方法，体现了“设，列，解”的思维模式.
例5 如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD，PA=AD=2，BD= .
(1）求点C到平面？PBD的距离；
(2）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 ？若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。
解析：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD= ，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD丄AC.
∵PA=AB=AD=2,
∴PB=PD=BD=
设C到平面PBD的距离为d，由VP-BCD=VC-PBD,有 •S△BCD•PA= •S△PBD•d，
即 ，得d=.
(2) 如图，建立空间直角坐标系因为Q在DP上，所以，可设 =(0< <1)，又∵ =(0,-2,2),
∴+ = +=(0,2,0)+(0,-2 ,2 )=（0,2-2 ，2 ）
∴Q（0,2-2 ，2 ）,
∴ (-2, -2 ，2 )=2(-1，- , ).
易得平面PBD的法向量为 ，所以，设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有
，
所以，有
∵0< <1,∴ = .
故存在点Q，且 .
思维拓展：等体积法是处理立体几何考题的一个常用方法，是求点和平面距离的有效方法.建立坐标系，设点坐标，运用向量知识解决立几问题，其核心是坐标思想的充分体现广教室墙角”这个模型，集中了从一点出发的三条两两互相垂直的直线，是空间直角坐标系的框架，是历年高考命题的热点、高频点和落脚点，望读者在复习中多加注意。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、平面向量于平面几何
平面向量和平面几何结合，一般会出现在选择 题或者填空题中，试题多呈现为图文并茂，新颖独 特.解题的一般规律是：通过图形，寻找向量之间的 加法、减法等运算法则，把图形的语言转化为向量 符号的语言，实现语义转化是解决问题的关键所在。
例1 在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ， ，则有关系式（ ）
A.m+n=1, B.m-n=1,C.m+n=2， D.m-n=2
解析：画出图形，如右图所示，帮助大家理清解题的思路。
因为点O是BC的中点，所以：
，
又因为M、O、N三点共线，所以得 + =1
即m+n=2，故选C.
思维拓展：寻找 与 ， 之间的关系，这是解题思维的起点，易得 ，再 联系题设条件，找到 与 ， 之间的关系. 由此我们可以得出直线的向量方程为：若P是直线 P1P2上一点，且O为任意一点，则 =+，且α+β=1。
二、平面向量与三角函数
三角函数和平面向量历来是高考的的重点内容，这是因为这两部分内容是解决数学问题的工具，两部分内容互相渗透，互相融合.三角函数及其性质，既是解决实际问题的工具，又是学习高等数学的基础，向量是新课程新增内容，它以其独特的数形结合和坐标运算成为衔接代数与几何的最佳纽带。
例2如图， ， ,与 的夹角为150°，点C是△ABC的外接圆上优弧AB上的一个动点，记 与 的夹角为θ。
（1）当θ=60°时，求 ；
（2）求 • 的最大值。
解析：（1）连接AB，BC，易知∠BOC=90°.
在△OAB中，由余弦定理，得.
于是 .
连接AC,由 ，得
，
所以 • =cosθ=
=
其中 为锐角，且满足tan = .
因为0≤θ≤ ,所以 ≤2θ+ ≤ + .
故当2θ+ =90°时，关系式 • 取得最大值 .
思维拓展：在△OAB中，利用正弦定理，得 ；在△OBC中，利用正弦定理，得 .于是，有 .由公式 • =cosθ知， • 可以表示为角θ的三角函数。而asinθ+bcosθ型的三角函数问题，其转化的方向为 ，这在高考中考查的频率非常高。
三、平面向量与解析几何
应用向量关系式表示线段的定比分点，用向量 的方式呈现直线和直线的垂直关系，这是因为向量 的几何运算可以转化为坐标的代数运算.把向量的 表示式转化为相应的坐标关系，这是解答解几综合 题的突破口。
例3已知双曲线C: 的又焦点为F，F且过斜率为 的直线交C于A、B两点，若 =4 ，则C的离心率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：设双曲线C:的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l与M，BN⊥l与N，BD⊥AM与D,由直线AB的斜率为 ，知直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD=60°,，由双曲线的定义，得
思维拓展：考生要合理应用向量的相关知识，去探求所要确定的特征量.如果要求e的值，就需要建立离心率e的方程，应用方程方法处理问题.
四、空间向量与立体几何
通过建立恰当的空间坐标系，设出点的坐标，构造空间向量，应用空间向量的知识，计算有关的距离、夹角，证明有关的平行和垂直关系。空间向量方法是把几何的运算和推理转化为向量的相关知识，进而化归为坐标的代数运算，也就是把几何推理化归为有序的代数逻辑推理，其核心是坐标思想.
例4 一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.
（1）求证:PB∥面EAC；
（2）若F为侧棱PA上一点，且 ，证明：PA⊥平面BDF,并求此时几何体F-BDC的体积。
解析:（1）如图，以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0，- ,0)，B(1,0,0)，C（0， ，0），D（-1，0，0），P(0,0,1)，E(- ，0， )，则 =(1，0，-1)， =( ，- ，- )， =(0,2,,0)，
思维拓展：向量的内积是一个十分重要的知识点，无论在立体几何的计算题，还是证明题当中，均显示了强有力的作用.平面的法向量是一个辅助量，找到它就能参与相应公式的运算了。题目的解答里：“设平面EAC的法向量为 ，则
”
进而建立x，y，z的方程组，这是数学学解题中经常用到的待定参数方法，体现了“设，列，解”的思维模式.
例5 如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄平面 ABCD，PA=AD=2，BD= .
(1）求点C到平面？PBD的距离；
(2）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 ？若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由。
解析：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD= ，
∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD丄AC.
∵PA=AB=AD=2,
∴PB=PD=BD=
设C到平面PBD的距离为d，由VP-BCD=VC-PBD,有 •S△BCD•PA= •S△PBD•d，
即 ，得d=.
(2) 如图，建立空间直角坐标系因为Q在DP上，所以，可设 =(0< <1)，又∵ =(0,-2,2),
∴+ = +=(0,2,0)+(0,-2 ,2 )=（0,2-2 ，2 ）
∴Q（0,2-2 ，2 ）,
∴ (-2, -2 ，2 )=2(-1，- , ).
易得平面PBD的法向量为 ，所以，设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有
，
所以，有
∵0< <1,∴ = .
故存在点Q，且 .
思维拓展：等体积法是处理立体几何考题的一个常用方法，是求点和平面距离的有效方法.建立坐标系，设点坐标，运用向量知识解决立几问题，其核心是坐标思想的充分体现广教室墙角”这个模型，集中了从一点出发的三条两两互相垂直的直线，是空间直角坐标系的框架，是历年高考命题的热点、高频点和落脚点，望读者在复习中多加注意。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文