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摘 要：对高中数学开展深度学习的最基本价值体现在引导学生走出浅层学习，促使学生在学习的过程中更多关注思维向广度和深度的延伸，而不仅是对数学知识的记忆和运用。高中数学的深度学习是促使学生对数学本质进行理解，不断获得数学学科的核心素养。深度学习的开展要巧妙运用情境引入，进行深度分析、设计、实践和评价，同时还要注重批判教学，激发学生探究性学习的动力，在教学过程中促使学生向深度学习方向不断发展。
关键词：深度学习;高中数学;教学设计
在当前高中数学的教学研究中深度学习已经成为一个极其热门的词语，对于如何实现高中数学教学的深度学习这一问题，许多一线教师做出很多研究并提出各自的观点。通过对这些观点进行梳理发现，许多一线教师们对于深度学习的研究呈现碎片化，對于深度研究的体现不明显，有的仅是提升研究的难度，通过对学生在进行知识学习或者对习题进行讲解时的困难程度定义为学生的学习是有深度的。可见这对于深度学习的理解存在一定的误区。当数学教师对于深度学习构建一个整体认知时，才能在实际的教学过程中将高中数学的深度学习有效落实。
一、创设情境引入，激发深入思维
在进行课堂教学的过程中，教师从学生的心理特征出发，以问题为主轴线，创设合理有趣的情境进行引入，把握概念的本质，自然而然的在情境教学中引入课题，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。以生活中情境的引入，使学生将数学与生活相结合，学会用数学知识去解决生活中的问题，充分了解到学习新概念的意义和有趣性，自然过渡到概念学习的情境中，增强学生学习乐趣的同时也扩展学生思维。
例如，在开始复习函数单调性的时候，我首先通过德国心理学家艾宾浩斯关于人类记忆周期规律的研究为情境引入，将记忆测试的数据以表格的方式进行展示，如表1所示。紧接着为便于学生观察，我又将艾宾浩斯遗忘曲线进行展示，根据记忆遗忘曲线可以发现记忆保存量占比按天数不断进行变化，如图1所示。在此向学生提问从图1中可以发现什么，显然该曲线从左向右一直呈下降趋势，如何用数学的思维进行解释，自然而然引入函数的概念。同时让学生思考递增函数与该函数的共同特征是什么，进而对函数单调性概念进行了解。
通过对该情境的引入，可以使学生对函数单调性进行了解，同时明白函数的单调性必须在某个区间，受该情境的影响，有的同学思维获得启发，发现气温变化情况也可以用函数单调性进行解释，从而真正让学生对函数单调性的概念进行掌握，达到拓展学生思维的教学效果以及有助于深度学习思维的广泛性。
二、联系旧知识，引发新知识
建构主义主张，学习的过程是一个不断由旧知识经验与新知识经验进行交流、重新组合的过程。对于数学的学习过程，需要以学生已有知识经验为基础，结合学生的认知发展，引导学生自主探究学习，通过交流合作，对概念进行准确理解。纵观新概念的形成过程，可以发现新概念与旧概念之间存在一种逻辑关系，即从特殊到一般，从具体到抽象不断生成的过程。教师在进行教学过程中需要将新旧知识相关联，以此对概念的本质进行探寻，引导学生形成一种初步的概念建构。
例如，对直线倾斜角的概念教学。以直线方程为切入点，提出过（ 1 ， 0 ）点做出很多条直线，如图2所示，以倾斜程度的不同引出倾斜角的概念，此外根据图2也可以引导学生发现过一点同时还必须有相对于轴的倾斜程度即斜率可以确定一条直线。对于倾斜程度的描述除了角还有“斜率”，学生在未进行预习的情况下可以联系到直线方程中的值。对于该图的引入，有助于学生对倾斜角发展的过程进行了解，从而对直线倾斜角的定义了解更加透彻，锻炼学生思维能力的同时可以实现直线倾斜角概念与直线方程相结合。有助于学生形成自己的概念知识建构，以旧知识引出新知识，加深对新知识的理解，构建关于直线倾斜角的整体架构，引导学生不断探究学习，达到深入学习的目的。
通过对图2的旋转演示，以轴为基准线，直线沿轴向上的方向与轴正向方向之间所形成的夹角是直线的倾斜角，同时通过中间垂直于轴情况，可以考虑到直线倾斜角的范围为，不仅可以帮助学生理解直线倾斜角的概念，同时对直线倾斜角的变化范围也进行了了解和掌握，可以轻松解答对直线倾斜角进行考察的选择题。由直线方程引出直线倾斜角的概念，可以促使学生构建自己的知识框架，避免传统的孤立学习，实现在概念掌握层面的深度学习。
三、引导问题设置，激发学生深入探究
考验学生对于所学基础知识、数学技能的掌握程度，需通过解题来衡量。因此，解题一定程度上体现对学生综合素质的考量。面对学生学习数学知识的复杂性以及学生对于新事物的了解需要一个过程，在设置问题时需要将知识点整体纳入，让学生对于所学知识所形成的思维有一个形象了解，化解知识的复杂性，在尊重学生学习和认知规律的前提下设置问题。
如针对直线倾斜角，以及直线倾斜角为钝角时，对直线倾斜角与斜率的变换进行考察。
例1 已知一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，分别求这两条直线的斜率值。
例2 已知直线方程，求该直线的倾斜角。
例3 已知直线方程，求该直线的倾斜角。
通过这三道题可以帮助学生对直线倾斜角与斜率之间的转换进行学习和掌握，例1由于两个是特殊角，可以直接根据角的特殊值得出直线的斜率，对于120°需要考虑到该角处于第二象限，斜率应为负值，该题在于对角的特殊值进行掌握时需熟记。例2与例3分别是给出直线方程的斜率，根据斜率的正负值、倾斜角的范围可以求出直线倾斜角，这两道题都属于基础题，在于帮助学生初步理解和应用。但通过学习可以发现有两种特殊情形并未纳入该考察范围，忽略和两种特殊情况，对于这两种情况可以在上述两题的基础之上，启发学生以点代入，对直线的倾斜角以及斜率进行计算。为方便学生进一步掌握，可以引导学生以表格的方式将倾斜角与斜率的关系更加形象展现，如表2所示。从而以优化问题设置的方式，促使学生对概念知识进行应用和掌握。 四、知识变式拓展，加深新知识的理解
对学生开展阶梯式的教学是深度学习的本质，通过对学生的知识进一步拓展，逐步培养和构建学生的高阶思维，最终形成数学素养，对学生后期的学习发展过程产生影响。在具体的教学过程中，以问题为导向的任务驱动，问题的逐步加深和拓展，加强对知识点进行变式拓展，不断加大探究性学习的力度，促使学生养成深度思考的习惯，将数学知识的概念构建与学生有意识的学习相结合，对学生的数学核心素养进行培养和发展。
例如，在对双曲线函数和图像知识进行教学的过程中，首先以课本例题为切入点，然后对例题进行变式和延伸。课本例题为双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上点有，试表示该双曲线的标准方程。
变式1：若动点与双曲线两焦点之间的距离满足，则动点的移动轨迹是什么？满足时，动点的轨迹又是什么？
变式2：在△中，为动点，，，且满足，则动点的轨迹方程是什么？
变式3：同时与 两圆都外切，求中圆心的移动轨迹方程。
通过对该例题的变式拓展设计，将双曲线方程中基础知识点与三角形、圆等几何图形相结合，通过把握学生对知识点的理解和运用程度的基础上，对双曲线知识点进行深入挖掘研究，进一步与三角形正弦定理，圆的一般方程、圆的标准方程相结合，并将与圆相切的知识点融入进去，有助于加深学生对双曲线函数相关知识点的理解，同时还能拓展学生看待双曲线方程的角度，形成学生对于双曲线函数概念运用的知识体系，对该部分内容综合掌握，便于学生考试时可以灵活发挥。通过变式运用可以拓展学生思维的广度和深度，是深度教学过程中的一种体验。
五、批判质疑教学，产生深度学习动力
批判性的获取认知是深度学习定义中所强调的内容。在深度学习的背景下学生应该围绕具有挑战性的课题去积极主动学习，敢于质疑老师的观点。质疑是学习数学过程中重要的品质，教师应改变传统的单纯授课思维，积极鼓励学生，尊重学生所表达的观点，培养学生的分析和论证能力。数学讲究逻辑思维的严谨性，教师在面对学生出错时，应先允许其表达自己的想法，然后将忽略的逻辑部分进行指点，不仅有助于加深学生对知识的理解，还能激发学生探究性学习的动力。
例如，以双曲线方程为例，在对该部分知识点的运用进行讲解时，我会首先让学生积极讨论表达自己的想法，然后针对学生存在的误区进行指导。
已知圆，圆 都内切于动圆，求动圆圆心的运动轨迹方程。
针对该问题学生讨论会出现一种错解，即在设所求动圆圆心的坐标为，半径为，将误认为，动圆圆心的轨迹为双曲线，事实上表示动点到定点，的距离差为常数3，且，表示点的轨迹为双曲线的右支，故圆心轨迹方程为.
通过对该题进行讨论、解答的过程中，当学生表达完自己的想法之后，会指出该题的错误点在于对双曲线的概念把握不透彻，并引导学生对双曲线的概念再次熟悉，真正帮助学生参透双曲线的概念，激发学生探究学习的乐趣，同时集体交流讨论更有助于学生对知识的理解，实现深度学习中教学阶梯式发展的關键一步。
六、总结经验教训，注重反思能力培养
一节课结束之后很多学生认为自己对知识点已经掌握，但经过一段时间之后会发现仍存在很多疑惑点，原因在于缺少对问题的总结和反思。教师在教学过程中对学生反思能力的培养是一个长期的过程，首先应引导学生如何进行反思，在了解初步反思模式之后进一步养成勤反思的习惯。在此基础之上巧妙利用错题整理本，对每日的学习内容经过反思有一个再认知的过程。通过对经验教训进行总结，学生会将收集、整理的数学方法来丰富自己的解题经验，并通过与老师的不断交流调整学习策略，实现深层次的思考，激发学生学习潜能。
例如，在对排列组合题进行练习时，有一道错误率较高的题，教师要将5本不同的课本全部分发给4位同学，且保证每位同学至少要有一本课本，求有多少种不同的分法。
在做这道题时，学生会存在错解认为从5本课本中选出4本，有种情况，再分给4个同学，有种不同的分法，再将最后一本课本分给任意一位同学，即错误的公式为：种不同的分法，题目的一种正确解法为先从5本课本当中，将2本课本绑在一起，形成4组书，有种不同的分法，再将4组书随机分发给4位同学，有种不同的分法，最后结果为种不同的分类方法。
第二种正解方法为：先从4位同学中随机选择一位学生，有种方法，然后再将5本课本中选择2本课本，保证每位同学至少有一本课本，这时有种不同的分法，剩下的3位同学再将剩下的3本课本进行分发，最后结果为种不同的分类方法。通过对错题进行总结发现学生的错误原因在于将拥有2本课本的同学不考虑他们先拥有哪本课本的顺序，所以再求解的过程中重复计算一次。究其根本原因则在于学生思考不周密，将无序问题进行有序化处理，造成情况重复计算。
通过对该题的总结反思，可以使学生明白排列组合题的关键在于先组合后进行排列，要按照对象逐一进行分类，同时结合排列的公式加深学生对排列组合题的理解，，（其中），实现将抽象概念的具体运用，经过不断反思，形成成熟的数学经验。
综上所述，通过对深度学习的研究发现深度学习的关键在于注重对知识的深层次理解，构建知识架构，实现知识迁移，同时通过对学生反思能力的培养可以实现学生深层次的思考，激发学生探究学习的能力，最终形成数学素养并对学生后续的学习以及发展产生深远影响，实现深度教学的目的。
参考文献：
[1]印婧钰.基于高中数学概念深度学习的探索[J].中学数学，2020（13）：91-92.
[2]吴燕春.整体视角下的高中数学深度学习分析[J].数学教学通讯，2020（18）：33-34.
[3]石凤燕.基于深度学习背景下的高中数学教学研究——以《双曲线及其标准方程》教学为例[J].数学教学通讯，2020（15）：41-42.
[4]翟雯.浅谈高中数学深度学习的实现途径[J].数学教学通讯，2020（06）：34-35.
[5]武世起.多元表征，让学习深度发生——高中数学等差数列教学实践探究[J].课程教育研究，2019（46）：188.
关键词：深度学习;高中数学;教学设计
在当前高中数学的教学研究中深度学习已经成为一个极其热门的词语，对于如何实现高中数学教学的深度学习这一问题，许多一线教师做出很多研究并提出各自的观点。通过对这些观点进行梳理发现，许多一线教师们对于深度学习的研究呈现碎片化，對于深度研究的体现不明显，有的仅是提升研究的难度，通过对学生在进行知识学习或者对习题进行讲解时的困难程度定义为学生的学习是有深度的。可见这对于深度学习的理解存在一定的误区。当数学教师对于深度学习构建一个整体认知时，才能在实际的教学过程中将高中数学的深度学习有效落实。
一、创设情境引入，激发深入思维
在进行课堂教学的过程中，教师从学生的心理特征出发，以问题为主轴线，创设合理有趣的情境进行引入，把握概念的本质，自然而然的在情境教学中引入课题，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。以生活中情境的引入，使学生将数学与生活相结合，学会用数学知识去解决生活中的问题，充分了解到学习新概念的意义和有趣性，自然过渡到概念学习的情境中，增强学生学习乐趣的同时也扩展学生思维。
例如，在开始复习函数单调性的时候，我首先通过德国心理学家艾宾浩斯关于人类记忆周期规律的研究为情境引入，将记忆测试的数据以表格的方式进行展示，如表1所示。紧接着为便于学生观察，我又将艾宾浩斯遗忘曲线进行展示，根据记忆遗忘曲线可以发现记忆保存量占比按天数不断进行变化，如图1所示。在此向学生提问从图1中可以发现什么，显然该曲线从左向右一直呈下降趋势，如何用数学的思维进行解释，自然而然引入函数的概念。同时让学生思考递增函数与该函数的共同特征是什么，进而对函数单调性概念进行了解。
通过对该情境的引入，可以使学生对函数单调性进行了解，同时明白函数的单调性必须在某个区间，受该情境的影响，有的同学思维获得启发，发现气温变化情况也可以用函数单调性进行解释，从而真正让学生对函数单调性的概念进行掌握，达到拓展学生思维的教学效果以及有助于深度学习思维的广泛性。
二、联系旧知识，引发新知识
建构主义主张，学习的过程是一个不断由旧知识经验与新知识经验进行交流、重新组合的过程。对于数学的学习过程，需要以学生已有知识经验为基础，结合学生的认知发展，引导学生自主探究学习，通过交流合作，对概念进行准确理解。纵观新概念的形成过程，可以发现新概念与旧概念之间存在一种逻辑关系，即从特殊到一般，从具体到抽象不断生成的过程。教师在进行教学过程中需要将新旧知识相关联，以此对概念的本质进行探寻，引导学生形成一种初步的概念建构。
例如，对直线倾斜角的概念教学。以直线方程为切入点，提出过（ 1 ， 0 ）点做出很多条直线，如图2所示，以倾斜程度的不同引出倾斜角的概念，此外根据图2也可以引导学生发现过一点同时还必须有相对于轴的倾斜程度即斜率可以确定一条直线。对于倾斜程度的描述除了角还有“斜率”，学生在未进行预习的情况下可以联系到直线方程中的值。对于该图的引入，有助于学生对倾斜角发展的过程进行了解，从而对直线倾斜角的定义了解更加透彻，锻炼学生思维能力的同时可以实现直线倾斜角概念与直线方程相结合。有助于学生形成自己的概念知识建构，以旧知识引出新知识，加深对新知识的理解，构建关于直线倾斜角的整体架构，引导学生不断探究学习，达到深入学习的目的。
通过对图2的旋转演示，以轴为基准线，直线沿轴向上的方向与轴正向方向之间所形成的夹角是直线的倾斜角，同时通过中间垂直于轴情况，可以考虑到直线倾斜角的范围为，不仅可以帮助学生理解直线倾斜角的概念，同时对直线倾斜角的变化范围也进行了了解和掌握，可以轻松解答对直线倾斜角进行考察的选择题。由直线方程引出直线倾斜角的概念，可以促使学生构建自己的知识框架，避免传统的孤立学习，实现在概念掌握层面的深度学习。
三、引导问题设置，激发学生深入探究
考验学生对于所学基础知识、数学技能的掌握程度，需通过解题来衡量。因此，解题一定程度上体现对学生综合素质的考量。面对学生学习数学知识的复杂性以及学生对于新事物的了解需要一个过程，在设置问题时需要将知识点整体纳入，让学生对于所学知识所形成的思维有一个形象了解，化解知识的复杂性，在尊重学生学习和认知规律的前提下设置问题。
如针对直线倾斜角，以及直线倾斜角为钝角时，对直线倾斜角与斜率的变换进行考察。
例1 已知一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为，分别求这两条直线的斜率值。
例2 已知直线方程，求该直线的倾斜角。
例3 已知直线方程，求该直线的倾斜角。
通过这三道题可以帮助学生对直线倾斜角与斜率之间的转换进行学习和掌握，例1由于两个是特殊角，可以直接根据角的特殊值得出直线的斜率，对于120°需要考虑到该角处于第二象限，斜率应为负值，该题在于对角的特殊值进行掌握时需熟记。例2与例3分别是给出直线方程的斜率，根据斜率的正负值、倾斜角的范围可以求出直线倾斜角，这两道题都属于基础题，在于帮助学生初步理解和应用。但通过学习可以发现有两种特殊情形并未纳入该考察范围，忽略和两种特殊情况，对于这两种情况可以在上述两题的基础之上，启发学生以点代入，对直线的倾斜角以及斜率进行计算。为方便学生进一步掌握，可以引导学生以表格的方式将倾斜角与斜率的关系更加形象展现，如表2所示。从而以优化问题设置的方式，促使学生对概念知识进行应用和掌握。 四、知识变式拓展，加深新知识的理解
对学生开展阶梯式的教学是深度学习的本质，通过对学生的知识进一步拓展，逐步培养和构建学生的高阶思维，最终形成数学素养，对学生后期的学习发展过程产生影响。在具体的教学过程中，以问题为导向的任务驱动，问题的逐步加深和拓展，加强对知识点进行变式拓展，不断加大探究性学习的力度，促使学生养成深度思考的习惯，将数学知识的概念构建与学生有意识的学习相结合，对学生的数学核心素养进行培养和发展。
例如，在对双曲线函数和图像知识进行教学的过程中，首先以课本例题为切入点，然后对例题进行变式和延伸。课本例题为双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上点有，试表示该双曲线的标准方程。
变式1：若动点与双曲线两焦点之间的距离满足，则动点的移动轨迹是什么？满足时，动点的轨迹又是什么？
变式2：在△中，为动点，，，且满足，则动点的轨迹方程是什么？
变式3：同时与 两圆都外切，求中圆心的移动轨迹方程。
通过对该例题的变式拓展设计，将双曲线方程中基础知识点与三角形、圆等几何图形相结合，通过把握学生对知识点的理解和运用程度的基础上，对双曲线知识点进行深入挖掘研究，进一步与三角形正弦定理，圆的一般方程、圆的标准方程相结合，并将与圆相切的知识点融入进去，有助于加深学生对双曲线函数相关知识点的理解，同时还能拓展学生看待双曲线方程的角度，形成学生对于双曲线函数概念运用的知识体系，对该部分内容综合掌握，便于学生考试时可以灵活发挥。通过变式运用可以拓展学生思维的广度和深度，是深度教学过程中的一种体验。
五、批判质疑教学，产生深度学习动力
批判性的获取认知是深度学习定义中所强调的内容。在深度学习的背景下学生应该围绕具有挑战性的课题去积极主动学习，敢于质疑老师的观点。质疑是学习数学过程中重要的品质，教师应改变传统的单纯授课思维，积极鼓励学生，尊重学生所表达的观点，培养学生的分析和论证能力。数学讲究逻辑思维的严谨性，教师在面对学生出错时，应先允许其表达自己的想法，然后将忽略的逻辑部分进行指点，不仅有助于加深学生对知识的理解，还能激发学生探究性学习的动力。
例如，以双曲线方程为例，在对该部分知识点的运用进行讲解时，我会首先让学生积极讨论表达自己的想法，然后针对学生存在的误区进行指导。
已知圆，圆 都内切于动圆，求动圆圆心的运动轨迹方程。
针对该问题学生讨论会出现一种错解，即在设所求动圆圆心的坐标为，半径为，将误认为，动圆圆心的轨迹为双曲线，事实上表示动点到定点，的距离差为常数3，且，表示点的轨迹为双曲线的右支，故圆心轨迹方程为.
通过对该题进行讨论、解答的过程中，当学生表达完自己的想法之后，会指出该题的错误点在于对双曲线的概念把握不透彻，并引导学生对双曲线的概念再次熟悉，真正帮助学生参透双曲线的概念，激发学生探究学习的乐趣，同时集体交流讨论更有助于学生对知识的理解，实现深度学习中教学阶梯式发展的關键一步。
六、总结经验教训，注重反思能力培养
一节课结束之后很多学生认为自己对知识点已经掌握，但经过一段时间之后会发现仍存在很多疑惑点，原因在于缺少对问题的总结和反思。教师在教学过程中对学生反思能力的培养是一个长期的过程，首先应引导学生如何进行反思，在了解初步反思模式之后进一步养成勤反思的习惯。在此基础之上巧妙利用错题整理本，对每日的学习内容经过反思有一个再认知的过程。通过对经验教训进行总结，学生会将收集、整理的数学方法来丰富自己的解题经验，并通过与老师的不断交流调整学习策略，实现深层次的思考，激发学生学习潜能。
例如，在对排列组合题进行练习时，有一道错误率较高的题，教师要将5本不同的课本全部分发给4位同学，且保证每位同学至少要有一本课本，求有多少种不同的分法。
在做这道题时，学生会存在错解认为从5本课本中选出4本，有种情况，再分给4个同学，有种不同的分法，再将最后一本课本分给任意一位同学，即错误的公式为：种不同的分法，题目的一种正确解法为先从5本课本当中，将2本课本绑在一起，形成4组书，有种不同的分法，再将4组书随机分发给4位同学，有种不同的分法，最后结果为种不同的分类方法。
第二种正解方法为：先从4位同学中随机选择一位学生，有种方法，然后再将5本课本中选择2本课本，保证每位同学至少有一本课本，这时有种不同的分法，剩下的3位同学再将剩下的3本课本进行分发，最后结果为种不同的分类方法。通过对错题进行总结发现学生的错误原因在于将拥有2本课本的同学不考虑他们先拥有哪本课本的顺序，所以再求解的过程中重复计算一次。究其根本原因则在于学生思考不周密，将无序问题进行有序化处理，造成情况重复计算。
通过对该题的总结反思，可以使学生明白排列组合题的关键在于先组合后进行排列，要按照对象逐一进行分类，同时结合排列的公式加深学生对排列组合题的理解，，（其中），实现将抽象概念的具体运用，经过不断反思，形成成熟的数学经验。
综上所述，通过对深度学习的研究发现深度学习的关键在于注重对知识的深层次理解，构建知识架构，实现知识迁移，同时通过对学生反思能力的培养可以实现学生深层次的思考，激发学生探究学习的能力，最终形成数学素养并对学生后续的学习以及发展产生深远影响，实现深度教学的目的。
参考文献：
[1]印婧钰.基于高中数学概念深度学习的探索[J].中学数学，2020（13）：91-92.
[2]吴燕春.整体视角下的高中数学深度学习分析[J].数学教学通讯，2020（18）：33-34.
[3]石凤燕.基于深度学习背景下的高中数学教学研究——以《双曲线及其标准方程》教学为例[J].数学教学通讯，2020（15）：41-42.
[4]翟雯.浅谈高中数学深度学习的实现途径[J].数学教学通讯，2020（06）：34-35.
[5]武世起.多元表征，让学习深度发生——高中数学等差数列教学实践探究[J].课程教育研究，2019（46）：188.