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摘要：创新能力的培养是教育的永恒主题，类比创新是一种行之有效的重要方法。结合线性代数，通过类比导新、探新、创新的教学过程，不仅使学生更好地掌握了线性代数的基础知识，而且通过学生自身的探索尝试，基本具备了类比思维的能力，提高了探新创新的兴趣和信心，较好地实现了教学目标。
关键词：类比思维；线性代数；矩阵
作者简介：马巧云（1968-），女，河南新密人，河南农业大学信息与管理科学学院，副教授；刘同生（1969-），男，河南汝州人，河南农业大学信息与管理科学学院，讲师。（河南郑州450002）
基金项目：本文系科技部创新方法工作专项项目（编号：2009IM010400-1-47）的研究成果。
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2012）14-0087-02
类比不仅是一种重要的科学研究方法，而且是一种行之有效的教学方法。在“线性代数”的教学过程中，如能适当应用类比思维，不仅可以有效地缓解内容多和学时少的矛盾，而且可以帮助学生在学习中举一反三、触类旁通，培养他们善于观察、勇于探索的科学研究能力与创新素质。
结合线性代数谈类比思维，学生可在此启发下对微分学、积分学及概率论的某些内容进行类比分析，一方面来加固他们对这些知识模块的掌握，另一方面可通过类比探索和发现一些问题，激发学生浓厚的学习兴趣。
一、类比思维的应用
1.类比思维的含义
类比是以相似性为基础来建立事物之间的关联，是探索发现问题和解决问题的有效思维方法。
类比思维也叫类比推理，它是根据两个（或两类）对象在某些属性上相似而推出其在另一些属性上也可能相似的一种思维形式。[1]通常包括两方面的含义：一是由新信息引起的对已有知识的回忆。[2]通过对比两个相似对象，分析其异同，加深对原有知识的巩固和掌握。二是从已知对象所拥有的某些结果去猜想和发现另一对象对应的一些新结果。通过两个不同对象间的比较，把其中某一对象的有关知识或结论推移到另一对象中，在较广的范围内把两个不同事物联系起来，异中求同，同中求异。
2.类比思维的过程和步骤
类比思维的过程是一种从特殊到特殊的推理过程，是一种主观的不充分的似真推理，其实质是信息从模型向原型的转移，[3]如图1。为了探究原型A，类比思考其相似对象模型，联想到模型具有性质或者结果，猜测原型A也具有类似的性质或者结果b。需要指出的是，通过类比得出的结论并非一定真实可靠，它只能算是可能的结果，必须做进一步的研究和验证。
结合类比思维的过程，可以将类比思维研究问题的步骤总结为：确定类比对象；联想类比对象相关的性质和结果；通过类比推理，建立猜想；研究猜想。
3.类比思维的作用
虽然类比思维得到的结论未必真实可靠，但它是提出问题和获得新发现的重要手段。[4]著名哲学家康德曾指出：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。”在数学发展史上，运用类比的方法提出猜想、得到发现和发明的事例很多，如著名的哥德巴赫猜想就是一个精彩的范例。
二、利用类比探索和掌握线性代数的基本知识
线性代数围绕n元方程组的求解和应用，主要讨论了行列式、矩阵、方程组、二次型、线性空间和线性变换等有关内容，[5]矩阵及其初等变换是贯穿线性代数始终的一条主线，如图2。而矩阵的运算理论是基础。
1.运算上与已学内容类比，温故知新掌握矩阵的运算规律
提到运算及运算律，大家首先想到的加减乘除四则运算，并且在数域范围下，减法和除法可归结为加法和乘法，从而只讨论加法和乘法的运算律，主要包括加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律、分配律和消去律。线性代数运算的讨论主要是加法和数乘，加法中补充了0元和负元两条算律，数乘中考虑结合律、两个分配律和数1的存在性四条算律，对于转置、伴随、逆、秩、行列式虽然可以有运算结果，但没有运算律的讨论，根据类比思考，可考虑它们对各种运算是否具有对应的性质，如果具备相应的性质，则可给出证明并将其作为算律列入表1，如不具备相应的性质则可以举出反例，不在表1列出。对矩阵的转置、伴随、逆、秩、行列式等可以讨论它们的和、数乘、乘法、转置、伴随、逆、秩、行列式等是否有对应性质。为此，教师将矩阵的加法、数乘、乘法、转置、伴随、逆、秩、行列式作为矩阵的基本运算，在此基础上明确了各种运算的表示、条件、规则、算律，如表1，其中大写字母表示矩阵，n表示方阵的阶数，k为任意数。
2.对象上与其他事物类比，触类旁通，启发创新
在矩阵理论里会不断遇到特殊矩阵，如零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、初等矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、可逆矩阵、分块矩阵、正定矩阵、正交矩阵等。在教学过程中，每遇到一类特殊矩阵，就根据类比思维，引导学生思考讨论这类矩阵在经过各种运算后是否还是该类矩阵，运算的结果有哪些特殊性质。在学到正定矩阵和正交矩阵时，还没等老师开讲，学生就提问两个正交（定）矩阵的和与积是否正交（定），数乘后是否正交（定），转置、逆、秩、行列式会有什么样的结论，并试图用相似的方法讨论可能的结果。由此可见，类比方式不仅使同学们品尝到成功的喜悦，而且也培养了他们对美的鉴赏和探索精神。
3.认识方法上反复类比，促进记忆，提高猜想能力
在对线性代数的每个知识模块讲解时，基本上总是沿着背景、定义、性质、求解或原理、应用等五个方面展开，不管是对行列式，还是对矩阵、方程组、二次型、线性相关性、特征值和特征向量各模块。拿行列式来讲，n阶行列式的背景就是为了建立n个方程n个未知量的方程组的公式解；定义是n!项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的n个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号；性质有8个，求解主要利用性质进行计算，行列式的计算技巧有很多，常用的主要有通过找1化0化三角形或依行（列）展开，再是针对行（列）和有公因子型、三线型、范德蒙及伪范德蒙行列式、主对角线上方和下方元素分别相同型引发出的降阶法、加边法、递推法、分拆法等；应用则通过克莱姆法则回到背景提出问题解决方程组的公式解，在学完整个线性代数后，可引导学生挖掘行列式更多的应用，如求矩阵的秩、伴随矩阵、判断方阵是否可逆，判断n个n维向量组的相关性、判断齐次方程组有无非零解、判断二次型的正定性、求特征值等。就矩阵来说，其背景是简化表示，定义是数表，性质主要是关于加法、数乘、乘法、转置、逆、秩等各种运算以及初等变换的性质，求解原理主要围绕矩阵的初等变换进行，应用不仅包括对方程组、二次型和线性变换等的简化表示，还包括利用矩阵的初等变换化行列式为三角形行列式、求矩阵的等价标准形、解矩阵方程和线性方程组、化二次型为标准形等。同样，可类比思考方程组、线性相关性、特征值和特征向量等模块对应的这五个方面。这样做，一方面方便学生思考记忆，系统掌握这些知识，另一方面也给学生提供了一种方便易行的知识建构模式，体现研究性学习重探究、重参与的特点，有利于形成学生的自主创新能力。
三、结论
创新能力的培养是教育的永恒主题，本文结合“线性代数”课程通过类比导新、探新、创新的教学过程，给学生提供了类比的思维方法，通过学生自身的探索尝试，树立探新创新的信心，有利于培养学生的探究和创新能力。结合线性代数谈类比思维，学生可在此启发下对微分学、积分学、概率论、数理统计、微分方程的某些内容进行类比分析，一方面来加固对这些知识模块的掌握，另一方面可通过类比来探索和发现一些问题，激发浓厚的学习兴趣。
参考文献：
[1]史久一,朱悟槚.化归与归纳·类比·联想[M].大连:大连理工大学出版社,2008.
[2]井世忠,殷峰丽.类比思维在高等数学中的应用[J].高等函授学报(哲学社会科学版),2010,(7):57-58.
[3]何拓程.浅谈立体几何与平面几何的类比学习[J].高中数理化(高一版),2008,(11):27-29.
[4]曹瑞.类比教学法的研究与应用[J].教学与管理,2011,(27):128-129.
[5]梁保松,苏金梅.线性代数[M].北京:中国农业大学出版社,2009.
（责任编辑：宋秀丽）
关键词：类比思维；线性代数；矩阵
作者简介：马巧云（1968-），女，河南新密人，河南农业大学信息与管理科学学院，副教授；刘同生（1969-），男，河南汝州人，河南农业大学信息与管理科学学院，讲师。（河南郑州450002）
基金项目：本文系科技部创新方法工作专项项目（编号：2009IM010400-1-47）的研究成果。
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2012）14-0087-02
类比不仅是一种重要的科学研究方法，而且是一种行之有效的教学方法。在“线性代数”的教学过程中，如能适当应用类比思维，不仅可以有效地缓解内容多和学时少的矛盾，而且可以帮助学生在学习中举一反三、触类旁通，培养他们善于观察、勇于探索的科学研究能力与创新素质。
结合线性代数谈类比思维，学生可在此启发下对微分学、积分学及概率论的某些内容进行类比分析，一方面来加固他们对这些知识模块的掌握，另一方面可通过类比探索和发现一些问题，激发学生浓厚的学习兴趣。
一、类比思维的应用
1.类比思维的含义
类比是以相似性为基础来建立事物之间的关联，是探索发现问题和解决问题的有效思维方法。
类比思维也叫类比推理，它是根据两个（或两类）对象在某些属性上相似而推出其在另一些属性上也可能相似的一种思维形式。[1]通常包括两方面的含义：一是由新信息引起的对已有知识的回忆。[2]通过对比两个相似对象，分析其异同，加深对原有知识的巩固和掌握。二是从已知对象所拥有的某些结果去猜想和发现另一对象对应的一些新结果。通过两个不同对象间的比较，把其中某一对象的有关知识或结论推移到另一对象中，在较广的范围内把两个不同事物联系起来，异中求同，同中求异。
2.类比思维的过程和步骤
类比思维的过程是一种从特殊到特殊的推理过程，是一种主观的不充分的似真推理，其实质是信息从模型向原型的转移，[3]如图1。为了探究原型A，类比思考其相似对象模型，联想到模型具有性质或者结果，猜测原型A也具有类似的性质或者结果b。需要指出的是，通过类比得出的结论并非一定真实可靠，它只能算是可能的结果，必须做进一步的研究和验证。
结合类比思维的过程，可以将类比思维研究问题的步骤总结为：确定类比对象；联想类比对象相关的性质和结果；通过类比推理，建立猜想；研究猜想。
3.类比思维的作用
虽然类比思维得到的结论未必真实可靠，但它是提出问题和获得新发现的重要手段。[4]著名哲学家康德曾指出：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。”在数学发展史上，运用类比的方法提出猜想、得到发现和发明的事例很多，如著名的哥德巴赫猜想就是一个精彩的范例。
二、利用类比探索和掌握线性代数的基本知识
线性代数围绕n元方程组的求解和应用，主要讨论了行列式、矩阵、方程组、二次型、线性空间和线性变换等有关内容，[5]矩阵及其初等变换是贯穿线性代数始终的一条主线，如图2。而矩阵的运算理论是基础。
1.运算上与已学内容类比，温故知新掌握矩阵的运算规律
提到运算及运算律，大家首先想到的加减乘除四则运算，并且在数域范围下，减法和除法可归结为加法和乘法，从而只讨论加法和乘法的运算律，主要包括加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律、分配律和消去律。线性代数运算的讨论主要是加法和数乘，加法中补充了0元和负元两条算律，数乘中考虑结合律、两个分配律和数1的存在性四条算律，对于转置、伴随、逆、秩、行列式虽然可以有运算结果，但没有运算律的讨论，根据类比思考，可考虑它们对各种运算是否具有对应的性质，如果具备相应的性质，则可给出证明并将其作为算律列入表1，如不具备相应的性质则可以举出反例，不在表1列出。对矩阵的转置、伴随、逆、秩、行列式等可以讨论它们的和、数乘、乘法、转置、伴随、逆、秩、行列式等是否有对应性质。为此，教师将矩阵的加法、数乘、乘法、转置、伴随、逆、秩、行列式作为矩阵的基本运算，在此基础上明确了各种运算的表示、条件、规则、算律，如表1，其中大写字母表示矩阵，n表示方阵的阶数，k为任意数。
2.对象上与其他事物类比，触类旁通，启发创新
在矩阵理论里会不断遇到特殊矩阵，如零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、初等矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、可逆矩阵、分块矩阵、正定矩阵、正交矩阵等。在教学过程中，每遇到一类特殊矩阵，就根据类比思维，引导学生思考讨论这类矩阵在经过各种运算后是否还是该类矩阵，运算的结果有哪些特殊性质。在学到正定矩阵和正交矩阵时，还没等老师开讲，学生就提问两个正交（定）矩阵的和与积是否正交（定），数乘后是否正交（定），转置、逆、秩、行列式会有什么样的结论，并试图用相似的方法讨论可能的结果。由此可见，类比方式不仅使同学们品尝到成功的喜悦，而且也培养了他们对美的鉴赏和探索精神。
3.认识方法上反复类比，促进记忆，提高猜想能力
在对线性代数的每个知识模块讲解时，基本上总是沿着背景、定义、性质、求解或原理、应用等五个方面展开，不管是对行列式，还是对矩阵、方程组、二次型、线性相关性、特征值和特征向量各模块。拿行列式来讲，n阶行列式的背景就是为了建立n个方程n个未知量的方程组的公式解；定义是n!项的代数和，每项为行列式中不同行不同列的n个元之积，且将每项元素按行下标自然顺序排列，列下标的逆序数决定该项的正负号；性质有8个，求解主要利用性质进行计算，行列式的计算技巧有很多，常用的主要有通过找1化0化三角形或依行（列）展开，再是针对行（列）和有公因子型、三线型、范德蒙及伪范德蒙行列式、主对角线上方和下方元素分别相同型引发出的降阶法、加边法、递推法、分拆法等；应用则通过克莱姆法则回到背景提出问题解决方程组的公式解，在学完整个线性代数后，可引导学生挖掘行列式更多的应用，如求矩阵的秩、伴随矩阵、判断方阵是否可逆，判断n个n维向量组的相关性、判断齐次方程组有无非零解、判断二次型的正定性、求特征值等。就矩阵来说，其背景是简化表示，定义是数表，性质主要是关于加法、数乘、乘法、转置、逆、秩等各种运算以及初等变换的性质，求解原理主要围绕矩阵的初等变换进行，应用不仅包括对方程组、二次型和线性变换等的简化表示，还包括利用矩阵的初等变换化行列式为三角形行列式、求矩阵的等价标准形、解矩阵方程和线性方程组、化二次型为标准形等。同样，可类比思考方程组、线性相关性、特征值和特征向量等模块对应的这五个方面。这样做，一方面方便学生思考记忆，系统掌握这些知识，另一方面也给学生提供了一种方便易行的知识建构模式，体现研究性学习重探究、重参与的特点，有利于形成学生的自主创新能力。
三、结论
创新能力的培养是教育的永恒主题，本文结合“线性代数”课程通过类比导新、探新、创新的教学过程，给学生提供了类比的思维方法，通过学生自身的探索尝试，树立探新创新的信心，有利于培养学生的探究和创新能力。结合线性代数谈类比思维，学生可在此启发下对微分学、积分学、概率论、数理统计、微分方程的某些内容进行类比分析，一方面来加固对这些知识模块的掌握，另一方面可通过类比来探索和发现一些问题，激发浓厚的学习兴趣。
参考文献：
[1]史久一,朱悟槚.化归与归纳·类比·联想[M].大连:大连理工大学出版社,2008.
[2]井世忠,殷峰丽.类比思维在高等数学中的应用[J].高等函授学报(哲学社会科学版),2010,(7):57-58.
[3]何拓程.浅谈立体几何与平面几何的类比学习[J].高中数理化(高一版),2008,(11):27-29.
[4]曹瑞.类比教学法的研究与应用[J].教学与管理,2011,(27):128-129.
[5]梁保松,苏金梅.线性代数[M].北京:中国农业大学出版社,2009.
（责任编辑：宋秀丽）