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集合这一部分内容是高中数学的基础知识,为历年高考的必考内容,高考中除了考查对集合基本概念的理解外,主要考查集合语言和集合思想做为一种重要数学工具的理解和运用能力,由于集合部分的概念比较抽象,符号术语多,致使一些同学感到难以适应,常常因为这样或那样的原因造成解题失误 .为了帮助同学们解决学习中常出现的问题,本文针对在学习中需要特别注意的地方提出了四个警示,帮助同学们掌握有关知识,提高学习成绩.
在使用描述法表示集合的时候,竖线前面表示集合任意一个元素的的代表符号决定了集合的元素是什么,在研究和解决集合的有关问题时,必须首先根据这个代表符号判定清楚这个集合的元素到底是什么,这是进行下一步有关运算的前提,有些同学对这一点重视不够,上来就根据元素要满足的条件(竖线后面的特征性质)进行运算,往往导致失误.
例1:若集合P={x | y = x2-2x},
Q={y | y = x2-2x},则下列关系正确的是
C. Q?哿P D. P=Q
分析:解答这样的问题容易出现两种错误,第一种是仅看到两个集合中元素所满足的条件都是y = x2-2x,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,从而误选D;第二种错误是一看两个集合的代表元素一个是x,另一个是y,马上断定两个集合没有任何关系,从而误选A,这两种错误都是由于没有弄清集合的元素到底是什么 .
实际上,P集合表示的是函数y = x2-2x的自变量x的所有取值组成的集合,也就是函数y = x2-2x的定义域.Q集合表示的是函数y = x2-2x的函数值y的所有取值组成的集合,也就是函数y = x2-2x的值域,对这两个集合分别进行化简,则有P = R,而Q=[-1,+∞),所以两个集合的关系是Q?哿P,应选C .
例2:已知集合M={ y | y = x-2},N={ y | y = x2-4},求M∩N.
错解1:令x-2=x2-4,得x = 2,y = 0或x = -1,y=-3 .
故M∩N={0,-3}.
错解2:由y = x2-4,y = x-2,解得x = -1,y = -3,x = 2,y = 0.
故M∩N={(-1,-3),(2,0)} .
上述的两种解法都是把集合中的代表元素搞错了,错解1是把集合中的元素当成了方程组的解y;错解2则把集合中的元素当成了点的坐标 .而实际上两个集合M、N分别是两个函数的值域 .其中M = R,而N=[-4,+∞),
∴M∩N=N=[-4,+∞).
说明:解集合问题时,对集合元素的准确识别十分重要,不允许有半点错误,否则必将导致解题的失败.
集合中的元素有三大性质:确定性,互异性,无序性,其中互异性是指集合中任何两个元素都是不同的,相同元素归入同一集合时只能算作一个元素,因此集合中元素没有重复的,这一重要属性在解题中常常被忽视而导致错误 .
例3:设集合A={ x2,-4},B={ x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B.
分析:由A∩B={9},知9∈A,可得x2 = 9,解得x =±3.
当x = 3时,A={9,-4},B={-2,-2,9},B中元素违反了互异性,故x = 3舍去.
当x = -3时,A={9,-4},B={-8,4,9},满足题意,所以A∪B={-8,-4,4,9].
例4:已知集合{x,x y,lg (x y)}={0,|x|,y},求x+y的值.
错解:因为x y>0,所以lg (x y)=0.
即x y=1.
所以|x| = 1或者y =1.
解得两组解x = 1y = 1 或 x = -1,y = -1.
所以x + y =2或x + y =-2.
上述解法错误的原因是当x =1,y =1时,两个集合都出现了重复的元素1,违反了互异性,所以x =1,y =1这一组解应舍去.
说明:在解题时,为了避免出现集合中的元素违反互异性的错误,通常情况下要对解出的结果进行检验.
一点容易被忽视,在解题中应引起注意.
例5:集合A={ x |x2-3x-10≤0},B={ x | m+1≤ x ≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
错解:∵A∪B=A, ∴B?哿A.
又∵A={x | x2-3x-10≤0}={ x|-2≤ x ≤5},
∴-2≤ m+1,2m-1≤5,m+1≤ 2m -1.?圯2≤ m ≤3.
故m的取值范围是2≤ m ≤3.
分析:上述解法错误的原因是误以为集合B={ x |m+1≤ x ≤ 2m-1}一定是一个非空集合. 事实上,而当2m-1例6:若集合A={ x | x2+ x-6=0},B ={ x | mx +1=0},且B ?芴 A,求m的值.
解:由题意可知集合A的元素为一元二次方程x2 + x-6=0的根.
故A={ x | x2 + x-6=0}={-3,2}.
∵B ?芴 A,
A. a≤1B. a<1 C. a≥2D. a>2
分析:为了看得清楚,我们用数轴作工具,在数轴上把有关的集合标示出来,如右图所示.
∵B={x|1 又∵集合A中元素满足x2.
∴所求的范围是a≥2. 故选C.
说明:在研究变量的取值范围时,为避免出错,区间端点处的取值(也就是“=”是否成立的问题)一定要单独讨论,另外,在研究一些实数集合相互关系的时候,用数轴来标示各个集合的范围,很多时候比使用韦恩图还能起到使抽象的数量关系变得直观易懂的效果,是一个非常好的方法.
在使用描述法表示集合的时候,竖线前面表示集合任意一个元素的的代表符号决定了集合的元素是什么,在研究和解决集合的有关问题时,必须首先根据这个代表符号判定清楚这个集合的元素到底是什么,这是进行下一步有关运算的前提,有些同学对这一点重视不够,上来就根据元素要满足的条件(竖线后面的特征性质)进行运算,往往导致失误.
例1:若集合P={x | y = x2-2x},
Q={y | y = x2-2x},则下列关系正确的是
C. Q?哿P D. P=Q
分析:解答这样的问题容易出现两种错误,第一种是仅看到两个集合中元素所满足的条件都是y = x2-2x,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,从而误选D;第二种错误是一看两个集合的代表元素一个是x,另一个是y,马上断定两个集合没有任何关系,从而误选A,这两种错误都是由于没有弄清集合的元素到底是什么 .
实际上,P集合表示的是函数y = x2-2x的自变量x的所有取值组成的集合,也就是函数y = x2-2x的定义域.Q集合表示的是函数y = x2-2x的函数值y的所有取值组成的集合,也就是函数y = x2-2x的值域,对这两个集合分别进行化简,则有P = R,而Q=[-1,+∞),所以两个集合的关系是Q?哿P,应选C .
例2:已知集合M={ y | y = x-2},N={ y | y = x2-4},求M∩N.
错解1:令x-2=x2-4,得x = 2,y = 0或x = -1,y=-3 .
故M∩N={0,-3}.
错解2:由y = x2-4,y = x-2,解得x = -1,y = -3,x = 2,y = 0.
故M∩N={(-1,-3),(2,0)} .
上述的两种解法都是把集合中的代表元素搞错了,错解1是把集合中的元素当成了方程组的解y;错解2则把集合中的元素当成了点的坐标 .而实际上两个集合M、N分别是两个函数的值域 .其中M = R,而N=[-4,+∞),
∴M∩N=N=[-4,+∞).
说明:解集合问题时,对集合元素的准确识别十分重要,不允许有半点错误,否则必将导致解题的失败.
集合中的元素有三大性质:确定性,互异性,无序性,其中互异性是指集合中任何两个元素都是不同的,相同元素归入同一集合时只能算作一个元素,因此集合中元素没有重复的,这一重要属性在解题中常常被忽视而导致错误 .
例3:设集合A={ x2,-4},B={ x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B.
分析:由A∩B={9},知9∈A,可得x2 = 9,解得x =±3.
当x = 3时,A={9,-4},B={-2,-2,9},B中元素违反了互异性,故x = 3舍去.
当x = -3时,A={9,-4},B={-8,4,9},满足题意,所以A∪B={-8,-4,4,9].
例4:已知集合{x,x y,lg (x y)}={0,|x|,y},求x+y的值.
错解:因为x y>0,所以lg (x y)=0.
即x y=1.
所以|x| = 1或者y =1.
解得两组解x = 1y = 1 或 x = -1,y = -1.
所以x + y =2或x + y =-2.
上述解法错误的原因是当x =1,y =1时,两个集合都出现了重复的元素1,违反了互异性,所以x =1,y =1这一组解应舍去.
说明:在解题时,为了避免出现集合中的元素违反互异性的错误,通常情况下要对解出的结果进行检验.
一点容易被忽视,在解题中应引起注意.
例5:集合A={ x |x2-3x-10≤0},B={ x | m+1≤ x ≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
错解:∵A∪B=A, ∴B?哿A.
又∵A={x | x2-3x-10≤0}={ x|-2≤ x ≤5},
∴-2≤ m+1,2m-1≤5,m+1≤ 2m -1.?圯2≤ m ≤3.
故m的取值范围是2≤ m ≤3.
分析:上述解法错误的原因是误以为集合B={ x |m+1≤ x ≤ 2m-1}一定是一个非空集合. 事实上,而当2m-1例6:若集合A={ x | x2+ x-6=0},B ={ x | mx +1=0},且B ?芴 A,求m的值.
解:由题意可知集合A的元素为一元二次方程x2 + x-6=0的根.
故A={ x | x2 + x-6=0}={-3,2}.
∵B ?芴 A,
A. a≤1B. a<1 C. a≥2D. a>2
分析:为了看得清楚,我们用数轴作工具,在数轴上把有关的集合标示出来,如右图所示.
∵B={x|1
∴所求的范围是a≥2. 故选C.
说明:在研究变量的取值范围时,为避免出错,区间端点处的取值(也就是“=”是否成立的问题)一定要单独讨论,另外,在研究一些实数集合相互关系的时候,用数轴来标示各个集合的范围,很多时候比使用韦恩图还能起到使抽象的数量关系变得直观易懂的效果,是一个非常好的方法.