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圆锥曲线的本质是几何问题代数化,有些习题看起来很平常,实际上反映了相关数学理论的本质属性,蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓,是创新思维的生长点,这就需要教师适时引导学生不断的发展,引申,变迁问题,进行研究性学习,从而培养学生发现问题,提出问题,分析问题和解决问题的能力.图1
习题展示:如图1,在平面直角坐标系中,已知椭圆C:x29 y25=1的左、右顶点分别为A、B,经过点T(1,0)的直线l与椭圆C交于M、N两点,求证:直线AM、BN与直线x=9相交于一点.
学生很快呈现出本题的代数计算过程.
解析:若直线l与x轴重合,命题显然成立.
若直线l不与x轴重合,设直线l的方程为my=x-1,
联立my=x-1
平面中,两条不平行的直线相交于一点是显然的,但是3条直线相交于同一点应该不仅仅是巧合,背后到底“隐藏”着什么样的数学原理呢?我们能不能从问题出发,试着对问题进行一般化研究,变式研究,推广研究,类比研究,甚至可以研究这一类问题的本质.
一个星期后的数学课上,学生互相交流探讨所研究的问题与结论,学生对于问题的变式研究,类比研究大大超出我的预料,在课上,每个同学都积极参与,力求用最精炼的语言表达结论,用最严谨简洁的过程证明结论的正确性,课后学生齐心协力,更是挖掘了问题的本质.1问题探究,披沙拣金
拓展研究一平面直角坐标系中,椭圆C:x29 y25=1的左、右顶点分别为A、B,经过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M、N两点,则直线AM、BN的交点轨迹是直线x=9.
第二个结论是对第一个结论的推广,证明了在任意椭圆中这样两直线的交点轨迹均是直线,轨迹方程只与直线所过的定点和椭圆中的系数a有关.
拓展探究三平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),A、B为长轴两端点,直线l过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)与椭圆交于M、N两点,若直线AM、BN的交点为P,则OP·OT=a2(为定值,与t无关).
前面已证直线AM、BN的交点P(a2t,yp),易得OP·OT=a2.
看到这样的结果,学生脸上露出惊讶的表情,他们从中体会到数学的神奇,一个看似很平常的问题,竟然得到这么和谐漂亮的结论.
经过不断的拓展研究,条件不断的一般化,直线过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)推广为过平面内任意一点时向量点乘积为定值的结论依然成立.
拓展探究四平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),A、B为长轴两端点,直线l过平面内任意一点T(t,s)(s≠0)与椭圆交于M、N两点,若直线AM、BN的交点为P,直线l与x轴的交点为Q,则OP·OQ=a2(为定值,与t无关).
证明过程类似,从略.
如果将椭圆改为圆,结论也成立.圆可以看作是椭圆的特殊情况,在计算的过程中a、b的大小是否相等并不影响计算的结果,.
从三线共点到结论“OP·OQ=a2”如此简洁,如此美妙,直觉告诉我们这决不是偶然,肯定有其必然性,研究后发现本题有丰富的背景,它与极点和极线的知识有关.
实际上,关于极点和极线,有如下两个常用的结论:图2
(1)如图2,设P为不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线交圆锥曲线于
E,F,G,H,设EG,FH交于M,EH,FG交于N,则称MN为点P对应
的极线,同理,称PN为点M对应的极线,PM为点N对应的极线;
(2)对于椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),点P(x0,y0)对应的极线为
xx0a2 yy0b2=1,特别点P(t0,0)对应的极线为x=a2t.
有了极点极线知识,我们所拓展研究的问题就很容易解释了:
当直线l过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)时,点T(t,0)对应的极线为过点P且垂直于x轴的直线x=a2t,此时P(a2t,y0),所以OP·OT=a2.
当直线l过平面内任意一点T(t,s)(s≠0)时,直线l与x轴的交点为Q(m,0),点Q对应的极线还是过点P且垂直于x轴的直线x=a2m,此时P(a2m,y0),所以OP·OQ=a2.2研究性学习实践的认识
课堂是教学变革的主战场,研究性学习只有根植于课堂,变成课堂教学中的一种常用方式,才能由一种开放的教育思想变为可行的教学实践,才能真正发挥其应有的价值[1].在理论学习和教学实践中,数学课堂探究性学习必须依照数学学科的特点,努力凸显其固有的问题性、自主性、过程性和开放性.
2.1问题性
“问题是数学的心脏”,它促使人们对数学本质的探索,推动人们对数学真理的发现.没有问题也就难以诱发和激起探究欲望,感觉不到问题存在也就不会生成认知上的需要,就不会深入思考,学习也只能是表面和形式的训练.数学研究性学习强调通过问题来进行学习,把问题看成学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线[2].教学中,教师要关注课本例题和习题的结论,应该主动地寻找知识的生长点和思维的发散点,不断地发展引申、变迁问题,进行探究.通过学习生成问题,把数学学习看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.
2.2自主性
探究性学习是相对于授受式学习而提出的.自主性是探究性学习最本质的规定性,也是探究式学习与授受式学习相区分的关键所在[3].探究性学习突出了学生作为教学活动的主体,立足于学生的学和自主性探究,以学生的主体活动为中心展开.强调学生是在教师恰到好处的引导和帮助下自主地参与教学活动,以自己的经验和知识为基础,经过独立的、合作的探索与发现,亲身的体验与实践,将知识纳入到自己的认知结构中,并尝试解决新问题.在探究性学习中,教师要适当地帮助引导学生,培养学生发现问题的创造潜能,使学生的求知和创新意识得到发展,为学生的终身学习和毕生的发展奠定基础,这才是数学教育的真正意义所在.
2.3过程性
研究性学习追求过程和结果的和谐统一,它强调尽可能地让学生经历一个完整的知识的发现、形成、应用和发展的过程.数学学科的特点决定了数学教学不宜将概念、法则、结论直接告诉学生,而应努力地揭示它们发生、发展过程,使学生在“过程”中逐渐体会并掌握获取知识的方法,体验数学知识的“再创造”历程,在这样的探究过程中思维才有机会得以充分而自然的开启、交流、优化和升华.
2.4开放性
“数学教学就是数学思维活动的教学”.在传统的授受式学习的课堂里,学生的思维基本是在教师规定的航道上运行,思维发展难有成效.学生思维的诱发不仅来自教师的启迪,也来自于学生之间的相互启发,这就需要一个开放的教学环境.在探究的过程中,不追求问题的难度,更关注能否体现强烈的探究欲望和创新兴趣;不追求解题技巧,更关注学生对数学概念、数学本质的理解、数学思想的领悟.只有在民主、和谐的课堂氛围中,学生才能自由的想象,大胆的思考,才能充分挖掘自己的潜能,全面展示自己的个性,思维才最活跃最有创造性.在层出不穷的新问题的探究中,学生的思维层次和创新意识才能向纵深发展,这也正是探究性学习的精神要旨.
参考文献
[1]徐章韬,梅全雄.论基于课堂的数学探究性学习[J].数学教育学报,2013,22(6):1-4.
[2]余文森.课堂有效教学的理论和实践[M].北京:北京师范大学出版社,2011.
[3]任长松.探究式学习-学生知识的自主构建[M].北京:教育科学出版社,2005.
习题展示:如图1,在平面直角坐标系中,已知椭圆C:x29 y25=1的左、右顶点分别为A、B,经过点T(1,0)的直线l与椭圆C交于M、N两点,求证:直线AM、BN与直线x=9相交于一点.
学生很快呈现出本题的代数计算过程.
解析:若直线l与x轴重合,命题显然成立.
若直线l不与x轴重合,设直线l的方程为my=x-1,
联立my=x-1
平面中,两条不平行的直线相交于一点是显然的,但是3条直线相交于同一点应该不仅仅是巧合,背后到底“隐藏”着什么样的数学原理呢?我们能不能从问题出发,试着对问题进行一般化研究,变式研究,推广研究,类比研究,甚至可以研究这一类问题的本质.
一个星期后的数学课上,学生互相交流探讨所研究的问题与结论,学生对于问题的变式研究,类比研究大大超出我的预料,在课上,每个同学都积极参与,力求用最精炼的语言表达结论,用最严谨简洁的过程证明结论的正确性,课后学生齐心协力,更是挖掘了问题的本质.1问题探究,披沙拣金
拓展研究一平面直角坐标系中,椭圆C:x29 y25=1的左、右顶点分别为A、B,经过点(1,0)的直线l与椭圆C交于M、N两点,则直线AM、BN的交点轨迹是直线x=9.
第二个结论是对第一个结论的推广,证明了在任意椭圆中这样两直线的交点轨迹均是直线,轨迹方程只与直线所过的定点和椭圆中的系数a有关.
拓展探究三平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),A、B为长轴两端点,直线l过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)与椭圆交于M、N两点,若直线AM、BN的交点为P,则OP·OT=a2(为定值,与t无关).
前面已证直线AM、BN的交点P(a2t,yp),易得OP·OT=a2.
看到这样的结果,学生脸上露出惊讶的表情,他们从中体会到数学的神奇,一个看似很平常的问题,竟然得到这么和谐漂亮的结论.
经过不断的拓展研究,条件不断的一般化,直线过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)推广为过平面内任意一点时向量点乘积为定值的结论依然成立.
拓展探究四平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),A、B为长轴两端点,直线l过平面内任意一点T(t,s)(s≠0)与椭圆交于M、N两点,若直线AM、BN的交点为P,直线l与x轴的交点为Q,则OP·OQ=a2(为定值,与t无关).
证明过程类似,从略.
如果将椭圆改为圆,结论也成立.圆可以看作是椭圆的特殊情况,在计算的过程中a、b的大小是否相等并不影响计算的结果,.
从三线共点到结论“OP·OQ=a2”如此简洁,如此美妙,直觉告诉我们这决不是偶然,肯定有其必然性,研究后发现本题有丰富的背景,它与极点和极线的知识有关.
实际上,关于极点和极线,有如下两个常用的结论:图2
(1)如图2,设P为不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线交圆锥曲线于
E,F,G,H,设EG,FH交于M,EH,FG交于N,则称MN为点P对应
的极线,同理,称PN为点M对应的极线,PM为点N对应的极线;
(2)对于椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0),点P(x0,y0)对应的极线为
xx0a2 yy0b2=1,特别点P(t0,0)对应的极线为x=a2t.
有了极点极线知识,我们所拓展研究的问题就很容易解释了:
当直线l过x轴上任意一点T(t,0)(t≠0)时,点T(t,0)对应的极线为过点P且垂直于x轴的直线x=a2t,此时P(a2t,y0),所以OP·OT=a2.
当直线l过平面内任意一点T(t,s)(s≠0)时,直线l与x轴的交点为Q(m,0),点Q对应的极线还是过点P且垂直于x轴的直线x=a2m,此时P(a2m,y0),所以OP·OQ=a2.2研究性学习实践的认识
课堂是教学变革的主战场,研究性学习只有根植于课堂,变成课堂教学中的一种常用方式,才能由一种开放的教育思想变为可行的教学实践,才能真正发挥其应有的价值[1].在理论学习和教学实践中,数学课堂探究性学习必须依照数学学科的特点,努力凸显其固有的问题性、自主性、过程性和开放性.
2.1问题性
“问题是数学的心脏”,它促使人们对数学本质的探索,推动人们对数学真理的发现.没有问题也就难以诱发和激起探究欲望,感觉不到问题存在也就不会生成认知上的需要,就不会深入思考,学习也只能是表面和形式的训练.数学研究性学习强调通过问题来进行学习,把问题看成学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线[2].教学中,教师要关注课本例题和习题的结论,应该主动地寻找知识的生长点和思维的发散点,不断地发展引申、变迁问题,进行探究.通过学习生成问题,把数学学习看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.
2.2自主性
探究性学习是相对于授受式学习而提出的.自主性是探究性学习最本质的规定性,也是探究式学习与授受式学习相区分的关键所在[3].探究性学习突出了学生作为教学活动的主体,立足于学生的学和自主性探究,以学生的主体活动为中心展开.强调学生是在教师恰到好处的引导和帮助下自主地参与教学活动,以自己的经验和知识为基础,经过独立的、合作的探索与发现,亲身的体验与实践,将知识纳入到自己的认知结构中,并尝试解决新问题.在探究性学习中,教师要适当地帮助引导学生,培养学生发现问题的创造潜能,使学生的求知和创新意识得到发展,为学生的终身学习和毕生的发展奠定基础,这才是数学教育的真正意义所在.
2.3过程性
研究性学习追求过程和结果的和谐统一,它强调尽可能地让学生经历一个完整的知识的发现、形成、应用和发展的过程.数学学科的特点决定了数学教学不宜将概念、法则、结论直接告诉学生,而应努力地揭示它们发生、发展过程,使学生在“过程”中逐渐体会并掌握获取知识的方法,体验数学知识的“再创造”历程,在这样的探究过程中思维才有机会得以充分而自然的开启、交流、优化和升华.
2.4开放性
“数学教学就是数学思维活动的教学”.在传统的授受式学习的课堂里,学生的思维基本是在教师规定的航道上运行,思维发展难有成效.学生思维的诱发不仅来自教师的启迪,也来自于学生之间的相互启发,这就需要一个开放的教学环境.在探究的过程中,不追求问题的难度,更关注能否体现强烈的探究欲望和创新兴趣;不追求解题技巧,更关注学生对数学概念、数学本质的理解、数学思想的领悟.只有在民主、和谐的课堂氛围中,学生才能自由的想象,大胆的思考,才能充分挖掘自己的潜能,全面展示自己的个性,思维才最活跃最有创造性.在层出不穷的新问题的探究中,学生的思维层次和创新意识才能向纵深发展,这也正是探究性学习的精神要旨.
参考文献
[1]徐章韬,梅全雄.论基于课堂的数学探究性学习[J].数学教育学报,2013,22(6):1-4.
[2]余文森.课堂有效教学的理论和实践[M].北京:北京师范大学出版社,2011.
[3]任长松.探究式学习-学生知识的自主构建[M].北京:教育科学出版社,2005.