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摘 要：基于目前社会发展对高中生的能力要求和高中生数学解题能力的现状，结合当前数学课堂例题、习题的教学情况，从深入挖掘教材例题习题、一题多变、一题多解、小结反思等四个方面探讨如何有效利用课堂例题、习题教学，提升高中生的数学解题能力。
关键词：高中生；例题习题教学；数学解题能力
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）02-0060-02
“问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。”自波利亚强调“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”之后，我国更加注重数学解题研究，但解题也一度把我国数以万计的中学生推入题海的漩涡。新课改更是要求学生学会用数学的思考方式解决问题，认识世界。但就目前高中生的学习情况而言，在数学中提出问题、分析和解决问题还很难，甚至有些学生畏惧数学问题，更不要说通过学习数学，具备一定的理性思维。这主要还是因为教师没有有效利用课堂，使数学失去了魅力和吸引力。下面笔者就如何有效利用数学课堂例题、习题教学来提高数学课堂魅力，提升学生的解题能力，谈一些做法，以期抛砖引玉。
1.中学数学解题能力概述
中学数学解题能力，表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐洞察力与整体把握。其主要成分是3种基本的数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），其核心是能否掌握正确的思维方法，包括逻辑思维与非逻辑思维。
1.1中学数学解题的思想方法
在高中阶段，涉及数学解题的思想主要是：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想以及数学建模思想等。而解题方法就因题而论了，比如说，证明题常用的分析法、综合法、归纳法、反证法等，转化常用的换元法、消元法、待定系数法等。
1.2 影响数学解题的主要因素
学生在高中阶段已经涉及了数学解题需要的基本因素，主要有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素。
1.3提升中学数学解题能力的意义
中学数学解题对于发展中学生的能力具有极其重要的意义。有效而成功的问题解决，有助于增强学生的数学思维能力、培养学生的创新能力。在人类知识急增的科技时代，不仅要培养学生具有现代科学的系统基础知识和基本技能，还要教会学生独立思考、创造性地解决问题。
而且，在数学教学中，培养中学生数学解题能力，才能增强学生的问题解决能力，提高学生的思维水平，促使学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
2.利用课堂例题、习题教学提升学生解题能力的必要性
叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用”。教材是教学的重要资源，课本中的每一个例题、习题都是经过专家精心构思，反复斟酌的，具有很强的针对性，有很高的教育价值。但在课堂讲授例题习题时，当老师提出一个相关的探索问题时，很多学生不是积极思考，走在老师前面，而是低着头，害怕老师提问的模样，几乎都是在等老师的分析或是所谓的“启发”；在例题、习题总结时，学生在等老师的归纳总结，记老师的板书。而这些与新课改提出的“高中数学课程是培养公民素质的基础课程，对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。”背道而驰。所以，我们在教学过程中，绝不能就题论题，生搬硬套。而应该恰当运用，不断挖掘教材中例题习题的多种功能，深化相关教学，发挥其内在潜能，培养学生的高素质和强能力。
3.有效利用课堂例题教学的具体方法
在高中数学教学中，对教材例题习题由表及里深入挖掘，能培养学生思维的深刻性；探索其非常规解法，能培养学生思维的批判性；精选其变式，能培养学生思维的广阔性；引导学生对其探究和猜想，能培养学生思维的创造性。
3.1 挖掘教材中例题的“黄金含量”
要培养中学生数学解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习和培养外，更重要的是解题实践：分析解题思路、探求解题途径、发现解题规律、掌握解题方法。而在教学中，解题实践无处不在，并不需要教师另觅它题。在每一节数学课堂上，讲解例题、练习题和习题是必备环节。深入挖掘出教材中例题、习题的“黄金含量”，有利于学生解题能力的提高。
无论是教材，还是教学，例题、习题都是其一个重要组成部分，遍布于中学数学教学的整个过程中，其内容不仅包括引进概念，形成命题，归纳公式，运用法则等知识的产生，也涵盖了所有的数学题型。从教学的角度，我们可以把这些教材中出现的问题分为导入教学而设置的例题，典型示范而设置的例题，巩固双基和加强训练而设置的练习题、习题。不同形式的教学内容应当匹配适当的问题，进行精心地安排，合理组织训练；由简到繁，由易到难，有条理地组成一个突出重点，分散难点的整体系统。同时，还要注意将这些题进行归类和深层次的挖掘。
在教学中，不同的数学知识涉及相应题型，所以需要的数学思想方法也有所不同。应该充分挖掘教材中的例题、习题，引导学生分析解决问题的突破口，全方位的思考例题、习题所涉及的知识点和数学思想方法。然后进行合理的教学设计，在整个教学过程中都要有目的有意识的进行数学思想方法教学。
3.2 例题、习题一题多变，举一反三
在数学教学中，我们反对“题海战术”。如何就有限的教学资源，充分加以利用，并时常保持数学独特的魅力，就必须在例题、习题的使用质量上下工夫。一题多变是实现这一目标的重要途径之一。有时一道题稍微改变部分条件或结论，得到的新问题可能会有不同的解法，这更能帮助学生深刻理解知识点和解题的奥妙。
在数学问题解决中，思维定势是很多学生容易掉进去的陷阱。多作变式训练是一个有效措施。不断变换问题的条件、结论，或变换其形式和内容，得出不同水平的问题，在这些问题的发展和深化中，使学生能从不同角度、不同侧面来理解问题的实质。通过解决这些问题，可以使学生灵活应用所学知识逐渐减弱思维定势的不良影响，从而达到培养思维的灵活性的目的。下面以北师大版必修五P83页的一道练习题的教学尝试进行一题多解的展示： 例.m为何值时，方程mx2-（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数解？
解决这道题的思路比较简单，因为方程有两个不相等的实数解，则方程一定是一元二次方程，且Δ>0。因此，解不等式组
m≠0Δ=（2m+1）2-4m2>0 即可。
如果解完这道题，到此为止，就实在太遗憾了。实际上，如果稍微改变一点条件，它就可以帮助我们把一元二次方程、二次函数、一元二次不等式诸多容易混淆的细节问题研究清楚。
变式1、m为何值时，方程mx2-（2m+1）x+m=0有实数解？
因为二次项系数和一次项系数均含有字母，所以需考虑方程是一元二次方程还是一元一次方程，因此涉及分类讨论的数学思想方法。
变式2、m为何值时，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？
变式3、m为何值时，不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？
变式2、变式3中，条件改为不等式恒成立问题，是不等式问题中的重难点，不仅涉及分类讨论思想，还涉及函数与方程、数形结合等思想方法。
通过将这道练习题进行变式训练，不仅解决了问题，更重要的是重温了高中阶段的一个重难点：方程、不等式以及函数之间的关系。还涉及分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等主要的数学思想方法。
由于篇幅有限，这里只涉及解题思路和解题思想方法，过程略。
探究例题，用变题开拓思维：教材提供的仅仅是一种方向，一条线索，教师在面对教材时，完全可以根据实际需要对其进行增添、删减、调整、变换、延伸等“艺术”加工，多进行一题多变，举一反三，将教材由薄读厚，从而达到真正意义上的利用教材，学生的解题能力也随之而提高。
3.3 例题、习题一题多解，多解归一
对于“一题多解”，顾名即可思义。高中数学教学中“一题多解”是阶段性学习中培养学生发散思维的有效、常用的方法，而善于挖掘教材中的“一题多解”，能更好的发挥教材的“导航性”。有时候一道题有很多种解法，且这些解法在思路上拉开的距离较大，应用的知识改换较多，能加深对题目的本质的理解、加深对每个解法本质的理解、加深对所用的概念、定理公式及相互联系的理解，涉及不同的知识和思想方法，但这些解法往往又能融会贯通。
比如说北师大版高中数学必修五中，推导“正弦定理”是重点，也是难点。教材拿特殊三角形“直角三角形”设疑，用了向量法和外接圆法来证明正弦定理，但在教学中，发现学生自己能想到用三角形的高进行证明，当然，利用三角形的面积公式SΔABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA能更简单的证明。虽然这四种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度去证明正弦定理，但是仔细观察会发现有一条纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说每一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的，这条纽带就是：直角三角形思想。
从深究教材例题的一题多解，去尽情领略命题人的韬略盒用心，去发现、找寻章节的重难点，检验教学的效果和学生掌握的程度。去体会编者的用心良苦，也因此而获益匪浅。
3.4 小结提升学生的反思总结能力
一个教学活动结束，一道题做出来，应该再回过头考虑一番，从中得到一点启发，一点体会才是。怎样的回首，才能起到作用呢？
第1步，看看这个数学例题习题是怎样想出来的？解决问题的关键点在哪儿？所涉及的知识点和思想方法有哪些？
第2步，是不是还有另外的方法，并一一完成。
第3步，比较不同的解法，挖掘它们的共同本质。
第4步，能否作变式训练，又该怎样解决问题。
第5步，总结变式训练涉及的知识点和思想方法以及它们之间的区别和联系。
而且，每一节教学环节完整的数学课都有课堂小结，这是一个极好的提高学生总结能力和反思能力的机会，作为老师应该将这样的机会交给学生，帮助学生养成做完题之后总结和反思的习惯。
高中数学教学要立足课本，面向全体学生，重点问题重点讲，解决问题反复练，因材施教提高学生学习效率和自信心。兼顾学法指导，重点是消化解决曾经错的题目，争取不犯重复性错误。高中数学学习是学生人生的一次磨炼，也是教师教学成果的基础体现，只要我们从实际出发制定适当目标，长计划，短安排，学生会增强自己战胜困难的信心，提高数学解题能力，实现教师与学生的“共赢”。
（作者单位：商洛市山阳县中村中学）
参考文献：
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.
[2]G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.
[3]孙维刚. 孙维刚高中数学[M].北京：北京大学出版社，2005.
[4]严士健，王尚志等主编.普通高中课程标准实验教科书数学必修五[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[5]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.
[6]浅谈教学中培养中学生数学解题能力的方法[J].http：//www.doc88.com/p-270407543460.html.
[7]轩慧.如何利用课堂教学提升高中生数学解题能力[J].2013.
关键词：高中生；例题习题教学；数学解题能力
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：2095-9214（2015）02-0060-02
“问题是数学的心脏，问题解决是数学教育的核心。”自波利亚强调“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练。”之后，我国更加注重数学解题研究，但解题也一度把我国数以万计的中学生推入题海的漩涡。新课改更是要求学生学会用数学的思考方式解决问题，认识世界。但就目前高中生的学习情况而言，在数学中提出问题、分析和解决问题还很难，甚至有些学生畏惧数学问题，更不要说通过学习数学，具备一定的理性思维。这主要还是因为教师没有有效利用课堂，使数学失去了魅力和吸引力。下面笔者就如何有效利用数学课堂例题、习题教学来提高数学课堂魅力，提升学生的解题能力，谈一些做法，以期抛砖引玉。
1.中学数学解题能力概述
中学数学解题能力，表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏锐洞察力与整体把握。其主要成分是3种基本的数学能力（运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力），其核心是能否掌握正确的思维方法，包括逻辑思维与非逻辑思维。
1.1中学数学解题的思想方法
在高中阶段，涉及数学解题的思想主要是：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想以及数学建模思想等。而解题方法就因题而论了，比如说，证明题常用的分析法、综合法、归纳法、反证法等，转化常用的换元法、消元法、待定系数法等。
1.2 影响数学解题的主要因素
学生在高中阶段已经涉及了数学解题需要的基本因素，主要有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素。
1.3提升中学数学解题能力的意义
中学数学解题对于发展中学生的能力具有极其重要的意义。有效而成功的问题解决，有助于增强学生的数学思维能力、培养学生的创新能力。在人类知识急增的科技时代，不仅要培养学生具有现代科学的系统基础知识和基本技能，还要教会学生独立思考、创造性地解决问题。
而且，在数学教学中，培养中学生数学解题能力，才能增强学生的问题解决能力，提高学生的思维水平，促使学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
2.利用课堂例题、习题教学提升学生解题能力的必要性
叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用”。教材是教学的重要资源，课本中的每一个例题、习题都是经过专家精心构思，反复斟酌的，具有很强的针对性，有很高的教育价值。但在课堂讲授例题习题时，当老师提出一个相关的探索问题时，很多学生不是积极思考，走在老师前面，而是低着头，害怕老师提问的模样，几乎都是在等老师的分析或是所谓的“启发”；在例题、习题总结时，学生在等老师的归纳总结，记老师的板书。而这些与新课改提出的“高中数学课程是培养公民素质的基础课程，对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。”背道而驰。所以，我们在教学过程中，绝不能就题论题，生搬硬套。而应该恰当运用，不断挖掘教材中例题习题的多种功能，深化相关教学，发挥其内在潜能，培养学生的高素质和强能力。
3.有效利用课堂例题教学的具体方法
在高中数学教学中，对教材例题习题由表及里深入挖掘，能培养学生思维的深刻性；探索其非常规解法，能培养学生思维的批判性；精选其变式，能培养学生思维的广阔性；引导学生对其探究和猜想，能培养学生思维的创造性。
3.1 挖掘教材中例题的“黄金含量”
要培养中学生数学解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习和培养外，更重要的是解题实践：分析解题思路、探求解题途径、发现解题规律、掌握解题方法。而在教学中，解题实践无处不在，并不需要教师另觅它题。在每一节数学课堂上，讲解例题、练习题和习题是必备环节。深入挖掘出教材中例题、习题的“黄金含量”，有利于学生解题能力的提高。
无论是教材，还是教学，例题、习题都是其一个重要组成部分，遍布于中学数学教学的整个过程中，其内容不仅包括引进概念，形成命题，归纳公式，运用法则等知识的产生，也涵盖了所有的数学题型。从教学的角度，我们可以把这些教材中出现的问题分为导入教学而设置的例题，典型示范而设置的例题，巩固双基和加强训练而设置的练习题、习题。不同形式的教学内容应当匹配适当的问题，进行精心地安排，合理组织训练；由简到繁，由易到难，有条理地组成一个突出重点，分散难点的整体系统。同时，还要注意将这些题进行归类和深层次的挖掘。
在教学中，不同的数学知识涉及相应题型，所以需要的数学思想方法也有所不同。应该充分挖掘教材中的例题、习题，引导学生分析解决问题的突破口，全方位的思考例题、习题所涉及的知识点和数学思想方法。然后进行合理的教学设计，在整个教学过程中都要有目的有意识的进行数学思想方法教学。
3.2 例题、习题一题多变，举一反三
在数学教学中，我们反对“题海战术”。如何就有限的教学资源，充分加以利用，并时常保持数学独特的魅力，就必须在例题、习题的使用质量上下工夫。一题多变是实现这一目标的重要途径之一。有时一道题稍微改变部分条件或结论，得到的新问题可能会有不同的解法，这更能帮助学生深刻理解知识点和解题的奥妙。
在数学问题解决中，思维定势是很多学生容易掉进去的陷阱。多作变式训练是一个有效措施。不断变换问题的条件、结论，或变换其形式和内容，得出不同水平的问题，在这些问题的发展和深化中，使学生能从不同角度、不同侧面来理解问题的实质。通过解决这些问题，可以使学生灵活应用所学知识逐渐减弱思维定势的不良影响，从而达到培养思维的灵活性的目的。下面以北师大版必修五P83页的一道练习题的教学尝试进行一题多解的展示： 例.m为何值时，方程mx2-（2m+1）x+m=0有两个不相等的实数解？
解决这道题的思路比较简单，因为方程有两个不相等的实数解，则方程一定是一元二次方程，且Δ>0。因此，解不等式组
m≠0Δ=（2m+1）2-4m2>0 即可。
如果解完这道题，到此为止，就实在太遗憾了。实际上，如果稍微改变一点条件，它就可以帮助我们把一元二次方程、二次函数、一元二次不等式诸多容易混淆的细节问题研究清楚。
变式1、m为何值时，方程mx2-（2m+1）x+m=0有实数解？
因为二次项系数和一次项系数均含有字母，所以需考虑方程是一元二次方程还是一元一次方程，因此涉及分类讨论的数学思想方法。
变式2、m为何值时，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？
变式3、m为何值时，不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？
变式2、变式3中，条件改为不等式恒成立问题，是不等式问题中的重难点，不仅涉及分类讨论思想，还涉及函数与方程、数形结合等思想方法。
通过将这道练习题进行变式训练，不仅解决了问题，更重要的是重温了高中阶段的一个重难点：方程、不等式以及函数之间的关系。还涉及分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等主要的数学思想方法。
由于篇幅有限，这里只涉及解题思路和解题思想方法，过程略。
探究例题，用变题开拓思维：教材提供的仅仅是一种方向，一条线索，教师在面对教材时，完全可以根据实际需要对其进行增添、删减、调整、变换、延伸等“艺术”加工，多进行一题多变，举一反三，将教材由薄读厚，从而达到真正意义上的利用教材，学生的解题能力也随之而提高。
3.3 例题、习题一题多解，多解归一
对于“一题多解”，顾名即可思义。高中数学教学中“一题多解”是阶段性学习中培养学生发散思维的有效、常用的方法，而善于挖掘教材中的“一题多解”，能更好的发挥教材的“导航性”。有时候一道题有很多种解法，且这些解法在思路上拉开的距离较大，应用的知识改换较多，能加深对题目的本质的理解、加深对每个解法本质的理解、加深对所用的概念、定理公式及相互联系的理解，涉及不同的知识和思想方法，但这些解法往往又能融会贯通。
比如说北师大版高中数学必修五中，推导“正弦定理”是重点，也是难点。教材拿特殊三角形“直角三角形”设疑，用了向量法和外接圆法来证明正弦定理，但在教学中，发现学生自己能想到用三角形的高进行证明，当然，利用三角形的面积公式SΔABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA能更简单的证明。虽然这四种证明方法都用不同的数学知识从不同的角度去证明正弦定理，但是仔细观察会发现有一条纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说每一种证明方法离开这条纽带都是没办法成立的，这条纽带就是：直角三角形思想。
从深究教材例题的一题多解，去尽情领略命题人的韬略盒用心，去发现、找寻章节的重难点，检验教学的效果和学生掌握的程度。去体会编者的用心良苦，也因此而获益匪浅。
3.4 小结提升学生的反思总结能力
一个教学活动结束，一道题做出来，应该再回过头考虑一番，从中得到一点启发，一点体会才是。怎样的回首，才能起到作用呢？
第1步，看看这个数学例题习题是怎样想出来的？解决问题的关键点在哪儿？所涉及的知识点和思想方法有哪些？
第2步，是不是还有另外的方法，并一一完成。
第3步，比较不同的解法，挖掘它们的共同本质。
第4步，能否作变式训练，又该怎样解决问题。
第5步，总结变式训练涉及的知识点和思想方法以及它们之间的区别和联系。
而且，每一节教学环节完整的数学课都有课堂小结，这是一个极好的提高学生总结能力和反思能力的机会，作为老师应该将这样的机会交给学生，帮助学生养成做完题之后总结和反思的习惯。
高中数学教学要立足课本，面向全体学生，重点问题重点讲，解决问题反复练，因材施教提高学生学习效率和自信心。兼顾学法指导，重点是消化解决曾经错的题目，争取不犯重复性错误。高中数学学习是学生人生的一次磨炼，也是教师教学成果的基础体现，只要我们从实际出发制定适当目标，长计划，短安排，学生会增强自己战胜困难的信心，提高数学解题能力，实现教师与学生的“共赢”。
（作者单位：商洛市山阳县中村中学）
参考文献：
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.
[2]G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.
[3]孙维刚. 孙维刚高中数学[M].北京：北京大学出版社，2005.
[4]严士健，王尚志等主编.普通高中课程标准实验教科书数学必修五[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[5]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.
[6]浅谈教学中培养中学生数学解题能力的方法[J].http：//www.doc88.com/p-270407543460.html.
[7]轩慧.如何利用课堂教学提升高中生数学解题能力[J].2013.