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摘要：精准预设让习题课教学具有清晰的方向性，精彩生成让习题课激起思维的火花。在充分认识教学内容和教学价值的基础上、在充分了解学生学习能力和思维水平的前提下，对学生出现的不同解法甚至错误解法进行准确的预判，形成预设性学习任务；在课堂教学中及时发现学生的解题障碍或思维误区，产生生成性学习任务。在二者结合的基础上，回归最初定义，探寻错误根源。基于预设和生成融合的平面向量数量积习题教学，选择思维空间较大的例题，在讨论不同解法和学生错解的基础上，找到问题的根源，拓展新的思维空间，从而较好地突破了平面向量数量积运算难点。
关键词：平面向量数量积；习题讲评课；预设与生成；高中数学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）19-0049
一、问题的提出
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有深刻的几何背景和丰富的数学内涵。平面向量数量积（以下简称数量积）的概念从物理中的“功”抽象而来，依据定义式可以推导出向量的模长、夹角以及坐标表示等公式。类比推广到空间向量后，先将几何问题坐标化数量化，再进行代数运算，最后又将运算结果转化成几何关系，从而数量积成为研究空间基本图形的位置、度量关系的有效工具。经过这一学习过程，学生体会和掌握了数形结合、转化化归的数学思想方法，发展了数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等学科核心素养。
数量積的教学研究多见于新授课教学设计和解题策略。如李沛、丁益祥设计了“路径探究、背景分析、定义抽象、向量投影、性质研习”[1]五个环节来突破教学难点。曹磊利用平面向量基本定理，将向量的数量积转化为基底向量的数量积，将数量积运算自然引导到坐标表示[2]。魏安龙将数量积运算进行了题型归纳，侧重定义法、坐标法、基底法[3]。孙金霞、石海峰以2014年江苏高考题第12题为例，探究了数量积运算方法与选择策略[4]。对于数量积运算方法优劣比较与选择，学生做题误区与错因分析等研究相对缺乏。
二、预设与生成融合的基本内涵
预设是教师在课前对课堂教学活动的规划和设计，生成是在教学中因学情变化产生预料之外的有价值的观点或问题。缺少生成的预设，课堂缺乏灵气，压制了学习的主动性与积极性；缺少预设的生成，往往又缺少课堂焦点，导致教学效率下降。从而预设与生成融合在习题教学中显得尤为重要。
1.基于生成的预设
基于生成的预设是以生成为目的的预设，是课堂教学生成的准备。精准预设离不开对教学内容和学情准确而深刻地把握，以及对课堂教学过程充分地预计。
2.对教学内容的精准把握和学情的充分了解是精准预设的基本保证。数量积运算内容丰富运用广泛，是高考命题热点也是课堂教学重点。数量积运算常规方法有三种：定义法、坐标法、基底法。笔者所在学校的学生对定义法和坐标法掌握相对较好，但当已知条件特征不明显时，在方法的选择上就会出现困难，能够灵活运用基底法的学生就更少。主要原因是学生对平面向量基本定理理解不到位，缺乏基底意识。
（1）对教学环节的规划是精准预设的主要任务。为了突破数量积运算教学重难点，笔者在习题课中设计了这样一道例题。
题中a，b是以坐标的形式给出的，x，y是a，b的线性表示，学生在做题时会选择坐标法，但由于计算烦琐，学生可能会产生畏难情绪或计算错误。基于教学目标和学情，预设本节课的教学流程为：知识回顾—自主练习—展示交流—解难答疑—归纳总结—巩固练习。
（2）基于预设的生成
基于预设的生成是有取舍的生成，是聚焦于教学目标的生成性问题的解决。精彩的生成离不开有思维空间的问题和思维活动的充分展开。
①有思维空间的问题是精彩生成的基础。思维空间意味着习题课选题不仅在知识上紧扣主要内容，而且在解题方法上不是唯一的，在不同解法中发现思维的差异，从而形成思维碰撞。本课所选例题（见上）从知识层面上看，是一道向量垂直与数量积运算的综合应用题。从解题方法上可以选择坐标法，也可以根据垂直关系列式，运用运算律和数量积的坐标运算公式来解决。第一种解法容易想到但计算烦琐，第二种方法需要学生有敏感的数学解题能力。设计此题意在训练学生进行数量积运算，以及分析运算策略寻求最优解法。
②充分的思维展开是精彩生成的主要过程。思维展开就是给予学生充分的解答时间，并调控思维展开的过程。将此题呈现给学生自主完成，根据教学经验，学生会出现以下几种情况。无从下笔；计算受阻而畏难；计算烦琐致出错；快速准确。教师再挑选这四种代表性的作业进行展示，并请学生讲述解题思维过程及困惑。通过交流展示，学生知道此题有两种解法，同时会产生质疑：哪种解法好？下次做题时自己会运用哪种？此时，教师引导学生在做题前应预估两种解法的可行性、繁简程度，最终得出解决数学问题要步骤化，不能盲目下笔。接着再安排巩固练习就能很好地实现教学目标。
三、预设与生成融合的习题课教学实施
基于预设与生成融合的习题课教学，教学环节清晰，教学过程充分重视学生思维活动的展开，预设和生成的学习活动相得益彰。基本教学过程为：知识回顾—自主练习—展示交流—释疑解惑—质疑探疑。
1.知识回顾，快速回顾数量积运算的三种常规方法，做好知识上的铺垫。
2.自主练习，呈现例题后，让学生独立完成。在巡视的过程中，了解学生做题时的思维活动，把握主要思维障碍或误区，收集讲题素材。
3.展示交流，充分了解学生做题情况后，挑选了4份预估的代表性答案进行投影，并请4位学生谈了做题时的困惑和收获。紧接着展示了预先准备好的两种解法，并请学生思考交流：两种解法哪种较好？理由是什么？
4.释疑解惑，经过一番讨论后，生5：“解法一容易想到，但是坐标太难算了。”生6：“若是不计算坐标，根据垂直列式用运算律展开，因a，b的数量积为0，运算量大大简化了。”笔者听完两位学生的发言马上总结：“在解决问题时要养成良好的运算习惯：理解题意、找准运算对象—思考运算思路，预估运算繁简—选择运算方法，求得运算结果。”
5.质疑探疑，按照预设完成了例题的教学，正准备开展巩固练习时，课堂上冒出了意外的声音，生7有别的解法，解答如下：
出乎意料，生7利用平面向量基本定理，确定基底写出坐标，再转化为数量积的坐标运算。这个方法确实妙，但为何答案不正确呢？这是一个好的生成问题，临时提出两个问题，引导学生探究错误根源：
问题（1）平面向量数量积的坐标表示是什么？
问题（2）平面向量数量积的坐标表示是如何推导出来的？
问题（1）学生都能准确地背出来，却说不出问题（2）的所以然来。这时，笔者要求学生回归教材，引导学生重新进行知识梳理，平面内任意向量都可以由同一平面内两个不共线的基底向量线性表示，在此基础上选定坐标轴上的单位向量i，j进行正交分解，即a= xi+ yj，再利用运算律进行运算从而得出了数量积的坐标表示a？b= x1x2+ y1y2。在这个过程中，学生再次从整体上认识了知识的关联性。再衍生出第三个问题：
问题（3）数量积的坐标表示对基底有要求吗？此题中a，b为基底是否可行？
學生还意犹未尽，纷纷提问。a，b的坐标是以坐标轴上的单位向量i，j为基底得到的，x，y的坐标是以c，b为基底得到的，它们的基底不同，会影响答案吗？笔者要求学生再次回到数量积坐标表示的推导过程中，发现答案确实是不受影响的。若a，b为基底，但它们不是单位向量又不垂直怎么办？笔者认为推导非垂直情况下数量积的坐标表示意义不大，但还是肯定了学生的积极思考。
6.归纳总结，归纳总结是思路的提炼，方法的提升。结课环节要求学生来总结收获。生8：“这道题将数量积运算的三种方法都运用上来了，没有刷题但是确实掌握了三种方法。”笔者也及时肯定：学生经过思考得到了一题三解，迎难而上的学习劲头值得表扬。
四、效果与反思
1.教学效果
本课例中，学生不仅出现了可预见的错误类型，还因学生的错解生成了具有探究价值的问题。笔者抓准教育时机引领学生探究错误根源，在这一过程中，较好地建构了知识网络，将平面向量基本定理、正交分解、向量的坐标表示、数量积的坐标表示等知识串联起来，对知识的理解更加透彻，也获得了难能可贵的“基底意识”，是预设和生成的完美融合，课堂教学效果好。
2.教学反思
学生出现错解源于新课教学不到位，在推导数量积坐标表示时轻描淡写，导致学生只是记住了坐标表示的结论，而推导的理论依据和过程却没有受到重视。其次，在展示典型答案和学生分析后，应该给出充足时间让学生再次训练，而不是教师展示正确答案。此外，由于生成问题的出现，预设的巩固练习未能预期进行，时间所限只能进行取舍。
通过这节课，笔者也意识到要上出有质量、有深度的数学课必须加强自我学习。对每一个数学知识，要思考它从哪里来，有什么作用？从整体和局部两个方面来进行教学思考，认清知识的本质和内涵，领悟蕴含的数学思想方法和数学核心素养。课堂教学千变万化，预设和生成度的把握实际操作难度大，在以后的教学中还要不断修炼。面对课堂出现的“不速之客”，要判断是“奇思妙想”还是“胡思乱想”？是“巧妙利用”还是“拨乱反正”？
参考文献：
[1]李沛，丁益祥.“平面向量的数量积”教学设计、反思与点评[J].中学数学教学参考，2020（7）：15-21.
[2]曹磊.体验操作感悟过程自然建构——以“平面向量数量积的坐标表示”教学为例[J].高中数学教与学，2019（2）：32-34.
[3]魏安龙.“平面向量的数量积”（第2课时）教学设计[J].中学数学教学参考，2017（33）：22-24.
[4]孙金霞，石海峰.谈平面向量的数量积的运算方法与选择——以2014年江苏高考第12题为例[J].数学学习与研究，2014（23）：105+107.
（作者单位：广东省广州市番禺区石碁中学511450）
关键词：平面向量数量积；习题讲评课；预设与生成；高中数学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）19-0049
一、问题的提出
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有深刻的几何背景和丰富的数学内涵。平面向量数量积（以下简称数量积）的概念从物理中的“功”抽象而来，依据定义式可以推导出向量的模长、夹角以及坐标表示等公式。类比推广到空间向量后，先将几何问题坐标化数量化，再进行代数运算，最后又将运算结果转化成几何关系，从而数量积成为研究空间基本图形的位置、度量关系的有效工具。经过这一学习过程，学生体会和掌握了数形结合、转化化归的数学思想方法，发展了数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等学科核心素养。
数量積的教学研究多见于新授课教学设计和解题策略。如李沛、丁益祥设计了“路径探究、背景分析、定义抽象、向量投影、性质研习”[1]五个环节来突破教学难点。曹磊利用平面向量基本定理，将向量的数量积转化为基底向量的数量积，将数量积运算自然引导到坐标表示[2]。魏安龙将数量积运算进行了题型归纳，侧重定义法、坐标法、基底法[3]。孙金霞、石海峰以2014年江苏高考题第12题为例，探究了数量积运算方法与选择策略[4]。对于数量积运算方法优劣比较与选择，学生做题误区与错因分析等研究相对缺乏。
二、预设与生成融合的基本内涵
预设是教师在课前对课堂教学活动的规划和设计，生成是在教学中因学情变化产生预料之外的有价值的观点或问题。缺少生成的预设，课堂缺乏灵气，压制了学习的主动性与积极性；缺少预设的生成，往往又缺少课堂焦点，导致教学效率下降。从而预设与生成融合在习题教学中显得尤为重要。
1.基于生成的预设
基于生成的预设是以生成为目的的预设，是课堂教学生成的准备。精准预设离不开对教学内容和学情准确而深刻地把握，以及对课堂教学过程充分地预计。
2.对教学内容的精准把握和学情的充分了解是精准预设的基本保证。数量积运算内容丰富运用广泛，是高考命题热点也是课堂教学重点。数量积运算常规方法有三种：定义法、坐标法、基底法。笔者所在学校的学生对定义法和坐标法掌握相对较好，但当已知条件特征不明显时，在方法的选择上就会出现困难，能够灵活运用基底法的学生就更少。主要原因是学生对平面向量基本定理理解不到位，缺乏基底意识。
（1）对教学环节的规划是精准预设的主要任务。为了突破数量积运算教学重难点，笔者在习题课中设计了这样一道例题。
题中a，b是以坐标的形式给出的，x，y是a，b的线性表示，学生在做题时会选择坐标法，但由于计算烦琐，学生可能会产生畏难情绪或计算错误。基于教学目标和学情，预设本节课的教学流程为：知识回顾—自主练习—展示交流—解难答疑—归纳总结—巩固练习。
（2）基于预设的生成
基于预设的生成是有取舍的生成，是聚焦于教学目标的生成性问题的解决。精彩的生成离不开有思维空间的问题和思维活动的充分展开。
①有思维空间的问题是精彩生成的基础。思维空间意味着习题课选题不仅在知识上紧扣主要内容，而且在解题方法上不是唯一的，在不同解法中发现思维的差异，从而形成思维碰撞。本课所选例题（见上）从知识层面上看，是一道向量垂直与数量积运算的综合应用题。从解题方法上可以选择坐标法，也可以根据垂直关系列式，运用运算律和数量积的坐标运算公式来解决。第一种解法容易想到但计算烦琐，第二种方法需要学生有敏感的数学解题能力。设计此题意在训练学生进行数量积运算，以及分析运算策略寻求最优解法。
②充分的思维展开是精彩生成的主要过程。思维展开就是给予学生充分的解答时间，并调控思维展开的过程。将此题呈现给学生自主完成，根据教学经验，学生会出现以下几种情况。无从下笔；计算受阻而畏难；计算烦琐致出错；快速准确。教师再挑选这四种代表性的作业进行展示，并请学生讲述解题思维过程及困惑。通过交流展示，学生知道此题有两种解法，同时会产生质疑：哪种解法好？下次做题时自己会运用哪种？此时，教师引导学生在做题前应预估两种解法的可行性、繁简程度，最终得出解决数学问题要步骤化，不能盲目下笔。接着再安排巩固练习就能很好地实现教学目标。
三、预设与生成融合的习题课教学实施
基于预设与生成融合的习题课教学，教学环节清晰，教学过程充分重视学生思维活动的展开，预设和生成的学习活动相得益彰。基本教学过程为：知识回顾—自主练习—展示交流—释疑解惑—质疑探疑。
1.知识回顾，快速回顾数量积运算的三种常规方法，做好知识上的铺垫。
2.自主练习，呈现例题后，让学生独立完成。在巡视的过程中，了解学生做题时的思维活动，把握主要思维障碍或误区，收集讲题素材。
3.展示交流，充分了解学生做题情况后，挑选了4份预估的代表性答案进行投影，并请4位学生谈了做题时的困惑和收获。紧接着展示了预先准备好的两种解法，并请学生思考交流：两种解法哪种较好？理由是什么？
4.释疑解惑，经过一番讨论后，生5：“解法一容易想到，但是坐标太难算了。”生6：“若是不计算坐标，根据垂直列式用运算律展开，因a，b的数量积为0，运算量大大简化了。”笔者听完两位学生的发言马上总结：“在解决问题时要养成良好的运算习惯：理解题意、找准运算对象—思考运算思路，预估运算繁简—选择运算方法，求得运算结果。”
5.质疑探疑，按照预设完成了例题的教学，正准备开展巩固练习时，课堂上冒出了意外的声音，生7有别的解法，解答如下：
出乎意料，生7利用平面向量基本定理，确定基底写出坐标，再转化为数量积的坐标运算。这个方法确实妙，但为何答案不正确呢？这是一个好的生成问题，临时提出两个问题，引导学生探究错误根源：
问题（1）平面向量数量积的坐标表示是什么？
问题（2）平面向量数量积的坐标表示是如何推导出来的？
问题（1）学生都能准确地背出来，却说不出问题（2）的所以然来。这时，笔者要求学生回归教材，引导学生重新进行知识梳理，平面内任意向量都可以由同一平面内两个不共线的基底向量线性表示，在此基础上选定坐标轴上的单位向量i，j进行正交分解，即a= xi+ yj，再利用运算律进行运算从而得出了数量积的坐标表示a？b= x1x2+ y1y2。在这个过程中，学生再次从整体上认识了知识的关联性。再衍生出第三个问题：
问题（3）数量积的坐标表示对基底有要求吗？此题中a，b为基底是否可行？
學生还意犹未尽，纷纷提问。a，b的坐标是以坐标轴上的单位向量i，j为基底得到的，x，y的坐标是以c，b为基底得到的，它们的基底不同，会影响答案吗？笔者要求学生再次回到数量积坐标表示的推导过程中，发现答案确实是不受影响的。若a，b为基底，但它们不是单位向量又不垂直怎么办？笔者认为推导非垂直情况下数量积的坐标表示意义不大，但还是肯定了学生的积极思考。
6.归纳总结，归纳总结是思路的提炼，方法的提升。结课环节要求学生来总结收获。生8：“这道题将数量积运算的三种方法都运用上来了，没有刷题但是确实掌握了三种方法。”笔者也及时肯定：学生经过思考得到了一题三解，迎难而上的学习劲头值得表扬。
四、效果与反思
1.教学效果
本课例中，学生不仅出现了可预见的错误类型，还因学生的错解生成了具有探究价值的问题。笔者抓准教育时机引领学生探究错误根源，在这一过程中，较好地建构了知识网络，将平面向量基本定理、正交分解、向量的坐标表示、数量积的坐标表示等知识串联起来，对知识的理解更加透彻，也获得了难能可贵的“基底意识”，是预设和生成的完美融合，课堂教学效果好。
2.教学反思
学生出现错解源于新课教学不到位，在推导数量积坐标表示时轻描淡写，导致学生只是记住了坐标表示的结论，而推导的理论依据和过程却没有受到重视。其次，在展示典型答案和学生分析后，应该给出充足时间让学生再次训练，而不是教师展示正确答案。此外，由于生成问题的出现，预设的巩固练习未能预期进行，时间所限只能进行取舍。
通过这节课，笔者也意识到要上出有质量、有深度的数学课必须加强自我学习。对每一个数学知识，要思考它从哪里来，有什么作用？从整体和局部两个方面来进行教学思考，认清知识的本质和内涵，领悟蕴含的数学思想方法和数学核心素养。课堂教学千变万化，预设和生成度的把握实际操作难度大，在以后的教学中还要不断修炼。面对课堂出现的“不速之客”，要判断是“奇思妙想”还是“胡思乱想”？是“巧妙利用”还是“拨乱反正”？
参考文献：
[1]李沛，丁益祥.“平面向量的数量积”教学设计、反思与点评[J].中学数学教学参考，2020（7）：15-21.
[2]曹磊.体验操作感悟过程自然建构——以“平面向量数量积的坐标表示”教学为例[J].高中数学教与学，2019（2）：32-34.
[3]魏安龙.“平面向量的数量积”（第2课时）教学设计[J].中学数学教学参考，2017（33）：22-24.
[4]孙金霞，石海峰.谈平面向量的数量积的运算方法与选择——以2014年江苏高考第12题为例[J].数学学习与研究，2014（23）：105+107.
（作者单位：广东省广州市番禺区石碁中学511450）