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【摘 要】本文借助图形计算器技术，以對勾函数单调性的教学为例，通过让学生经历对勾函数性质的发现过程，体验操作、观察、归纳、发现和证明的学习过程，从而感知图形计算器技术在数学操作、观察、归纳、发现和证明中的重要作用，并进一步提出一般数学教育技术对数学认知活动的三大功能：提供验证、启示发现和促进理解。
【关键词】图形计算器 对勾函数 操作 观察 归纳 发现 证明
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09B-0081-03
现代信息技术已经对全世界政治、经济和文化产生了重大而深远的影响。被喻为“移动数学实验室”的图形计算器作为一种现代数学教育技术工具，对数学教育产生积极的影响。图形计算器是一种具有函数（解析式、参数）作图、动态图形、方程求解、数据处理、简单编程和 CAS 功能的计算器。它不仅能够进行数值运算和简单的符号运算，而且还可以直观地绘制各种方程曲线、函数图象，可以进行轨迹跟踪、动态演示，具有一定的交互性，是一种现代手持技术。本文选取对勾函数单调性的发现和证明的教学过程为例，阐述图形计算器在学生数学操作、观察、归纳、发现和证明中的作用。
一、对勾函数简介
（一）对勾函数的概念
函数 的图象是对称的“双勾”，因此一般形如 的函数称为对勾函数。对勾函数作为一种特殊的函数模式有许多特殊的性质，它的图象优美。学习对勾函数可以帮助学生理解函数图象与性质之间的关系，感悟利用函数图象研究函数性质的思想方法。此外，对勾函数的诸多性质有着广泛的应用，在各类测试和高考试题中都有考查。当 ab<0 时，函数 的单调性容易确定，因此，对勾函数单调性的学习的难点在于，当 ab>0 时，函数 的单调性。
（二）本文中探究的对勾函数及其教学目标
函数可变形为其单调性本质上就是函数 的单调性的问题。因此本文探究的是函数 的单调性的教学问题。
研究对勾函数所用的最有效的工具是微积分，但学生最早接触这类函数是在高中一年级第一个学期函数单调性的学习部分，尚不会使用导数来研究对勾函数的性质。但课程标准要求学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，因此基于函数单调性的定义，从对勾函数图象的角度观察、归纳和发现对勾函数单调性的特点，并予以证明，从而使学生更好地理解它。
二、教学过程
（一）对特例的初步操作、观察和归纳
〖教师〗我们来研究形如 的函数（以下简称对勾函数）的单调性。当 a=1 时，我们用图形计算器画出函数 f（x）的图象，仔细观察图象，并借助图形计算器的分析功能进行分析。如图 1 所示：
〖学生〗图象是两个“勾”，从图象看，函数有 4 个单调性区间，分别是增区间、减区间、减区间和增区间。
〖教师〗很好，那你能写出具体的单调区间吗？分析命令中的极值点功能可以帮助你找到单调区间的端点。
〖学生〗（用图形计算器分析功能标出极值点，得到图2），函数在（-∞，-1]递增，在[-1，0）递减，在（0，1]递减，在 [1，+∞）递增。
〖教师〗这个函数有最值吗？如果没有，那么函数在其定义域子区间上有最值吗？
〖学生〗函数整体没有最值。但是，在（-∞，0）内，当 x=-1 时函数有最大值 -2；在（0，+∞）内，当 x=1 时函数有最小值 2。
（二）对特例进一步操作、观察和归纳
〖教师〗你们说得很对。接下来请画出函数 的图象，观察图象特点，思考它与函数 图象的异同。
〖学生〗（作图如图 3）函数 在（-∞，-2]递增，在[-2，0）递减，在（0，2]递减，在[2，+∞）递增。在（-∞，0）内，当 x=-2 时函数有最大值 -4；在（0，+∞）内，当 x=2 时函数有最小值 4。
〖教师〗好，你们操作正确，结果有效。请注意函数和的异同点，再画函数 的图象看看，是否有类似的结论？
（三）对特例的操作、观察、归纳和发现
〖学生〗（作图如图 4）结论相似。函数 在（-∞，-3]递增，在[-3，0）递减，在（0，3]递减，在[3，+∞）递增。在（-∞，0）内，当 x=-3 时函数有最大值 -6；在（0，+∞）内，当 x=3 时有最小值 6。
〖教师〗你们的想法很好，方向正确。我们考查了 a=1，4，9 的情况，对于一般的 a 呢？是否也有这样的性质？（这是遵循从特殊到一般的思想方法）
〖学生〗应该也有。函数 在（-∞，]递增，在[，0）递减，在（0，]递减，在[，+∞）递增。在（∞-，0）内，当 时函数有最大值 ；在（0，+∞）内，当 时函数有最小值 。
〖教师〗很好，要注意，我们讨论的这几个特例都是 a>0 的情况，得到了有规律性的结论，现在，让我们来证明这个结论。
（四）在发现中证明
〖教师〗我们以前是怎样证明函数的单调性的？现在如何证明函数 的单调性？
〖学生〗根据函数单调性的定义，先选定一个单调区间，在选定区间上任取两个数，比较这两个数的函数值，进而可以证明函数在该区间上的单调性。函数 有 4 个单调区间，因此要分区间求证。
〖教师〗很好，请大家证明（学生各自进行证明）。
〖教师〗下面我们请某某同学上黑板展示他的证明过程。
学生（上讲台板书）：
证明：任取两个均不为 0 的数 x1，x2，且 x1 在区间（-∞，]内，
x1-x2<0，x1x2-a>0，x1x2>0
故 f（x1）-f（x2）<0
故函数 在（-∞，]递增。
同理可得，函数 在[，0）递减，在（0，]递减，在[，+∞）递增。
〖教师〗这位同学的证明很精彩，也很简洁。在这个证明下，“在（-∞，0）内，函数有最大值 ；在（0，+∞）内，函数有最小值 ”就是一个可以直接得到的结论。请大家回顾一下本节课的探究过程，自己总结一下有哪些收获。
在以上教学过程中，学生利用图形计算器经历数学操作（图形计算器作图）、观察（观察对勾函数的图象特点）、归纳（归纳特例的图象特点）、发现（归纳由特殊得到一般的结论）和证明（在已有发现的基础上进行演绎）的一系列过程，让学生能够自己动手“做”数学。可见，图形计算器及类似技术具有提供验证、启示发现和促进理解三大功能。提出验证指的是利用技术对某结论的若干特例进行检验；启示发现指的是在技术支持下的操作、观察、归纳和发现；促进理解则是指技术使得数学关系变得形象直观，有助于学生捕捉到关系的本质，有助于学生对结论进行证明和应用。
【参考文献】
[1]蒋培杰，曹 轩.高中数学实验室的发展[J].中国教育技术装备，2016（3）
[2]刘瑞美.也谈对勾函数的性质及应用[J].中学数学研究·华南师范大学版，2014（13）
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2011
（责编 卢建龙）
【关键词】图形计算器 对勾函数 操作 观察 归纳 发现 证明
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09B-0081-03
现代信息技术已经对全世界政治、经济和文化产生了重大而深远的影响。被喻为“移动数学实验室”的图形计算器作为一种现代数学教育技术工具，对数学教育产生积极的影响。图形计算器是一种具有函数（解析式、参数）作图、动态图形、方程求解、数据处理、简单编程和 CAS 功能的计算器。它不仅能够进行数值运算和简单的符号运算，而且还可以直观地绘制各种方程曲线、函数图象，可以进行轨迹跟踪、动态演示，具有一定的交互性，是一种现代手持技术。本文选取对勾函数单调性的发现和证明的教学过程为例，阐述图形计算器在学生数学操作、观察、归纳、发现和证明中的作用。
一、对勾函数简介
（一）对勾函数的概念
函数 的图象是对称的“双勾”，因此一般形如 的函数称为对勾函数。对勾函数作为一种特殊的函数模式有许多特殊的性质，它的图象优美。学习对勾函数可以帮助学生理解函数图象与性质之间的关系，感悟利用函数图象研究函数性质的思想方法。此外，对勾函数的诸多性质有着广泛的应用，在各类测试和高考试题中都有考查。当 ab<0 时，函数 的单调性容易确定，因此，对勾函数单调性的学习的难点在于，当 ab>0 时，函数 的单调性。
（二）本文中探究的对勾函数及其教学目标
函数可变形为其单调性本质上就是函数 的单调性的问题。因此本文探究的是函数 的单调性的教学问题。
研究对勾函数所用的最有效的工具是微积分，但学生最早接触这类函数是在高中一年级第一个学期函数单调性的学习部分，尚不会使用导数来研究对勾函数的性质。但课程标准要求学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，因此基于函数单调性的定义，从对勾函数图象的角度观察、归纳和发现对勾函数单调性的特点，并予以证明，从而使学生更好地理解它。
二、教学过程
（一）对特例的初步操作、观察和归纳
〖教师〗我们来研究形如 的函数（以下简称对勾函数）的单调性。当 a=1 时，我们用图形计算器画出函数 f（x）的图象，仔细观察图象，并借助图形计算器的分析功能进行分析。如图 1 所示：
〖学生〗图象是两个“勾”，从图象看，函数有 4 个单调性区间，分别是增区间、减区间、减区间和增区间。
〖教师〗很好，那你能写出具体的单调区间吗？分析命令中的极值点功能可以帮助你找到单调区间的端点。
〖学生〗（用图形计算器分析功能标出极值点，得到图2），函数在（-∞，-1]递增，在[-1，0）递减，在（0，1]递减，在 [1，+∞）递增。
〖教师〗这个函数有最值吗？如果没有，那么函数在其定义域子区间上有最值吗？
〖学生〗函数整体没有最值。但是，在（-∞，0）内，当 x=-1 时函数有最大值 -2；在（0，+∞）内，当 x=1 时函数有最小值 2。
（二）对特例进一步操作、观察和归纳
〖教师〗你们说得很对。接下来请画出函数 的图象，观察图象特点，思考它与函数 图象的异同。
〖学生〗（作图如图 3）函数 在（-∞，-2]递增，在[-2，0）递减，在（0，2]递减，在[2，+∞）递增。在（-∞，0）内，当 x=-2 时函数有最大值 -4；在（0，+∞）内，当 x=2 时函数有最小值 4。
〖教师〗好，你们操作正确，结果有效。请注意函数和的异同点，再画函数 的图象看看，是否有类似的结论？
（三）对特例的操作、观察、归纳和发现
〖学生〗（作图如图 4）结论相似。函数 在（-∞，-3]递增，在[-3，0）递减，在（0，3]递减，在[3，+∞）递增。在（-∞，0）内，当 x=-3 时函数有最大值 -6；在（0，+∞）内，当 x=3 时有最小值 6。
〖教师〗你们的想法很好，方向正确。我们考查了 a=1，4，9 的情况，对于一般的 a 呢？是否也有这样的性质？（这是遵循从特殊到一般的思想方法）
〖学生〗应该也有。函数 在（-∞，]递增，在[，0）递减，在（0，]递减，在[，+∞）递增。在（∞-，0）内，当 时函数有最大值 ；在（0，+∞）内，当 时函数有最小值 。
〖教师〗很好，要注意，我们讨论的这几个特例都是 a>0 的情况，得到了有规律性的结论，现在，让我们来证明这个结论。
（四）在发现中证明
〖教师〗我们以前是怎样证明函数的单调性的？现在如何证明函数 的单调性？
〖学生〗根据函数单调性的定义，先选定一个单调区间，在选定区间上任取两个数，比较这两个数的函数值，进而可以证明函数在该区间上的单调性。函数 有 4 个单调区间，因此要分区间求证。
〖教师〗很好，请大家证明（学生各自进行证明）。
〖教师〗下面我们请某某同学上黑板展示他的证明过程。
学生（上讲台板书）：
证明：任取两个均不为 0 的数 x1，x2，且 x1
x1-x2<0，x1x2-a>0，x1x2>0
故 f（x1）-f（x2）<0
故函数 在（-∞，]递增。
同理可得，函数 在[，0）递减，在（0，]递减，在[，+∞）递增。
〖教师〗这位同学的证明很精彩，也很简洁。在这个证明下，“在（-∞，0）内，函数有最大值 ；在（0，+∞）内，函数有最小值 ”就是一个可以直接得到的结论。请大家回顾一下本节课的探究过程，自己总结一下有哪些收获。
在以上教学过程中，学生利用图形计算器经历数学操作（图形计算器作图）、观察（观察对勾函数的图象特点）、归纳（归纳特例的图象特点）、发现（归纳由特殊得到一般的结论）和证明（在已有发现的基础上进行演绎）的一系列过程，让学生能够自己动手“做”数学。可见，图形计算器及类似技术具有提供验证、启示发现和促进理解三大功能。提出验证指的是利用技术对某结论的若干特例进行检验；启示发现指的是在技术支持下的操作、观察、归纳和发现；促进理解则是指技术使得数学关系变得形象直观，有助于学生捕捉到关系的本质，有助于学生对结论进行证明和应用。
【参考文献】
[1]蒋培杰，曹 轩.高中数学实验室的发展[J].中国教育技术装备，2016（3）
[2]刘瑞美.也谈对勾函数的性质及应用[J].中学数学研究·华南师范大学版，2014（13）
[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2011
（责编 卢建龙）