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排列、组合问题方法多变，题目具有一定的灵活性.现选部分题型分析如下，希望对大家有所帮助.
1.特殊元素或位置优先法
对于有附加条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素或位置，再考虑其它元素和位置.
例12名老师和3名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种.
解析：
法一：优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有A23种排法.剩下的位置由3名学生全排列，有A33种排法.因此共有A23A33=36种不同的排法.
法二：优先考虑对特殊位置（两端）的排法，因老师不排在两端，考虑从3名获奖学生中选两人排在两端，有A23种排法，其他三人站另三个位置，有A33种排法，因此共有A23A33=36种不同的排法.
例2乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）.
解析：3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有A33种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有A27种排法.因此结果为A33A27=252种.
2.相邻问题“捆绑法”
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“整体元素”，与其余元素进行全排列，就是“捆绑法”.不过要注意被捆绑的“集团”内部还需要进行相应的排列.
例3有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种（结果用数字表示）.
解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有A55种排法，再将3本数学书之间交换有A33种方法，2本外文书之间交换有A22种，故共有A55A33A22=1440种排法.
评述：这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决.如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“整体元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余5人中任取，故共有C15A22A55=1200种排法.
3.不相邻问题“插空法”
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列.
例4某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为.
解析：原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位.将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有A26=30种排法.
评述：本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意.请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、…,10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为C36=20种.你能很快求解吗？
4. 重复排列“人选房间法”
重复排列问题关键是看哪类元素必须用完，谁用完就以谁为主.把为主的元素看作“人”，为辅的元素看作“房间”，则通过“人住房间法”可顺利解题.
例55名同学争夺3项比赛冠军，获得冠军的可能性有种.
解析： 每个人不一定都获得冠军，但每个冠军必有相应的归属，所以冠军这个“元素”必须用完.从而把3项冠军看作3个“人”，5名学生看作5个“房间”，他们都可住进任意一家“房间”，每个人都有5种可能，因此共有53种不同的结果.
评述：类似问题较多.如：将5封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时5封信是“人”，3个邮筒是“房间”，故共有35种结果.要注意这两个问题的区别.
5. 排列组合混合问题“先选后排或边选边排”
问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先组合后排列.
例6从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8中任取两个数字，可以组成多少千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？
解法一：第一步从1，3，5，7，9中任取三个数有C35种，第二步从2，4，6，8中任取两个数有C24种，第三步从三个所选奇数中选两个数放在千位和十位有A23种，第四步剩三个数放在三个位置上有A33种，
所以共有C35·C24·A23·A33=2160个满足条件的五位数.
解法二：第一步从1，3，5，7，9中任取两个数排在千位和十位有A25种，第二步从剩三个奇数中选一个排在剩三位中的一位有C13A13种，再从2，4，6，8中选出两个排在剩两位中有A24种，所以共有A25·C13·A13·A24=2160个满足条件的五位数.
6.较复杂问题 “科学分类法”
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生.
例7某单位邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有种.
解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：
①甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C58=56种；
②乙参加，甲不参加，同①有56种；
③甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C68=28种.
故共有56+56+28=140种.
7. “间接法”
含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题，可用间接法，即排除法(总体去杂).即将总体中不符合条件的排列或组合剔除掉，从而计算出符合条件的排列组合数．
例8从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C411－C46－C45=310.
评述：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的问题．
8. 相同元素的分组用“隔板法”
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
例9从5个班中选10人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
解析：
方法一：因为把10个指标分成5个部分，只须4块隔板，称为第一类元素，10个指标为第二类元素，这样共有14个元素.当这些元素都有区别时共有A1414种排法，但10个指标，4块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况.所以共有A1414A1010A44=1001种不同分法.
方法二：题目相当于将10个名额分配至5个班级，所以只要在10个相同的元素之间插入4块隔板即可.这样的话，在14个空位上选4个位置放隔板或选10个位置放名额，事情都会解决，即有C414=C1014=1001种分法.
评述:类似问题较多.如：方程x+y+z+m+n=10的非负整数解有多少个？你能很快求解吗？(答案依旧是C414=C1014=1001)若再改一下：方程x+y+z+m+n=10的正整数解有多少个？（答案是C49=126）能否注意到两者之间的区别？
以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握.希望大家在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率.
（作者：李建新，江苏省泰兴中学)
1.特殊元素或位置优先法
对于有附加条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素或位置，再考虑其它元素和位置.
例12名老师和3名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种.
解析：
法一：优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有A23种排法.剩下的位置由3名学生全排列，有A33种排法.因此共有A23A33=36种不同的排法.
法二：优先考虑对特殊位置（两端）的排法，因老师不排在两端，考虑从3名获奖学生中选两人排在两端，有A23种排法，其他三人站另三个位置，有A33种排法，因此共有A23A33=36种不同的排法.
例2乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）.
解析：3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有A33种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有A27种排法.因此结果为A33A27=252种.
2.相邻问题“捆绑法”
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“整体元素”，与其余元素进行全排列，就是“捆绑法”.不过要注意被捆绑的“集团”内部还需要进行相应的排列.
例3有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种（结果用数字表示）.
解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有A55种排法，再将3本数学书之间交换有A33种方法，2本外文书之间交换有A22种，故共有A55A33A22=1440种排法.
评述：这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决.如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种不同的排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“整体元素”，但甲乙两人位置可对调，而且中间一人可从其余5人中任取，故共有C15A22A55=1200种排法.
3.不相邻问题“插空法”
对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列.
例4某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为.
解析：原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位.将两个新节目不相邻插入，相当于从6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有A26=30种排法.
评述：本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意.请练习以下这道题：马路上有编号为1、2、3、…,10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结果为C36=20种.你能很快求解吗？
4. 重复排列“人选房间法”
重复排列问题关键是看哪类元素必须用完，谁用完就以谁为主.把为主的元素看作“人”，为辅的元素看作“房间”，则通过“人住房间法”可顺利解题.
例55名同学争夺3项比赛冠军，获得冠军的可能性有种.
解析： 每个人不一定都获得冠军，但每个冠军必有相应的归属，所以冠军这个“元素”必须用完.从而把3项冠军看作3个“人”，5名学生看作5个“房间”，他们都可住进任意一家“房间”，每个人都有5种可能，因此共有53种不同的结果.
评述：类似问题较多.如：将5封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时5封信是“人”，3个邮筒是“房间”，故共有35种结果.要注意这两个问题的区别.
5. 排列组合混合问题“先选后排或边选边排”
问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先组合后排列.
例6从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8中任取两个数字，可以组成多少千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？
解法一：第一步从1，3，5，7，9中任取三个数有C35种，第二步从2，4，6，8中任取两个数有C24种，第三步从三个所选奇数中选两个数放在千位和十位有A23种，第四步剩三个数放在三个位置上有A33种，
所以共有C35·C24·A23·A33=2160个满足条件的五位数.
解法二：第一步从1，3，5，7，9中任取两个数排在千位和十位有A25种，第二步从剩三个奇数中选一个排在剩三位中的一位有C13A13种，再从2，4，6，8中选出两个排在剩两位中有A24种，所以共有A25·C13·A13·A24=2160个满足条件的五位数.
6.较复杂问题 “科学分类法”
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生.
例7某单位邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有种.
解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：
①甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C58=56种；
②乙参加，甲不参加，同①有56种；
③甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C68=28种.
故共有56+56+28=140种.
7. “间接法”
含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题，可用间接法，即排除法(总体去杂).即将总体中不符合条件的排列或组合剔除掉，从而计算出符合条件的排列组合数．
例8从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C411－C46－C45=310.
评述：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的问题．
8. 相同元素的分组用“隔板法”
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
例9从5个班中选10人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
解析：
方法一：因为把10个指标分成5个部分，只须4块隔板，称为第一类元素，10个指标为第二类元素，这样共有14个元素.当这些元素都有区别时共有A1414种排法，但10个指标，4块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况.所以共有A1414A1010A44=1001种不同分法.
方法二：题目相当于将10个名额分配至5个班级，所以只要在10个相同的元素之间插入4块隔板即可.这样的话，在14个空位上选4个位置放隔板或选10个位置放名额，事情都会解决，即有C414=C1014=1001种分法.
评述:类似问题较多.如：方程x+y+z+m+n=10的非负整数解有多少个？你能很快求解吗？(答案依旧是C414=C1014=1001)若再改一下：方程x+y+z+m+n=10的正整数解有多少个？（答案是C49=126）能否注意到两者之间的区别？
以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握.希望大家在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率.
（作者：李建新，江苏省泰兴中学)