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摘要：为了使学生更加全面的理解静电力，本文将静电学的内容拓展到电解质溶液体系，在混合价态的离子溶液中，利用泊松—玻尔兹曼理论，解决关于电解质溶液中静电力是否为短程力的争论。
关键词：静电力；长程力；短程力；电解熔液；泊松—玻尔兹曼理论
中圖分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）23-0216-02
一、引言
静电学为大学物理学的重要内容之一，静电场中的库仑定律表明真空中两个静止点电荷之间的相互作用力分别与其所带电荷大小成正比，与二者之间距离平方成反比。若将静电学问题拓展到电解质溶液环境，由于平衡离子需要在最大熵及最小能量之间达成妥协，在带电体表面形成电双层结构[1]。一般认为，由于静电屏蔽效应减少了带电体之间的相互作用的有效范围，导致溶液体系中静电力具有短程性，但有工作指出溶液中静电双层力为长程力（Electrostatic double-layer forces are long-ranged）[2]，导致电解质溶液中静电力是否具有长程性存在争议[1，2]。
二、泊松—玻尔兹曼理论
生物膜处于对称电解质溶液中，电解质溶液离子电量为±ze，在生物膜附近，异号电荷离子会被吸引至其附近，同号电荷离子则被排斥，当电场对离子作用势与离子的熵达到平衡，在生物膜表面形成电双层机构。距离生物膜无穷远处，电势为0，离子分布几乎不受生物膜的影响，即c =c-=c∞。若生物膜尺度为无限大，生物膜附近电荷分布为：
c（x）=c∞e
c（x）=c∞e
如图1所示，c（x）表示坐标位置x处的溶液中正离子的浓度分布，c（x）表示坐标位置x处的溶液中负离子的浓度分布，V（x）是位置x处的电势，KB是玻尔兹曼常量，T为热力学温度。式中±zeV（x）是正负离子在电势V（x）处的电势能。
生物膜附近任一点的电荷密度可以表示为：
ρ（x）=zec （x）-zec-（x） （2）
电荷密度与电势之间的关系可以由泊松方程表示：
=- （3）
将（1）、（2）代入（3）即可得到：
=（e-e） （4）
（4）式描述盐溶液中电势的非线性微分方程，即泊松—玻尔兹曼方程[1]。
三、一价、二价对称电解质混合溶液中的电势分布
设无穷远处电势为0，电解质溶液由一价、二价对称电解质构成。c、c分别表示坐标x处一价正、负离子的浓度。c、c分别表示坐标x处二价正、负离子浓度，
e为单位电荷数，V（x）为电势。ε、ε分别为空气介电常数，电解质溶液的相对介电常数，于是有：
c=×ce，c=×ce，c=×ce，c=×ce
令γ=eV（x）/kBT，则有：
=×=×（e-e） ×（e-e）
定义N=，N=，则上式变为：
=Nsinh（γ） 2Nsinh（2γ）
将公式的左右两边同时乘以2，则可得到：
2=2Nsinh（γ） 4Nsinh（2γ）
解方程化简可以得到：
=-2
若边界条件为：γ=0，=0。
如表1，控制N大小等于0.01不变，改变N=，从而控制与N对应的c1；同样，控制N等于0.01大小不变，改变N=，从而控制与N对应相应的c2（如表2），进而确定表1、表2对应条件下，生物膜附近电势分布情况。
图2（a）对应二价电解质溶液浓度确定的情况下，电势随着一价电解质溶液浓度变化的情况，而图2（b）对应一价电解质溶液浓度确定的情况下，电势随着二价电解质溶液浓度变化的情况，显然，随着离子浓度的增加，生物膜附近电势急剧衰减，而且二价电解质溶液浓度变化引起的衰减较一价电解质溶液浓度变化引起的衰减显著。
四、结果讨论
对于一价、二价混合对称电解质溶液，随着离子浓度的增加，生物膜附近电势均显著衰减，而有效电势距离均处在20nm以内，若其他带电体与生物膜发生相互作用，必须处于有效电势范围之内，因此电解质溶液中静电力为短程力。
参考文献：
[1]Physical Biology：energy，information and life，Philip C.Nelson，W.H. Freeman and Company，New York，2004.
[2]The colloidal domain，where Physics，Chemistry，Biology，and Technology meet，D.Fennell Evans and Hakan Wennerstrom，WILEY-VCH，New York，1999.
关键词：静电力；长程力；短程力；电解熔液；泊松—玻尔兹曼理论
中圖分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）23-0216-02
一、引言
静电学为大学物理学的重要内容之一，静电场中的库仑定律表明真空中两个静止点电荷之间的相互作用力分别与其所带电荷大小成正比，与二者之间距离平方成反比。若将静电学问题拓展到电解质溶液环境，由于平衡离子需要在最大熵及最小能量之间达成妥协，在带电体表面形成电双层结构[1]。一般认为，由于静电屏蔽效应减少了带电体之间的相互作用的有效范围，导致溶液体系中静电力具有短程性，但有工作指出溶液中静电双层力为长程力（Electrostatic double-layer forces are long-ranged）[2]，导致电解质溶液中静电力是否具有长程性存在争议[1，2]。
二、泊松—玻尔兹曼理论
生物膜处于对称电解质溶液中，电解质溶液离子电量为±ze，在生物膜附近，异号电荷离子会被吸引至其附近，同号电荷离子则被排斥，当电场对离子作用势与离子的熵达到平衡，在生物膜表面形成电双层机构。距离生物膜无穷远处，电势为0，离子分布几乎不受生物膜的影响，即c =c-=c∞。若生物膜尺度为无限大，生物膜附近电荷分布为：
c（x）=c∞e
c（x）=c∞e
如图1所示，c（x）表示坐标位置x处的溶液中正离子的浓度分布，c（x）表示坐标位置x处的溶液中负离子的浓度分布，V（x）是位置x处的电势，KB是玻尔兹曼常量，T为热力学温度。式中±zeV（x）是正负离子在电势V（x）处的电势能。
生物膜附近任一点的电荷密度可以表示为：
ρ（x）=zec （x）-zec-（x） （2）
电荷密度与电势之间的关系可以由泊松方程表示：
=- （3）
将（1）、（2）代入（3）即可得到：
=（e-e） （4）
（4）式描述盐溶液中电势的非线性微分方程，即泊松—玻尔兹曼方程[1]。
三、一价、二价对称电解质混合溶液中的电势分布
设无穷远处电势为0，电解质溶液由一价、二价对称电解质构成。c、c分别表示坐标x处一价正、负离子的浓度。c、c分别表示坐标x处二价正、负离子浓度，
e为单位电荷数，V（x）为电势。ε、ε分别为空气介电常数，电解质溶液的相对介电常数，于是有：
c=×ce，c=×ce，c=×ce，c=×ce
令γ=eV（x）/kBT，则有：
=×=×（e-e） ×（e-e）
定义N=，N=，则上式变为：
=Nsinh（γ） 2Nsinh（2γ）
将公式的左右两边同时乘以2，则可得到：
2=2Nsinh（γ） 4Nsinh（2γ）
解方程化简可以得到：
=-2
若边界条件为：γ=0，=0。
如表1，控制N大小等于0.01不变，改变N=，从而控制与N对应的c1；同样，控制N等于0.01大小不变，改变N=，从而控制与N对应相应的c2（如表2），进而确定表1、表2对应条件下，生物膜附近电势分布情况。
图2（a）对应二价电解质溶液浓度确定的情况下，电势随着一价电解质溶液浓度变化的情况，而图2（b）对应一价电解质溶液浓度确定的情况下，电势随着二价电解质溶液浓度变化的情况，显然，随着离子浓度的增加，生物膜附近电势急剧衰减，而且二价电解质溶液浓度变化引起的衰减较一价电解质溶液浓度变化引起的衰减显著。
四、结果讨论
对于一价、二价混合对称电解质溶液，随着离子浓度的增加，生物膜附近电势均显著衰减，而有效电势距离均处在20nm以内，若其他带电体与生物膜发生相互作用，必须处于有效电势范围之内，因此电解质溶液中静电力为短程力。
参考文献：
[1]Physical Biology：energy，information and life，Philip C.Nelson，W.H. Freeman and Company，New York，2004.
[2]The colloidal domain，where Physics，Chemistry，Biology，and Technology meet，D.Fennell Evans and Hakan Wennerstrom，WILEY-VCH，New York，1999.