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摘要：为了更好地理解飞机的飞行原理，研究机翼形状与升空受力之间的关系，本文设计了一种简洁的飞行器机翼模型。通过数学建模，结合平面几何、二分法和工程绘图等相关知识，确定该机翼的表面形状，以及利用伯努利原理，估计该机翼的升力系数，以及能够提供的升力与速度之间的关系。
关键词：伯努利原理 数学建模 机翼形状 升力系数
一、飞机的飞行原理
《诗经·大雅》中有“鸢飞戾天，鱼跃于水”的诗句，表达了古人对飞鸟游鱼的羡慕。1903年，美国莱特兄弟发明了飞机，实现了人类飞上天的愿望。一百多年来，无数航空先辈设计了各种飞行器。直至今日，全球每年航班总数以千万架次计，极大方便了人们的出行。
我曾乘坐飞机旅行，当时特别好奇，飞机为什么能飞上天？在阅读了大量的科普书籍后，我渐渐了解了飞机的飞行原理。原来，秘密就在飞机的机翼上。虽然各种飞机的机翼形状不完全一样，但它们都有一个共同点，就是机翼的上表面有一定向上凸起的弧度，下表面平整。从机翼横截面来看，上表面长度比下表面长度要长。
1726年，丹尼尔·伯努利提出流体流速越大，压力越小，这就是著名的“伯努利原理”，也是飞机的飞行原理。如图1所示，飞机在高速运动中的表面长度更长，气流流速更大，导致机翼上方的压力比下面的小，机翼上下压力差产生了一个升力，飞机便能够飞起来。
图1 机翼形状与伯努利原理示意图
利用伯努利原理，可将机翼上下任意两点的压强差用方程表达为：
P1 ρgh1=P2
ρgh2 （1）
其中，P1、P2为机翼上下两点的压强，v1、v2为该点空气流速，ρ为气流密度，g为重力加速度，h1、h2为所在高度。不过，需要注意的是，该方程仅适用于黏度可以忽略不计、不可被压缩的理想流体。在气流密度与外界空气密度相同，且忽略两计算点的高度差（非常小的值）时，公式（1）可以写成：
P1 =P2 （2）
因此，对整个机翼而言，受到的升力为：
L =（P2-P1）S =ρ（-）S
（3）
方程式中，S为机翼平面投影面积。
实际上，飞机的升力还和迎角、飞机构型等因素有关，设计师一般采用经验公式估计飞机的升力：
L = CLS （4）
其中，CL为升力系数，v为机翼整体与空气的相对速度。飞机上下表面气体流速差及飞机构型等变量都包含在升力系数CL中，设计师一般通过风洞实验得到该数值。
二、机翼的数学建模
在了解了飞行的基本原理后，我们要如何设计机翼形状呢？在参考了各种飞机的机翼形状及结构后，我设计的机翼开状是：翼展为8米，截面宽为2米，下表面是平直的，上表面凸起的形状可以用一个分段函数来描述，一部分是一段圆弧曲线，而另一部分是指数函数y=e-2x曲线的一部分。为了尽量减小空气阻力，上表面这两条曲线必须尽量光滑地衔接起来，同时机翼前缘的夹角设计为45°。我设想的机翼横截面形状如图2所示。那么，我们该如何确定机翼的表面形状呢？
图2 机翼的数学建模
由于机翼的截面长为2米，所以函数y=e-2x在x=2处需要作一个截断，此处y≈0.0183米，相对于总长度而言很薄。由于机翼前缘的夹角设计为45°，即在图中坐标原点处，圆的切线为y=x，进而我们又可以得出圆心的位置在y=-x这条直线上。现在的关键问题是确定圆心的位置，使得圆正好与函数y=e-2x相切，并求出切点的位置。
三、机翼截面形状的确定
设圆心坐标为（x0，y0），圆与函数y=e-2x切点坐标为（x1，y1）。根据所建模型，可以知道：y0=-x0，y1=e-2x1。圆的定义为：
（x-x0）2 （y-y0）2=r 2 （5）
其中，r为圆的半径。将上述条件代入，可得到第一个关于x1和x0的方程：
（e-2x1 x0）2 （x1-x0）2=2 （6）
分解可得：
e-2x1 2x0e-2x1 -2x1x0= 0
（7）
从圆与函数y=e-2x相切可以知道，切点处切线与圆心到切点间的方向是垂直的。切点处切线斜率即为函数y=e-2x在（x1， y1）处的导数，即：
k1=y’=-2e-2x1 （8）
而圆心（x0， y0）到切点（x1， y1）的方向向量所在直线的斜率为：
（9）
由于两条向量相互垂直，所以它们所在直线斜率乘积为-1。于是，我们可以得到第二个关于x1和x0的方程：
（10）
分解得：
2e-4x1 2x0e-2x1 x0-x1=0 （11）
方程式（7）和方程式（11）是包含有未知数x0，x1的两个等式。联立这两个等式，原则上，我们可以求解出x0和x1的值，进而求出y0和y1的大小。然而，实际上，需要精确计算解析是非常困难的，但我们可以采用“二分法”来求数值解。首先，我们观察第一个方程可知，如果给定一个x1值，则必定有一个x0值与之相对应。只有同时满足两个方程的x1和x0值，才能为这组方程组的解。将方程式（7）和方程式（11）变形，可以得到：
（12）
（13）
由于机翼宽度为2米，x0和x1的取值范围为0～2，我们可以将公式（12）和（13）的曲线画在图中。如图3所示，我们可以看到这两条曲线有一个交点，对应于（x0， x1）≈ （0.5663，0.8441），即为近似的共同解。由这个结果可以很快得到：y0≈-0.5663，y1≈0.1849；圓心位置约为（0.5663，-0.5663），圆与函数y=e-2x相切的切点位置约为（0.8441，0.1849）。 图3 “二分法”求解x0， x1的示意图
我们可以检验一下切点是否在圆上。圆心到坐标原点的距离即为圆的半径：≈
0.80087（米），切点到圆心的距离为：≈
0.80092（米）。這样，r和s的误差就非常小，绝对误差仅0.05毫米，在误差允许的范围内。为了方便后面的计算，我们取圆的半径为0.801米。至此，机翼的表面形状被完全确定。
要计算机翼上下两侧的压力，我们需要知道机翼截面上下两侧弧线的长度。下表面为直线，长度S下=2米。上表面由两个部分组成，即圆弧部分的S1和指数函数部分的S2，参见图2。坐标轴原点、圆心、切点构成了一个等腰三角形，而且三条边都已知，圆弧部分的弧长可根据张角很快计算出来，S1= 0.9126米。指数部分的弧长计算十分复杂，我们可以采用工程绘图软件将这部分曲线画出来，得到S2= 1.1726米。这样，上表面总长度为S上= S1 S2= 2.0852米。
四、机翼升空受力分析
早期理论认为两个相邻的空气质点同时由机翼的前端往后走，一个流经机翼的上缘，另一个流经机翼的下缘，两个质点应在机翼的后端会合，也就是机翼上缘空气和下缘空气到达机翼后端的时间是相同的。然而，大量的风洞实验表明：两个相邻空气的质点中，流经机翼上缘的质点会比流经机翼的下缘质点优先到达后缘。空气质点经上表面从机翼前缘到达后缘的时间约为经下表面所用时间的0.90倍～0.95倍。我们取0.95为预估值，可得机翼上下表面压力差：
对比经验公式（4）：L =
CLS，可以知道该机翼的升力系
数约为0.20445。
已知机翼展长为8米，展宽为2米，面积为16平方米，在20℃时，空气密度ρ≈1.205千克/立方米。据此，我们可以计算升力与速度的关系。例如在不考虑空气阻力的情况下，当飞行器速度为200米/秒（720千米/小时）时，机翼受到的升力约为7.8836×104牛，重力加速度取9.8牛/千克，则该机翼产生的升力足够维持重8044千克（约8吨）飞行器的飞行。
参考文献：
[1]叶菲莫夫A H.飞机的飞行原理[M].北京：北京国防工业出版社，1960.
[2]杨志坚.升力的奥秘[J].农村青少年科学探究，2009，（3）.
[3]丘宏俊.简明飞机飞行原理[M].西安：西北工业大学出版社，2014.
[4]贾玉红.探索蓝天：航空技术基础[M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.
[5]严兴光.用二分法求方程的近似解（第一课时）教学设计[J].中小学数学（高中版），2012，（Z1）.
[6]马丁·西蒙斯.模型飞机空气动力学[M].北京：航空工业出版社， 2007.
[7]彭克斯特等.风洞实验技术[M].北京：国防工业出版社，1963.
（作者系北京市第一六一中学高三2班学生）
关键词：伯努利原理 数学建模 机翼形状 升力系数
一、飞机的飞行原理
《诗经·大雅》中有“鸢飞戾天，鱼跃于水”的诗句，表达了古人对飞鸟游鱼的羡慕。1903年，美国莱特兄弟发明了飞机，实现了人类飞上天的愿望。一百多年来，无数航空先辈设计了各种飞行器。直至今日，全球每年航班总数以千万架次计，极大方便了人们的出行。
我曾乘坐飞机旅行，当时特别好奇，飞机为什么能飞上天？在阅读了大量的科普书籍后，我渐渐了解了飞机的飞行原理。原来，秘密就在飞机的机翼上。虽然各种飞机的机翼形状不完全一样，但它们都有一个共同点，就是机翼的上表面有一定向上凸起的弧度，下表面平整。从机翼横截面来看，上表面长度比下表面长度要长。
1726年，丹尼尔·伯努利提出流体流速越大，压力越小，这就是著名的“伯努利原理”，也是飞机的飞行原理。如图1所示，飞机在高速运动中的表面长度更长，气流流速更大，导致机翼上方的压力比下面的小，机翼上下压力差产生了一个升力，飞机便能够飞起来。
图1 机翼形状与伯努利原理示意图
利用伯努利原理，可将机翼上下任意两点的压强差用方程表达为：
P1 ρgh1=P2
ρgh2 （1）
其中，P1、P2为机翼上下两点的压强，v1、v2为该点空气流速，ρ为气流密度，g为重力加速度，h1、h2为所在高度。不过，需要注意的是，该方程仅适用于黏度可以忽略不计、不可被压缩的理想流体。在气流密度与外界空气密度相同，且忽略两计算点的高度差（非常小的值）时，公式（1）可以写成：
P1 =P2 （2）
因此，对整个机翼而言，受到的升力为：
L =（P2-P1）S =ρ（-）S
（3）
方程式中，S为机翼平面投影面积。
实际上，飞机的升力还和迎角、飞机构型等因素有关，设计师一般采用经验公式估计飞机的升力：
L = CLS （4）
其中，CL为升力系数，v为机翼整体与空气的相对速度。飞机上下表面气体流速差及飞机构型等变量都包含在升力系数CL中，设计师一般通过风洞实验得到该数值。
二、机翼的数学建模
在了解了飞行的基本原理后，我们要如何设计机翼形状呢？在参考了各种飞机的机翼形状及结构后，我设计的机翼开状是：翼展为8米，截面宽为2米，下表面是平直的，上表面凸起的形状可以用一个分段函数来描述，一部分是一段圆弧曲线，而另一部分是指数函数y=e-2x曲线的一部分。为了尽量减小空气阻力，上表面这两条曲线必须尽量光滑地衔接起来，同时机翼前缘的夹角设计为45°。我设想的机翼横截面形状如图2所示。那么，我们该如何确定机翼的表面形状呢？
图2 机翼的数学建模
由于机翼的截面长为2米，所以函数y=e-2x在x=2处需要作一个截断，此处y≈0.0183米，相对于总长度而言很薄。由于机翼前缘的夹角设计为45°，即在图中坐标原点处，圆的切线为y=x，进而我们又可以得出圆心的位置在y=-x这条直线上。现在的关键问题是确定圆心的位置，使得圆正好与函数y=e-2x相切，并求出切点的位置。
三、机翼截面形状的确定
设圆心坐标为（x0，y0），圆与函数y=e-2x切点坐标为（x1，y1）。根据所建模型，可以知道：y0=-x0，y1=e-2x1。圆的定义为：
（x-x0）2 （y-y0）2=r 2 （5）
其中，r为圆的半径。将上述条件代入，可得到第一个关于x1和x0的方程：
（e-2x1 x0）2 （x1-x0）2=2 （6）
分解可得：
e-2x1 2x0e-2x1 -2x1x0= 0
（7）
从圆与函数y=e-2x相切可以知道，切点处切线与圆心到切点间的方向是垂直的。切点处切线斜率即为函数y=e-2x在（x1， y1）处的导数，即：
k1=y’=-2e-2x1 （8）
而圆心（x0， y0）到切点（x1， y1）的方向向量所在直线的斜率为：
（9）
由于两条向量相互垂直，所以它们所在直线斜率乘积为-1。于是，我们可以得到第二个关于x1和x0的方程：
（10）
分解得：
2e-4x1 2x0e-2x1 x0-x1=0 （11）
方程式（7）和方程式（11）是包含有未知数x0，x1的两个等式。联立这两个等式，原则上，我们可以求解出x0和x1的值，进而求出y0和y1的大小。然而，实际上，需要精确计算解析是非常困难的，但我们可以采用“二分法”来求数值解。首先，我们观察第一个方程可知，如果给定一个x1值，则必定有一个x0值与之相对应。只有同时满足两个方程的x1和x0值，才能为这组方程组的解。将方程式（7）和方程式（11）变形，可以得到：
（12）
（13）
由于机翼宽度为2米，x0和x1的取值范围为0～2，我们可以将公式（12）和（13）的曲线画在图中。如图3所示，我们可以看到这两条曲线有一个交点，对应于（x0， x1）≈ （0.5663，0.8441），即为近似的共同解。由这个结果可以很快得到：y0≈-0.5663，y1≈0.1849；圓心位置约为（0.5663，-0.5663），圆与函数y=e-2x相切的切点位置约为（0.8441，0.1849）。 图3 “二分法”求解x0， x1的示意图
我们可以检验一下切点是否在圆上。圆心到坐标原点的距离即为圆的半径：≈
0.80087（米），切点到圆心的距离为：≈
0.80092（米）。這样，r和s的误差就非常小，绝对误差仅0.05毫米，在误差允许的范围内。为了方便后面的计算，我们取圆的半径为0.801米。至此，机翼的表面形状被完全确定。
要计算机翼上下两侧的压力，我们需要知道机翼截面上下两侧弧线的长度。下表面为直线，长度S下=2米。上表面由两个部分组成，即圆弧部分的S1和指数函数部分的S2，参见图2。坐标轴原点、圆心、切点构成了一个等腰三角形，而且三条边都已知，圆弧部分的弧长可根据张角很快计算出来，S1= 0.9126米。指数部分的弧长计算十分复杂，我们可以采用工程绘图软件将这部分曲线画出来，得到S2= 1.1726米。这样，上表面总长度为S上= S1 S2= 2.0852米。
四、机翼升空受力分析
早期理论认为两个相邻的空气质点同时由机翼的前端往后走，一个流经机翼的上缘，另一个流经机翼的下缘，两个质点应在机翼的后端会合，也就是机翼上缘空气和下缘空气到达机翼后端的时间是相同的。然而，大量的风洞实验表明：两个相邻空气的质点中，流经机翼上缘的质点会比流经机翼的下缘质点优先到达后缘。空气质点经上表面从机翼前缘到达后缘的时间约为经下表面所用时间的0.90倍～0.95倍。我们取0.95为预估值，可得机翼上下表面压力差：
对比经验公式（4）：L =
CLS，可以知道该机翼的升力系
数约为0.20445。
已知机翼展长为8米，展宽为2米，面积为16平方米，在20℃时，空气密度ρ≈1.205千克/立方米。据此，我们可以计算升力与速度的关系。例如在不考虑空气阻力的情况下，当飞行器速度为200米/秒（720千米/小时）时，机翼受到的升力约为7.8836×104牛，重力加速度取9.8牛/千克，则该机翼产生的升力足够维持重8044千克（约8吨）飞行器的飞行。
参考文献：
[1]叶菲莫夫A H.飞机的飞行原理[M].北京：北京国防工业出版社，1960.
[2]杨志坚.升力的奥秘[J].农村青少年科学探究，2009，（3）.
[3]丘宏俊.简明飞机飞行原理[M].西安：西北工业大学出版社，2014.
[4]贾玉红.探索蓝天：航空技术基础[M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.
[5]严兴光.用二分法求方程的近似解（第一课时）教学设计[J].中小学数学（高中版），2012，（Z1）.
[6]马丁·西蒙斯.模型飞机空气动力学[M].北京：航空工业出版社， 2007.
[7]彭克斯特等.风洞实验技术[M].北京：国防工业出版社，1963.
（作者系北京市第一六一中学高三2班学生）