摘要：方程是重要的解题工具，利用构造方程解决有关问题，可简化过程，一种好的方法会使你的解题事半功倍，通过多角度思考问题的训练，提高运用方程的能力，培养思维的灵活性。
　　关键词：巧构方程；促使转化；思想方法；创新思维。
　　一元二次方程在初中数学中占据举足轻重的地位，是应用广泛的数学解题工具，它在代数变形、解不等式、几何等中随处可现它的身影。某些数学问题，若挖掘其内在的联系，抓住题目的结构特点，巧妙地构造符合条件的一元二次方程，再进行解（证）题，显得尤为简捷，也容易理解。现介绍几种方法，仅供参考。
　　方法1，逆用根的定义
　　当题目中含有或能变形为x12+mx1+n=0，x22+mx2+n=0，可逆用根的定义构造以x1、x2为两根的一元二次方程x2+mx+n=0，再进行解（证）题。
　　例1：已知：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，求：（）2013的值。
　　解：由条件知a≠0
　　∴已知可变形为
　　又1-ab2≠0
　　∴≠b2
　　依据方程根的定义，可知、b2是方程：x2-2x-1=0的两个根
　　∴+b2=2， ·b2=-1
　　故待求式=[（b2+）+·b2]2013 = （2-1）2013 = 1
　　点评 逆用方程根的定义，巧妙地构造方程求解，显得清爽、明快。
　　方法2.逆用求根公式
　　当题目中含有或能变形为的式子，可逆用求根公式构造一
　　元二次方程ax2+bx+c=0，再进行解（证）题。
　　例2，已知a=
　　求：（）3—（）2+a·（）+2013的值
　　直接代入，参与计算的数较大，显然不实际，由于出现，从形式上自然想到求根公式，故可逆用求根公式构造一元二次方程，再求解将大大简化运算过程。
　　解：设x=，则它是方程x2-x+a=0的一个根。
　　∴ 待求式= x3-x2+ax+2013
　　= x（x2-x+a）+2013
　　= x·0+2013
　　=2013
　　点评 此题解法“绝妙”，体现了“方程思想”在解题中的奇妙功效。
　　方法3.逆用根的判别式
　　当题目中含有或能变形为“b2-4ac”的式子，可逆用根的判别式构造一元二次方程ax2+bx+c=0，再进行解（证）题。
　　例3（全国初中数学联赛题）已知（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，则=________ 。
　　解：由已知得（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0
　　当a≠b时，视（b-c）2-4（a-b）（c-a）为方程（a-b）2+（b-c）x+（c-a）=0的根的判别式。
　　又，（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，故两根相等。
　　而（a-b）+（b-c）+（c-a）=0
　　∴1是方程的一个根，∴x1=x2=1
　　∴1×1= ∴b+c=2a
　　故=2
　　当a=b时，由已知得b=c，∴a=b=c
　　∴=2
　　综合上述 =2
　　方法4 逆用根与系数间关系
　　当题目中含有或能变形为x1+x2=m，x1·x2=n的式子，可逆用根与系数间关系构造一元二次方程x2-mx+n=0，再进行解（证）题。
　　例4（吉林竞赛题）已知：设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0…① b2+c2+bc-6a+6=0…②
　　求证：1≤a≤9
　　为了出现“数对”由①变形为bc=a2-8a+7②配方整理为（b+c）2-bc-6a+6=0，从而可得b+c=±（a-1），再逆用根与系数间关系构造方程，从而方程必有实根，故判别式△≥0，问题顺利解决。
　　证明：由①得bc=a2-8a+7……③
　　由②得（b+c）2-bc-6a+6=0……④
　　③代入④得b+c=±（a-1）
　　∴b、c是方程x2±（a-1）x+（a2-8a+7）=0的两个根。又a、b、c为实数。 　　∴判别式△=[±（a-1）]2-4（a2-8a+7）≥0
　　∴a2-10a+9≤0，故1≤a≤9
　　点评 本题关键是如何由“相等关系”向“不等关系”转化，由已知不难求得b+c与b-c的值，我们不失时机的逆用根与系数间关系构造方程，此方程必有实根，故△≥0，从而由相等关系“逼”出了不等关系，问题得证。
　　方法5 利用共轭根
　　当题目中含有或能变形为x=a+（x=a-）的式子，依据共轭根可构造以x1= a+，x2= a-为两根的一元二次方程x2-2ax+a2-b=0，再进行解（证）题。
　　例5（全国初中赛题）已知：x=4-
　　求分式的值
　　若将x的值代入待求式，运算量较大，也易出错，由于x=4-，故可依据共轭根构造方程，再求职，会化繁为简。
　　解：∵x=4-
　　∴x1=4-， x2=4+是方程x2-8x+13=0的两个根。
　　∴待求式===5
　　方法6 利用函数式法
　　函数式本身就是关于自变量的方程，当题目中含有或能转化为函数式，可构造以自变量为未知数的方程，再进行解（证）题。
　　例6 求：函数y=x+2的最值
　　解 ：∵y=x+2
　　∴（2）2=（y-x）2
　　整理，得3x2+2yx+36-y2=0，∵x为实数 ∴ △=（2y）2-4×3（36-y2）≥0
　　∴y2≥54 ∴ -3≤y≤3
　　故y的最大值3是，最小值是-3
　　点评 此法显得简捷，清新。
　　数学教育家波利亚说过“掌握数学就是意味着善于解题，而善于解题就是讲究解题方法与技巧，一种好的方法会使你的解题事半功倍”。
　　对某些数学问题，从不同的角度，用不同的思维方式，实施同一目标“一元二次方程，” 再进行求解，可使解“证”题过程简捷、清新、明快。一种解题方法技巧的学习不要墨守成规，照搬照抄，而宜灵活运用，择善而从。
　　一种解题方法的学会不是目的，而是通过这种训练让学生养成多角度思考问题的习惯，开拓学生对一元二次方程的认识，提高运用“方程”这一重要数学工具的基本能力，培养学生思维的灵活性和创新精神。
　　参考文献：
　　[1]郭兴甫.数学教学辅导[M].2005，（9）.