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摘要：梯形知识作为四边形知识章节的组成部分，梯形问题的有效解答对四边形相关问题的解答起到基础性作用。本文作者根据教学实践，就如何在进行梯形问题解答时，通过添加辅助线的五种常用方法，有效解答梯形问题，结合典型案例，进行了简要的论述。
关键词：梯形问题 辅助线添加 问题教学
梯形知识教学内容是四边形章节教学体系的重要组成部分，通过对梯形定义内容的分析，可以发现，梯形本质上就是一个一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。梯形知识是学习三角形和平行四边形的基础上又学习的一种四边形，在解决有关梯形的问题时，一般经常采用转化的数学思想，需要添加适当的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，从而使问题得以有效解决。现结合典型案例，简要介绍进行梯形问题辅助线添加的常用方法：
案例一：已知如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=BC,延长底边AB到E，使BE=DC,求证：AC=CE。
该案例传统的证明方法为：从梯形的性质特点方面找寻条件，进行求证三角形全等得到两线短AC与CE相等。也可以通过添加辅助线的方法，进行证明。
证法一：如图一所示，连接DB，∵AB∥DC，DC=BE,∴DCBE为平行四边形，∴DB=CE,又ABCD为等腰梯形，∴AC=BD, ∴AC=CE。
证法一中添加辅助线的方法就是梯形问题解答辅助线添加的基本方法一：平移一腰：即从一个顶点作另一个腰的平行四边形，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。若是等腰梯形，则三角形为等腰三角形。
证法二：如图二所示，作CF⊥AE于F,DM⊥AE于M，在△AMD与△BFC中，∠DAM=∠CBF,∠DMA=∠CFB=90°，AD=BC。∴△AMD≌△BFC，∴AM=BF,又∵DC=BE, ∴AM+MF=BF+BE,∴F是AE的中点，∴CF为AE的垂直平分线，∴AC=CE。
证法二中添加辅助线的初衷是将梯形分成两个直角三角形和一个矩形，它的添加辅助线的方法为：过同一底的两端点作高：把梯形分成一个矩形和两个直角三角形。
证法三：如图三所示，连结BD，∵AB∥DC,AD=BC,∵BECD为平行四边形，∴∠DBA=∠CEA,又∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD。又∵AD=BC,AB=AB, ∴△ABC≌△BAD,∴∠CAB=∠DBA,∴∠CAB=∠CEA, ∴AC=CE。
证法三中，采用的添加辅助线求证的方法也是梯形问题添加辅助线的常用方法三：平移一条对角线：即从一顶点作对角线的平行线，借此得到一个平行四边形和一个三角形。
案例二：已知，如图四所示，梯形ABCD中，AD∥BC,DE=EC,EF⊥AB于点F,求S梯形ABCD=AB·EF。
证法一：如图五所示，作EG∥BC交AB于点G，连结EA,EB,S△ABE=1/2AB*EF.设h为梯形的高，∴S梯形ABCD=h·EG,又S△AGE=S△GBE,∴S△ABE=1/2h·GE，∴S梯形ABCD=AB·EF。
该证明方法是通过将梯形面积转化为三角形的面积方法思路进行证明，因此，这就是梯形常用添加辅助线方法四：过一个顶点和一个腰作直线，交底的延长线于一点：将其梯形转化成三个或多个三角形。
证法二：如图六所示，连接EA并延长交BC的延长线于G,作GM∥EF交AB于M，∵△ADE≌△GCE,∴S梯形ABCD=SABG=1/2AB·BM=1/2AB·2EF=AB·EF。
证法二中所用的添加辅助线的方法实际是常用添加辅助线方法五的“提升版”。该添加辅助线方法为：延长两腰交于一点：得到两个三角形，若是等腰梯形，则两个三角形是梯形两底为底的等腰三角形。
通过上述案例辅助线添加方法的分析和问题求证过程，可以看出，梯形问题解答添加辅助线的常用方法有五种。常言道“学无定法”，添加辅助线的方法同样如此。往往是根据实际问题，采取针对性的添加方法。上述例题添加过程就很好的进行了验证。
案例三：有一块梯形形状的土地，现在要平均分给两个农户种植（即梯形面积相等的两部分），试设计分割方案（至少三种以上），并给予合理的解释。
案例四：如图七所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD=CD,AB＜CD,且∠ABC为锐角，若AD=4,BC=12,E为BC上的一点，当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。
以上只是本人借助相关数学学科教学资料和切身教学实践体悟，经过概括归纳，所列举的常用梯形问题辅助线添加的方法，并进行适当阐述，在此期望能达到“抛砖引玉”，引起广大同仁探究归纳数学问题解答思想方法的探索潜能。愿与广大教学工作者一起围绕教学目标和新课改要求共同探索实践，为提升教学活动效能共同努力，献出力量。
（作者单位：浙江省永嘉县花坦中学）
关键词：梯形问题 辅助线添加 问题教学
梯形知识教学内容是四边形章节教学体系的重要组成部分，通过对梯形定义内容的分析，可以发现，梯形本质上就是一个一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。梯形知识是学习三角形和平行四边形的基础上又学习的一种四边形，在解决有关梯形的问题时，一般经常采用转化的数学思想，需要添加适当的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，从而使问题得以有效解决。现结合典型案例，简要介绍进行梯形问题辅助线添加的常用方法：
案例一：已知如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC,AD=BC,延长底边AB到E，使BE=DC,求证：AC=CE。
该案例传统的证明方法为：从梯形的性质特点方面找寻条件，进行求证三角形全等得到两线短AC与CE相等。也可以通过添加辅助线的方法，进行证明。
证法一：如图一所示，连接DB，∵AB∥DC，DC=BE,∴DCBE为平行四边形，∴DB=CE,又ABCD为等腰梯形，∴AC=BD, ∴AC=CE。
证法一中添加辅助线的方法就是梯形问题解答辅助线添加的基本方法一：平移一腰：即从一个顶点作另一个腰的平行四边形，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形。若是等腰梯形，则三角形为等腰三角形。
证法二：如图二所示，作CF⊥AE于F,DM⊥AE于M，在△AMD与△BFC中，∠DAM=∠CBF,∠DMA=∠CFB=90°，AD=BC。∴△AMD≌△BFC，∴AM=BF,又∵DC=BE, ∴AM+MF=BF+BE,∴F是AE的中点，∴CF为AE的垂直平分线，∴AC=CE。
证法二中添加辅助线的初衷是将梯形分成两个直角三角形和一个矩形，它的添加辅助线的方法为：过同一底的两端点作高：把梯形分成一个矩形和两个直角三角形。
证法三：如图三所示，连结BD，∵AB∥DC,AD=BC,∵BECD为平行四边形，∴∠DBA=∠CEA,又∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD。又∵AD=BC,AB=AB, ∴△ABC≌△BAD,∴∠CAB=∠DBA,∴∠CAB=∠CEA, ∴AC=CE。
证法三中，采用的添加辅助线求证的方法也是梯形问题添加辅助线的常用方法三：平移一条对角线：即从一顶点作对角线的平行线，借此得到一个平行四边形和一个三角形。
案例二：已知，如图四所示，梯形ABCD中，AD∥BC,DE=EC,EF⊥AB于点F,求S梯形ABCD=AB·EF。
证法一：如图五所示，作EG∥BC交AB于点G，连结EA,EB,S△ABE=1/2AB*EF.设h为梯形的高，∴S梯形ABCD=h·EG,又S△AGE=S△GBE,∴S△ABE=1/2h·GE，∴S梯形ABCD=AB·EF。
该证明方法是通过将梯形面积转化为三角形的面积方法思路进行证明，因此，这就是梯形常用添加辅助线方法四：过一个顶点和一个腰作直线，交底的延长线于一点：将其梯形转化成三个或多个三角形。
证法二：如图六所示，连接EA并延长交BC的延长线于G,作GM∥EF交AB于M，∵△ADE≌△GCE,∴S梯形ABCD=SABG=1/2AB·BM=1/2AB·2EF=AB·EF。
证法二中所用的添加辅助线的方法实际是常用添加辅助线方法五的“提升版”。该添加辅助线方法为：延长两腰交于一点：得到两个三角形，若是等腰梯形，则两个三角形是梯形两底为底的等腰三角形。
通过上述案例辅助线添加方法的分析和问题求证过程，可以看出，梯形问题解答添加辅助线的常用方法有五种。常言道“学无定法”，添加辅助线的方法同样如此。往往是根据实际问题，采取针对性的添加方法。上述例题添加过程就很好的进行了验证。
案例三：有一块梯形形状的土地，现在要平均分给两个农户种植（即梯形面积相等的两部分），试设计分割方案（至少三种以上），并给予合理的解释。
案例四：如图七所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,BD=CD,AB＜CD,且∠ABC为锐角，若AD=4,BC=12,E为BC上的一点，当CE分别为何值时，四边形ABED是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。
以上只是本人借助相关数学学科教学资料和切身教学实践体悟，经过概括归纳，所列举的常用梯形问题辅助线添加的方法，并进行适当阐述，在此期望能达到“抛砖引玉”，引起广大同仁探究归纳数学问题解答思想方法的探索潜能。愿与广大教学工作者一起围绕教学目标和新课改要求共同探索实践，为提升教学活动效能共同努力，献出力量。
（作者单位：浙江省永嘉县花坦中学）