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在学习矩形时,有这样一个推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这是直角三角形的一个重要性质.
根据这个性质可知,直角三角形斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形,
灵活运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,在解答一些与中点或中线有关的问题时,常能收到事半功倍之效.
例1 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,EC.点M为EC的中点,连接BM.DM.
(l)如图1,当点D,E分别在AC,AB上时,求证:△BMD为等腰直角三角形.
(2)如图2,将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45。,使点D落在AB上.此时,(1)中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗?请对你的结论加以证明.
解:(1) ∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,
∴∠FDC=90°. BA=BC,∠BCA=45°.
∵占M为EC的中点.
∴BM=DM、∠MBC=∠MCB.∠MDC=∠MCD.
∴∠BME=2∠BCM.∠EMD=2∠DCM.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2∠BCA=90°.
∴ △BMD为等腰直角三角形.
(2)△BMD仍为等腰直角三角形,证明如下:
延长DM交BC于点N(如图3).
∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形.
∴ △BMD为等腰直角三角形.
例2 如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°. AD∥
分析:欲证DE=2AB,可取DE的一半,证其与AB相等.如图5,取DE的中点F,连接AF,则AF=,可得△AFD,△ABF均为等腰三角形.由此结论得证.
证明:取DE的中点F,连接AF,则AF=DF=2AF=2AB.
练习:
1.如图6,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD.DE⊥BD、DE交BC于E.求证:
2.如图7,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M是BC的中点.求证:AB=2DM.
提示
1.BE是直角三角形的斜边,由应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,故可取BE的中点F,连接DF只需证明CD=DF,即证∠C=∠DFC即可.易知△BDF为等腰三角形,故∠DFC=2∠DBF=∠ABC=∠C.
2.取AB的中点N,连接DN,MN.易知△BDN为等矮三角形,而MN//AC,故LDMN=厶C.但LBDN=∠B=2∠C,∠BDN=∠DMN+∠DNM.故∠DNM=∠DMN,△DMN为等腰三角形,所以4B=2DN=2DM
根据这个性质可知,直角三角形斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形,
灵活运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,在解答一些与中点或中线有关的问题时,常能收到事半功倍之效.
例1 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,其中∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,EC.点M为EC的中点,连接BM.DM.
(l)如图1,当点D,E分别在AC,AB上时,求证:△BMD为等腰直角三角形.
(2)如图2,将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转45。,使点D落在AB上.此时,(1)中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗?请对你的结论加以证明.
解:(1) ∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,
∴∠FDC=90°. BA=BC,∠BCA=45°.
∵占M为EC的中点.
∴BM=DM、∠MBC=∠MCB.∠MDC=∠MCD.
∴∠BME=2∠BCM.∠EMD=2∠DCM.
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2∠BCA=90°.
∴ △BMD为等腰直角三角形.
(2)△BMD仍为等腰直角三角形,证明如下:
延长DM交BC于点N(如图3).
∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形.
∴ △BMD为等腰直角三角形.
例2 如图4,在Rt△ABC中,∠C=90°. AD∥
分析:欲证DE=2AB,可取DE的一半,证其与AB相等.如图5,取DE的中点F,连接AF,则AF=,可得△AFD,△ABF均为等腰三角形.由此结论得证.
证明:取DE的中点F,连接AF,则AF=DF=2AF=2AB.
练习:
1.如图6,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD.DE⊥BD、DE交BC于E.求证:
2.如图7,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M是BC的中点.求证:AB=2DM.
提示
1.BE是直角三角形的斜边,由应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,故可取BE的中点F,连接DF只需证明CD=DF,即证∠C=∠DFC即可.易知△BDF为等腰三角形,故∠DFC=2∠DBF=∠ABC=∠C.
2.取AB的中点N,连接DN,MN.易知△BDN为等矮三角形,而MN//AC,故LDMN=厶C.但LBDN=∠B=2∠C,∠BDN=∠DMN+∠DNM.故∠DNM=∠DMN,△DMN为等腰三角形,所以4B=2DN=2DM