【摘要】R(n)表不大于n的孪生素数个数，且有R(n)~n2∏1-2pk，pk∈不大于n的所有奇素数.
　　【关键词】孙子定理；逐步淘汰原则；黎曼ζ函数；对数函数
　　1历史背景
　　1949年法国人波林那克提出孪生素数猜想.即相差为2的两个素数是否有无限多组，有没有最大的孪生素数.
　　2证明思路
　　一些国内外数学家认为孪生素数的分布与素数的分布很相似，下面简单介绍一下素数的分布（数论导引）.
　　命ω(x,r)表不大于x且不为前r个素数2，3,5,…,Pr（Pr≤x）所整除的整数个数时，
　　ω(x,r)=x2-∑1　　ω(x,r)~x2-∑x2Pi+∑x2PiPj……
　　=x21-∑1Pi+∑1PiPj-……
　　=x2∏1-1Pr≥x21lnx=xlnx.
　　以上结论还可以理解为ω(x,r)为不大于n的所有整数的个数中减去所有满足x≡0(mod Pr)的整数后剩余的整数个数.
　　3孪生素数的分布
　　我们有x为不大于n的整数，且有前r个素数：2,3,…,Pr(Pr≤n).
　　定理 当x±1(mod Pr)时，则x+1，x-1同为素数，并且是孪生素数.
　　证明 当且仅当
　　x1(mod Pr)x-1(mod Pr)x-10(mod Pr)x+10(modPr)x+1,x-1同为素数，并且是孪生素数.
　　命N(x±1,r)表不大于n，且减去其中所有满足有x≡±1(mod Pr)的整数后余下的整数个数.
　　现在我们先给出结果：
　　N(x±1,r)=n2-∑2≤k1≤rn2pk1•2+ ∑2≤k1　　~n2-∑2n2pk1+∑22n2pk1pk2-…+ (-1)s∑2sn2pk1…pks-…
　　=n21-∑2n2pk1+∑222pk1pk2-…+ (-1)s∑2s2pk1…pks-…
　　=n2∏1-2pk.
　　N(x±1,r)=n2-∑2≤k1≤rn2pk1•2+ ∑2≤k1　　推论1 当x≡0(mod 2)时，则不超过n时，x有n2个解.
　　证 不大于n的偶数有n2个.
　　推论2 当x≡0(mod 2)，x≡±1(mod Pk1)，……x≡±1(mod Pks)，在不大于n时，则x有n2Pk1…Pks•2s个解.(Pk1，…,Pks属于不大于n的任意奇素数，且Pk1　　证 ∵2，Pk1，…，Pks两两互素，由孙子定理，得
　　∴x≡M2α2C2+MPk1αPk1CPk1+…+MPksαPksCPks(mod 2•Pk1…Pks).
　　又 ∵CPk1,CPk2，…，CPks=1,-1都有两个值，
　　∴在0　　故在不大于n时，x有n2Pk1Pk2…Pks•2s个解 .
　　4关于R(n)的进一步推论
　　推论1 ∏1-2Pk>∏1-1Pk2∏1-1P2k.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文