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摘 要：变式教学是数学教学中的一种常见方式.是夯实数学基础、形成数学能力的有效方式.通过变式教学可以帮助学生深入理解概念;灵活运用公式、定理;提高分析问题解决问题的能力，从而培养数学思维.本文就变式教学的意义、变式在概念、命题、问题解决教学中的设计以及变式教学过程中应把握的问题等几方面进行研究.
1 问题的提出
变式教学是一种传统和典型的数学教学方式，不仅有着广泛的理论基础而且经过了实践的检验.
1.1 变式教学研究的理论意义
1.1.1 从认知过程看：奥苏伯尔的学习理论认为，学习过程是在原有认知结构基础上形成新的认知结构的过程.
新的概念、命题等总是通过与学生原有的有关知识相互联系，相互作用下转化为主体的知识结构.[1]
变式教学，展示了知识发生、发展的过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，形成一种思维训练的有效模式.利用“变式”将知识由“旧”到“新”，学生可多层次、全方位地认识数学问题.由此可知，数学变式教学是遵循学生认知发展规律的.
1.1.2 从培养学生的学习兴趣方面看：教育心理学的研究表明，重复、单调的刺激难以引起学生的注意，容易引起思维疲劳，但是绝对新的刺激由于变异的成分较多也难以引起学生的注意.只有相对新鲜的刺激，既有一定的相同或相似，又有一定的变异成分，容易激起学生的兴趣.[2]
1.1.3 从有意义的学习方面看：如何判断学生是否理解新知识？或者说是否真正建立了前后知识的本质联系？一种较为有效的手段就是给学生提供一组围绕相关知识的变式问题让学生去解决，如果能解决说明他们真正理解了所学的知识，而且这个新知识已经纳入他们已有的知识结构中去.因此变式教学作为一种流程性检测的工具，也为教师提供了学习结果的反馈.
1.2 变式教学研究有一定的实践意义
随着近年来新数学课程标准的出台，经历了数学新旧教材的过渡，针对数学新旧教材的差异，教学方法的改革也势在必行.当前数学教学的状况是：老师讲解多，学生思考少;一问一答多，研讨交流少;操练记忆多，鼓励创新少;强求一致多，发展个性少;照本宣科多，智力活动少;显性内容多，隐性内容少;应付任务多，精神乐趣少等等.所以如何有效地减轻学生的学习负担，提高学习的兴趣，就成为即将走上教师工作岗位的毕业生应该思考的问题.数学是一门抽象理论与心智技艺高度结合的学科，由于其内容的抽象性，逻辑的严密性，一向被称作“思维的体操”.因而数学教学应注重揭示数学思维的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力.为了达到这个目的，许多身在教育战线上的教育工作者经过多年的研究和实践，提出了“变式教学”的方式，它让数学教学不再局限于一个狭窄的课本知识领域内，达到了“举一反三”的效果.
1.3 综述
就变式教学而言，目前的研究或是单纯的变式理论，或是针对习题的变式案例，可以说研究的内容比较单一，未能把理论和实际很好的结合.所以本文将从变式教学的意义、变式教学的分类和设计、变式教学中应注意的问题几个方面进行研究，从而促使理论和实际的结合.
2 变式及数学变式教学
2.1 所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质特征的一种转换.这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件.
2.2 数学变式教学就是指在数学教学过程中采用变式的方式来达到一定的教學目的的教学.具体来说：在教学中，保持数学概念、定理、法则和公式的本质属性不变的前提下，通过增加其非本质属性的各种形式上的变化，促进学生不断研究，探讨进而掌握知识的本质属性，引导学生从不同的角度去分析所要研究的问题，摆脱固有思维定势的束缚，以变异的思维巧妙的运用知识去解决问题.
3 变式教学的分类及设计
3.1 数学概念中的变式教学
数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位.数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程.因此，数学概念的学习应该是一个探究的过程.对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它的定义、认识代表它的符号，而是真正能把握它的本质属性.尽管在数学对象的定义里已经反映了概念的本质属性，但要真正把握它的本质属性并不是那么容易的.几年来的初中数学教学经验表明：当前在数学学习中，学生在把握数学对象的本质属性方面存在较多的问题，主要表现为对数学概念的本质属性理解不深刻，对同一数学对象的不同表达形式缺乏系统概括的理解.
3.1.1 数学概念的变式教学设计及案例
1. 在概念的引入过程中运用变式
（通过变式自然而然的引入概念，使学生减少对新事物的陌生感，有利于提高学生的学习兴趣.）
例1：同位角 内错角 同旁内角的概念
（1）观察以下三个图形中的和，说说他们在位置上有什么共同特点？
（2）得出概念：分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同旁，这样的两个角叫做同位角.
设计意图：通过图形变式，让学生自己去发现同位角的本质特征，再通过变式导入相似的概念，使学生掌握同位角、内错角、同旁内角的本质特征及三个概念的联系与区别.
2.在数学概念的形成过程中运用变式
（通过变式引导学生参与形成概念的全过程，让学生自己去发现去创造.）
例2：绝对值的定义
（1）定义：数轴上表示数的点与原点之间的距离，记为
（在引入数轴的概念后，学生只是形式上的认识.头脑中并没有形成这个概念，那么怎样使学生形成正确的概念，在以后做题中能够正确地把握概念就至关重要了.下面用模型和变式模型来呈现概念的形成过程.） 练习：_____
解：由绝对值的概念知表示与原点0之间的距离，即为4;
（2）定义变式：数轴上表示两点之间的距离为
变式练习：数轴上点表示的数分别为，它们之间的距离可以表示为（ ）
设计意图：在绝对值概念的形成过程中，通过对原概念和变式概念的比较，使学生理解绝对值的几何意义，把握住绝对值概念的实质：绝对值表示距离.
3.在数学概念的巩固过程中运用变式.
通过对巩固概念的例题或习题进行变式，掌握概念的本质特征.通过变式让学生准确把握概念的内涵和外延，掌握概念的实质，解除学生对概念的形式定式从而克服思维定式，实现对概念的多角度理解.
这一部分可以和问题解决中的变式教学结合起来，在此就不再列举.
3.2 数学命题教学中的变式教学设计
数学中的公理、定理、公式、法则、性质等统称为数学命题.数学命题是数学基础知识教学的主要内容，它与数学概念的教学、数学基本技能的训练结合在一起进行.通过命题的教学有利于学生从概念的性质和关系方面进一步加深对数学概念的理解，有利于学生形成基本能力，有利于学生将数学判断应用于实际问题.[8]
3.2.1 数学命题的变式教学设计及案例
1.通过变式剖析命题的结构，掌握各个组成部分，使学生多方面多角度去认识命题
4 变式教学设计过程中要把握的三个“度”
变式教学，有助于促进学生形成看待固有问题的全新视角，有助于培养学生（甚至是自觉的）探索精神与创新意识.但是，若对特定数学内容的认识不够，对变式的“度”把握不准，不能因材施教，不能把握“生情”与“学情”，一味求变，单纯的为变而变，就会给学生造成过重的学习和心理负担，使学生产生逆反心理，造成事倍功半.
4.1 变式的数量要“适度”
问题变式的数量确定是一个首要的问题，原因是：
第一 课堂时间有限，太多了，效果必然不好;
第二 即使将数学学习的时间拓展到课外，并不能提供关于某一问题的所有变式，无法也没有必要穷尽所有的变化.变式的关键在于学生的成功体验，培养处理未知变化的本领.
比如问题：“已知二次函数求其值域，”可以变定义区间，可引入参数来变定义区间，变对称轴，变开口方向，还可以变求值域为求最值，当问题中含有参数时，还可以求最值关于参数的函数的最值（也就是最值互嵌问题），还可以抓住“数形结合”的思想，比较函数值的大小，确定单调区间，研究对称轴方程，等等.如果要在课堂内完成如此多变式的教学，根本不现实：一是完不成，或囫囵吞枣;二是学生不敢学了，失去兴趣.因此，必须抓准教学重点和难点，应该就其展开变式教学.
4.2 变式的内容与难度要有“梯度”
变式要循序渐进，应限制在学生水平的“最近发展区”.要符合学生的认知规律，步步深入，让学生跳一跳能摘到果子，否则会使学生产生畏难情绪，反而影响问题的解决，降低了学习的效率.
若没有“梯度”的变式教学，不如不变.
4.3 变式教学要提高学生的“参与度”
变式不是教师的“专利”.应该提倡让学生参与变式，教师起引导及时点拨的作用.教师要充分放权，只要学生能够进行变式，老师不能包办;同时，对于学生在变式中获得的成功，教师也要加以肯定表扬.只有這样，才能调动学生的积极性，点燃学生思维的火花，提高学生参与度及创新意识，从而让他们感受到“变式”的乐趣，能力也在不知不觉中得到提升.
变式教学是一种有效的教学方式，认真钻研教材，合理选择变式教学的内容，变式教学中注意到这三个“度”，可以事半功倍.
“教学有法，教无定法”.凡能引导学生积极思维，并能在不加重学生课业负担情况下取得较好成绩的方法都是好的教学方式，“变式”就是这样一种教学方式.但对于变式还有许多有待研究的问题如：数学思想方法的变式教学，数学变式教学的实际运用情况等等，由于时间、经历有限在此不做深入研究.
最后以波利亚的名言作为这篇论文的总结，“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”
参考文献
[1]戚绍斌.略谈变式教学的若干原则[J].数学通报，1996，1.
[2]于世章.加强变式教学提高课堂教学效率[J].中学数学杂志（高中），2006，1.
[3]鲍建生等.变式教学研究[J].数学教学，2003，1.
[4]郭春艳等.变式教学对数学思维能力的培养功能探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2003，8.
[5]鲍建生等.变式教学研究续[J].数学教学，2003，1.
[6]张树文等.数学教学中的变式训练初探[J].滩坊教育学院学报，1996，4.
[7]钟敏捷.新课程下初中数学教学的有效途径-—变式教学[J].中学数学研究，2009，2.
[8]涂荣豹等.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：96—120
[9]王孝国.数学概念定理教学中“变式”的运用[J].中学数学研究，1995年增刊.
[10]莫云斌.试谈“变式”在数学教学中的运用[J].网络科技时代，2007，18.
作者简介：
张春雪（1986.12-），女，汉族，黑龙江齐齐哈尔人，大学本科，长沙麓山国际实验学校数学教师，长沙市卓越教师。
1 问题的提出
变式教学是一种传统和典型的数学教学方式，不仅有着广泛的理论基础而且经过了实践的检验.
1.1 变式教学研究的理论意义
1.1.1 从认知过程看：奥苏伯尔的学习理论认为，学习过程是在原有认知结构基础上形成新的认知结构的过程.
新的概念、命题等总是通过与学生原有的有关知识相互联系，相互作用下转化为主体的知识结构.[1]
变式教学，展示了知识发生、发展的过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，形成一种思维训练的有效模式.利用“变式”将知识由“旧”到“新”，学生可多层次、全方位地认识数学问题.由此可知，数学变式教学是遵循学生认知发展规律的.
1.1.2 从培养学生的学习兴趣方面看：教育心理学的研究表明，重复、单调的刺激难以引起学生的注意，容易引起思维疲劳，但是绝对新的刺激由于变异的成分较多也难以引起学生的注意.只有相对新鲜的刺激，既有一定的相同或相似，又有一定的变异成分，容易激起学生的兴趣.[2]
1.1.3 从有意义的学习方面看：如何判断学生是否理解新知识？或者说是否真正建立了前后知识的本质联系？一种较为有效的手段就是给学生提供一组围绕相关知识的变式问题让学生去解决，如果能解决说明他们真正理解了所学的知识，而且这个新知识已经纳入他们已有的知识结构中去.因此变式教学作为一种流程性检测的工具，也为教师提供了学习结果的反馈.
1.2 变式教学研究有一定的实践意义
随着近年来新数学课程标准的出台，经历了数学新旧教材的过渡，针对数学新旧教材的差异，教学方法的改革也势在必行.当前数学教学的状况是：老师讲解多，学生思考少;一问一答多，研讨交流少;操练记忆多，鼓励创新少;强求一致多，发展个性少;照本宣科多，智力活动少;显性内容多，隐性内容少;应付任务多，精神乐趣少等等.所以如何有效地减轻学生的学习负担，提高学习的兴趣，就成为即将走上教师工作岗位的毕业生应该思考的问题.数学是一门抽象理论与心智技艺高度结合的学科，由于其内容的抽象性，逻辑的严密性，一向被称作“思维的体操”.因而数学教学应注重揭示数学思维的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力.为了达到这个目的，许多身在教育战线上的教育工作者经过多年的研究和实践，提出了“变式教学”的方式，它让数学教学不再局限于一个狭窄的课本知识领域内，达到了“举一反三”的效果.
1.3 综述
就变式教学而言，目前的研究或是单纯的变式理论，或是针对习题的变式案例，可以说研究的内容比较单一，未能把理论和实际很好的结合.所以本文将从变式教学的意义、变式教学的分类和设计、变式教学中应注意的问题几个方面进行研究，从而促使理论和实际的结合.
2 变式及数学变式教学
2.1 所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质特征的一种转换.这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件.
2.2 数学变式教学就是指在数学教学过程中采用变式的方式来达到一定的教學目的的教学.具体来说：在教学中，保持数学概念、定理、法则和公式的本质属性不变的前提下，通过增加其非本质属性的各种形式上的变化，促进学生不断研究，探讨进而掌握知识的本质属性，引导学生从不同的角度去分析所要研究的问题，摆脱固有思维定势的束缚，以变异的思维巧妙的运用知识去解决问题.
3 变式教学的分类及设计
3.1 数学概念中的变式教学
数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位.数学概念的形成过程是一个归纳、概括、抽象的过程.因此，数学概念的学习应该是一个探究的过程.对一个数学概念的学习，并不是仅仅能记住它的定义、认识代表它的符号，而是真正能把握它的本质属性.尽管在数学对象的定义里已经反映了概念的本质属性，但要真正把握它的本质属性并不是那么容易的.几年来的初中数学教学经验表明：当前在数学学习中，学生在把握数学对象的本质属性方面存在较多的问题，主要表现为对数学概念的本质属性理解不深刻，对同一数学对象的不同表达形式缺乏系统概括的理解.
3.1.1 数学概念的变式教学设计及案例
1. 在概念的引入过程中运用变式
（通过变式自然而然的引入概念，使学生减少对新事物的陌生感，有利于提高学生的学习兴趣.）
例1：同位角 内错角 同旁内角的概念
（1）观察以下三个图形中的和，说说他们在位置上有什么共同特点？
（2）得出概念：分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同旁，这样的两个角叫做同位角.
设计意图：通过图形变式，让学生自己去发现同位角的本质特征，再通过变式导入相似的概念，使学生掌握同位角、内错角、同旁内角的本质特征及三个概念的联系与区别.
2.在数学概念的形成过程中运用变式
（通过变式引导学生参与形成概念的全过程，让学生自己去发现去创造.）
例2：绝对值的定义
（1）定义：数轴上表示数的点与原点之间的距离，记为
（在引入数轴的概念后，学生只是形式上的认识.头脑中并没有形成这个概念，那么怎样使学生形成正确的概念，在以后做题中能够正确地把握概念就至关重要了.下面用模型和变式模型来呈现概念的形成过程.） 练习：_____
解：由绝对值的概念知表示与原点0之间的距离，即为4;
（2）定义变式：数轴上表示两点之间的距离为
变式练习：数轴上点表示的数分别为，它们之间的距离可以表示为（ ）
设计意图：在绝对值概念的形成过程中，通过对原概念和变式概念的比较，使学生理解绝对值的几何意义，把握住绝对值概念的实质：绝对值表示距离.
3.在数学概念的巩固过程中运用变式.
通过对巩固概念的例题或习题进行变式，掌握概念的本质特征.通过变式让学生准确把握概念的内涵和外延，掌握概念的实质，解除学生对概念的形式定式从而克服思维定式，实现对概念的多角度理解.
这一部分可以和问题解决中的变式教学结合起来，在此就不再列举.
3.2 数学命题教学中的变式教学设计
数学中的公理、定理、公式、法则、性质等统称为数学命题.数学命题是数学基础知识教学的主要内容，它与数学概念的教学、数学基本技能的训练结合在一起进行.通过命题的教学有利于学生从概念的性质和关系方面进一步加深对数学概念的理解，有利于学生形成基本能力，有利于学生将数学判断应用于实际问题.[8]
3.2.1 数学命题的变式教学设计及案例
1.通过变式剖析命题的结构，掌握各个组成部分，使学生多方面多角度去认识命题
4 变式教学设计过程中要把握的三个“度”
变式教学，有助于促进学生形成看待固有问题的全新视角，有助于培养学生（甚至是自觉的）探索精神与创新意识.但是，若对特定数学内容的认识不够，对变式的“度”把握不准，不能因材施教，不能把握“生情”与“学情”，一味求变，单纯的为变而变，就会给学生造成过重的学习和心理负担，使学生产生逆反心理，造成事倍功半.
4.1 变式的数量要“适度”
问题变式的数量确定是一个首要的问题，原因是：
第一 课堂时间有限，太多了，效果必然不好;
第二 即使将数学学习的时间拓展到课外，并不能提供关于某一问题的所有变式，无法也没有必要穷尽所有的变化.变式的关键在于学生的成功体验，培养处理未知变化的本领.
比如问题：“已知二次函数求其值域，”可以变定义区间，可引入参数来变定义区间，变对称轴，变开口方向，还可以变求值域为求最值，当问题中含有参数时，还可以求最值关于参数的函数的最值（也就是最值互嵌问题），还可以抓住“数形结合”的思想，比较函数值的大小，确定单调区间，研究对称轴方程，等等.如果要在课堂内完成如此多变式的教学，根本不现实：一是完不成，或囫囵吞枣;二是学生不敢学了，失去兴趣.因此，必须抓准教学重点和难点，应该就其展开变式教学.
4.2 变式的内容与难度要有“梯度”
变式要循序渐进，应限制在学生水平的“最近发展区”.要符合学生的认知规律，步步深入，让学生跳一跳能摘到果子，否则会使学生产生畏难情绪，反而影响问题的解决，降低了学习的效率.
若没有“梯度”的变式教学，不如不变.
4.3 变式教学要提高学生的“参与度”
变式不是教师的“专利”.应该提倡让学生参与变式，教师起引导及时点拨的作用.教师要充分放权，只要学生能够进行变式，老师不能包办;同时，对于学生在变式中获得的成功，教师也要加以肯定表扬.只有這样，才能调动学生的积极性，点燃学生思维的火花，提高学生参与度及创新意识，从而让他们感受到“变式”的乐趣，能力也在不知不觉中得到提升.
变式教学是一种有效的教学方式，认真钻研教材，合理选择变式教学的内容，变式教学中注意到这三个“度”，可以事半功倍.
“教学有法，教无定法”.凡能引导学生积极思维，并能在不加重学生课业负担情况下取得较好成绩的方法都是好的教学方式，“变式”就是这样一种教学方式.但对于变式还有许多有待研究的问题如：数学思想方法的变式教学，数学变式教学的实际运用情况等等，由于时间、经历有限在此不做深入研究.
最后以波利亚的名言作为这篇论文的总结，“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门，把学生引入一个完整的理论领域.”
参考文献
[1]戚绍斌.略谈变式教学的若干原则[J].数学通报，1996，1.
[2]于世章.加强变式教学提高课堂教学效率[J].中学数学杂志（高中），2006，1.
[3]鲍建生等.变式教学研究[J].数学教学，2003，1.
[4]郭春艳等.变式教学对数学思维能力的培养功能探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2003，8.
[5]鲍建生等.变式教学研究续[J].数学教学，2003，1.
[6]张树文等.数学教学中的变式训练初探[J].滩坊教育学院学报，1996，4.
[7]钟敏捷.新课程下初中数学教学的有效途径-—变式教学[J].中学数学研究，2009，2.
[8]涂荣豹等.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2006：96—120
[9]王孝国.数学概念定理教学中“变式”的运用[J].中学数学研究，1995年增刊.
[10]莫云斌.试谈“变式”在数学教学中的运用[J].网络科技时代，2007，18.
作者简介：
张春雪（1986.12-），女，汉族，黑龙江齐齐哈尔人，大学本科，长沙麓山国际实验学校数学教师，长沙市卓越教师。