【摘要】解抽象不等式利用函数的单调性脱去对应法则“f”；解具体不等式灵活利用函数的单调性简化计算、避开复杂的分类讨论；利用函数的单调性证明不等式。
　　【关键词】函数 单调性 不等式 抽象 具体 赋值
　　函数的单调性是高考的重点和热点内容之一，特别是单调性质的应用更加突出。而函数的单调性、不等式都是高中生的难点。在不等式中合理且灵活利用函数的单调性，会给解决问题带来许多方便，从而避开复杂的计算和繁琐的分类讨论。下面就以下几种题型，谈谈函数单调性在不等式中的应用。
　　1.利用函数的单调性解抽象不等式
　　例1：已知奇函数f（x）是定义在（-3，3）上的减函数，且满足不等式f（x-3）+f（x2-3）<0，求x的范围。
　　解：∵f（x）是奇函数，∴f（x-3）<-f（x2-3）=f（3-x2），又f（x）在（-3，3）上是减函数，
　　〖JB（{〗-33-x2〖JB）〗 ，解得2　　所以 的范围是{x|2　　评析：解抽象不等式通性通法是：利用用函数的单调性定义的逆用脱去对应法则“f”，解此类问题时，千万不能忽视函数的定义域。
　　例题2：已知函数f（x） 的定义域为 （-∞， 0）∪（0， +∞）， 且满足条件：
　　①f（xy）=f（x）+f（y）， ② f（2）=1， ③ 当x>1时， f（x）>0.
　　（1）求证：f（x）为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集.
　　解：（1） （2） 解题过程略：f（x）在 （0， +∞） 上是增函数，f（x）在（-∞， 0） 上是减函数
　　（3）解： ∵f[x（x-3）]=f（x）+f（x-3）≤2 ，
　　由 ①、② 得2=1+1=f（2） +f（2）=f（4）=f（-4）
　　1）当时x（x-3）>0 ，即x>3或x<0， ∵f（x） 在 （0， +∞） 上为增函数，
　　∴由f[x（x-3）]≤f（4） 得：x（x-3）≤4 ，解得3　　2） 当时x（x-3）<0 ，即0　　∴由f[x（x-3）] ≤f（-4） 得x（x-3）≥-4 ，解得0　　综上所述：原不等式的解集为：[-1，00∪（0，3）∪（3，4]
　　法二 ：原不等式等价于f[|x（x-3）|]≤f（4）（x≠0，x≠3））， 由f（x） 在 （0， +∞） 上为增函数得：|x（x-3）|≤4 ， 解得原不等式的解集为：[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]
　　评析： 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题， 其基本方法是赋值法， 应熟练掌握；此题利用若f（x）为偶函数，则f（|x|）=f（x） 的性质简便的多。
　　2.在具体不等式中，灵活利用函数的单调性会收到预想不到的效果
　　例3：函数f（x）=1-〖SX（〗2〖〗2x+1〖SX）〗 （x∈R）
　　（1）判断函数的奇偶性；
　　（2）用定义证明： 在 上是单调递增函数；
　　（3）若f（k·3x）+f（3x-9x-2）<0 对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
　　解：第（1）（2）问略
　　（3）原不等式可化为：f（k·3x） <-f（3x-9x-2）=f（9x-33+2）
　　由（2）得f（x） 在R 上是单调递增函数，所以
　　〖JP3〗k·3x<-3x+9x+2 ，即k<3x+〖SX（〗2〖〗3x〖SX）〗 -1，u=3x+〖SX（〗2〖〗3x〖SX）〗-1≥2〖KF（〗2〖KF）〗-1，
　　要使得对x∈R 不等式k<3x+〖SX（〗2〖〗3x〖SX）〗-1恒成立，只要 k<2〖KF（〗2〖KF）〗-1
　　所以，实数 的取值范围为：k<2〖KF（〗2〖KF）〗-1
　　评析：此题虽然函数是具体函数，但如果将k·3x与3x-9x代入f（x）去掉对应法则“f”计算量很大，而利用函数的单调性去掉对应法则，从而简化了运算。
　　例4：已知函数f（x）=〖JB（{〗x2+1，x≥01，x<0〖JB）〗，满足不等式f（1-x2） >f（2x）的x的取值范围。
　　解法一：当x=-1 时，1-x2=0 ，则f（0）=1 ，f（-2）=1无解；
　　当-10，f（1-x2）>f（2x） 化为（1-x2）2+1>1 ，恒成立，
　　当00原不等式化为 （1-x2）2+1>（2x）2+1，
　　∴0　　当1-x2<0时，无解.
　　综上知： x∈（-1，〖KF（〗2〖KF）〗-1）
　　解法二：画出函数f（x）〖JB（{〗x2+1，x≥01，x<0〖JB）〗 图象
　　〖TP11.TIF；%40%40，Y〗由图象可知，若f（1-x2）>f（2x） ，
　　则〖JB（{〗1-x2>01-x2>2x〖JB）〗 ，
　　即〖JB（{〗-1　　得x∈（-1，〖KF（〗2〖KF）〗-1）
　　评析：两种方法对比，第二种方法利用函数图象，探究函数的单调性，很巧妙的回避了学生的难点即分类讨论，更简单，更方便。此题方法上较为隐蔽，不是一下子就会想到用单调性去解，要具备这样的能力，平常时要注意一题多解及方法的积累。
　　3.利用函数的单调性，证明不等式
　　例5：证明：Inx　　解：设f（x）=Inx-x，∴f'（x）=〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗 -1
　　由f'（x）=0，得x=1
　　所以，当x∈（0，1），f'（x）>0，函数f（x）单调递增；
　　当x∈（1，+∞），f'（x）<0， 函数f（x）单调递减。
　　∴f（x）max=f（1）=-1<0，∴f（x）=Inx-x<0
　　即Inx　　评析：利用函数的单调性证明不等式，解决函数恒成立问题也是常见的题型。此类问题通常是利用导数研究函数的单调性，从而问题得以解决。
　　总之：利用函数的单调性解决不等式的有关问题时，不仅要掌握常见题的通性通法，而且要灵活运用。解决一些具体函数或者具体不等式时，当计算量大或者过程较复杂时，可以换一种思路，考虑利用函数的单调性会取得预想不到的效果。