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针对我国人口老龄化快速发展阶段延迟退休的分析及对策建议，以影响延迟退休的四个指标为切入点，对于不同行业的具体工作状况，使用层析分析寻求不同群体较为合理的退休年限；根据特定国家影响延迟退休的指标的具体数据及相应延迟退休政策，使用SPSS软件，建立相关系数模型，合理构造函数并结合中国当下实际情况给出延迟退休对策建议。
目前我国已经进入人口老龄化快速发展期，延迟退休已成为人们关注的热点社会话题。由于延迟退休政策的制定牵涉到社会发展的方方面面，关乎到每一个人的利益，而且不同的阶层群体对延迟退休也有不同的看法。因此，如何尽快做出延迟退休科学可行的制度设计，是人们关心政府迫切需要解决的问题。本文试图从定量的角度，以影响延迟退休的指标为切入点，对当前我国延迟退休的对策制定进行了探析（详见2014年第十一届五一数学建模联赛C题[1]）。
一、五类代表群体合理的延迟退休年限研究
（一）研究思路
由于各行业工作环境、要求差别很大，因此我们从所有行业中挑选较有代表性的5类职业：教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）作为代表，以蚌埠市作为试点进行调查。因为不同职业对工作因素的需求是一个模糊概念，因此建立延迟退休的评价指标模型，使用AHP层次分析法[2]，在延迟退休年限为1到5年条件下，给出这5类群体较合理的延迟退休年限。
（二）研究方法
1、建立方案评价的递阶层次结构模型
针对延迟退休，结合层析分析法，可建立方案评价的递阶层次结构模型。该模型最高一层为总目标A：延迟退休，第二层为方案评价的准则层，它包含4个原则：B1，工作环境好；B2，工作经验多；B3，体质要求低；B4，收入水平高。最底层为方案层，它包含P1～P5，5种方案，其层次结构模型（见图1）。
图1层次结构模型
2、构造比较判断矩阵
设以A为比较准则，B层次因素的两两比较判断矩阵为A-B（见表1）；类似地，以每一个为比较准则，层次各因素的两两比较判断矩阵为—，四个比较判断矩阵。
表1 总目标的比较判别矩阵
1 5 3 1/5
1/5 1 1/4 1/8
1/3 4 1 1/5
5 5 5 1
综合分析评估，得到第三层相对第二层的各个比较判别矩阵，
对准则，有=，
对准则，有=，
对准则，有=，
对准则，有=.
3、层次单排序及一致性检验
由上述各比较判断矩阵，用Mat lab[3]数学软件求出其最大的特征
值以及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量，以及一致性指标
和一致性比例（见表2）
表2 延迟退休
矩阵 层次单排序的权重向量 CI RI CR
4.2697 0.0899 0.94 0.0956
5.0857 0.0214 1.12 0.0191
5.2438 0.0609 1.12 0.0544
5.3859 0.0965 1.12 0.0861
5.3950 0.0988 1.12 0.0882
由此可见，所有层次单排序的CR的值均小于0.1，符合一致性要求。
4、层次总排序及一致性检验
已知第二层（B层相对于总目标A的排序向量为）而第三层（p层）以第二层第i个因素为准则时的排序向量分别为
，
，
则第三层（P层）相对于总目标的排序向量为
由于因此=0.0795，=1.1200。，满足一致性检验。
（三）结果分析
通过Mat lab软件求解得到五类不同行业相对于延迟退休的总目标的得分（见表3）。
表3 不同行业的得分
教师 内科医生 公司职员 客车司机 重体力劳动者
权重 0.3023 0.4200 0.1569 0.0853 0.0354
通过Excel软件得到五类不同行业相对于延迟退休的总目标的得分的柱状图和饼状图（见图2和图3）。
图2 得分柱状图
图3 得分饼状图
又由于预期的延迟退休的年限为1—5年，故根据上述分析结果
最终方案为：①内科医生延迟退休年限为5年；②教师延迟退休年限为4年；③公司职员延迟退休年限为3年；④客车司机延迟退休年限为2年；⑤重体力劳动者延迟退休年限为1年。
二、延迟退休出台政策研究
（一）研究思路
我们通过借助已有其他各国的延迟退休政策来分析预测我国出台延迟退休政策的执行时间表。首先通过SPSS[4]软件建立延迟退休年限与影响其因素的皮尔逊相关关系，确定各个因素对延迟退休的权重大小，然后通过合理构造函数，根据中国当下实际情况以其他各国各变量的平均数作为基准预测我国的延迟退休年限和完成时间。
（二）理论准备
上述的国民人均预期寿命、人口老龄化程度和劳动力供求状况均可以通过世界统计年鉴等相关文献查阅得到。
由于国民受教育情况较难直接判定，引入国民受教育年限，由受教育年限的长短来判定国民受教育情况的高低。；其中：、、、、分别表示某一地区未受教育、受到小学教育、受到中学教育、受到大学教育和受到研究生以上教育的年限均值。、、、、分别表示某一地区未受教育、受到小学教育、受到中学教育、受到大学教育和受到研究生以上教育的人数占总人口的比例。 （三）数据处理
⑴由于劳动供给状况对延迟退休年限和延迟退休年限完成时间的影响效果类似于人口老龄化程度，即这两个自变量之间具有多重共线性，从而自变量对因变量的显著影响均被变量间的多重相关性隐藏了，使分析具有较大的误差。因此将这两个指标的重叠部分简化为人口老龄化程度指标（见表4）。
根据2013年国际统计年鉴[5]、美国劳工局2013年各国劳动供给和需求报告[6]以及联合国人口司世界人口老龄化现状报告[7]，计算得到以下数据：
表4 其他各国延迟退休政策情况
人均预期
寿命 人口老龄
化程度 受教育程度 延迟退休
年限 年限完成
时间
美国 78.49 0.17 12.4 2 20
日本 83.91 0.27 11.6 5 15
德国 77.75 0.25 12.2 5 18
澳大利亚 81.9 0.18 12 0 16
意大利 81.86 0.26 10.1 5 8
⑵我们首先利用SPSS软件，得到延迟退休年限和延迟退休年限完成时间与以上三个因素的皮尔逊相关系数（见表5）。
表5 皮尔逊相关系数
人均预期寿命 人口老龄化程度 受教育程度
延迟退休年限 0.054 0.915 0.462
延迟退休年限完成时间 -0.573 -0.571 0.987
⑶该五国各变量的平均数作为基准的参考值的求解（见表6）.，.
表6 参考数值
均值 80.782 1.13 11.66 3.4 15.4
（四）研究方法
我们通过延迟退休年限和延迟退休年限完成时间与其各因素的皮尔逊相关系数，确定各个因素对延迟退休的权重大小。
⑴计算各因素人均预期寿命、人口老龄化程度、受教育程度对延迟退休年限的权，得到权重：，，.
⑵计算各因素人均预期寿命、人口老龄化程度、受教育程度对延迟退休年限完成时间的权重，得到权重：，，.
预测我国退休延长年限和完成时间
设置变量：：我国预期退休延长年限；：我国预期完成时间；：我国国民人均预期寿命；：我国人口老龄化程度；：我国国民平均受教育年限。
根据中国统计年鉴2013[8]，并结合国民受教育情况的计算公式，得出：
，，
根据计算公式：
=；=.
最终得到：=2.44， =11.24.即我国预测退休延长年限为2.44年（2年6个月），预测完成时间为11.24年（11年3个月），预测我国每年应该延长退休年龄2.6个月（2个月18天）。
（四）结果分析
根据收集数据和建立的模型，我们得出整个社会推迟2年6个月，即男性退休年龄推迟到62.5岁、女性退休年龄推迟到57.5岁；我国实行推迟期限为11年3个月，即如果从2015年实行“延迟退休”政策，到2025年3月完成，每年推迟2个月18天。从结果可以看出适当提高我国退休年龄，可以增加市场劳动力供给量、优化我国现行就业情况[9]。
三、结束语
本文通过大量数据的查找并参照其他各国的延迟退休政策的制定，使用相关系数建立权重，运用了创新性的函数定义，建立起参考数值与比较数值的相对差值函数，避免了小样本数据带来的不便之处，简便明了得出问题的具体解答。然而由于延迟退休必然带来政府养老负担的加重，所以可以更加进一步建立延迟退休与养老保险、个人税收等之间的关系，从而更加全面的制定延迟退休政策推进社会合理有效发展。上述方法不仅适用于“延迟退休”问题，还可以用于“提高个人所得税起征点”和“预测我国出台最低工资调整政策的标准表”等问题。
基金项目：国家自然科学项目（11301001），安徽财经大学教研项目（acjyzd201429）。
作者简介：年华（1994-），女，安徽淮北人；通讯作者：朱家明（1973-），男，安徽泗县人，副教授，硕士，安徽财经大学数学建模实验室主任，研究方向：应用数学与数学建模。
目前我国已经进入人口老龄化快速发展期，延迟退休已成为人们关注的热点社会话题。由于延迟退休政策的制定牵涉到社会发展的方方面面，关乎到每一个人的利益，而且不同的阶层群体对延迟退休也有不同的看法。因此，如何尽快做出延迟退休科学可行的制度设计，是人们关心政府迫切需要解决的问题。本文试图从定量的角度，以影响延迟退休的指标为切入点，对当前我国延迟退休的对策制定进行了探析（详见2014年第十一届五一数学建模联赛C题[1]）。
一、五类代表群体合理的延迟退休年限研究
（一）研究思路
由于各行业工作环境、要求差别很大，因此我们从所有行业中挑选较有代表性的5类职业：教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）作为代表，以蚌埠市作为试点进行调查。因为不同职业对工作因素的需求是一个模糊概念，因此建立延迟退休的评价指标模型，使用AHP层次分析法[2]，在延迟退休年限为1到5年条件下，给出这5类群体较合理的延迟退休年限。
（二）研究方法
1、建立方案评价的递阶层次结构模型
针对延迟退休，结合层析分析法，可建立方案评价的递阶层次结构模型。该模型最高一层为总目标A：延迟退休，第二层为方案评价的准则层，它包含4个原则：B1，工作环境好；B2，工作经验多；B3，体质要求低；B4，收入水平高。最底层为方案层，它包含P1～P5，5种方案，其层次结构模型（见图1）。
图1层次结构模型
2、构造比较判断矩阵
设以A为比较准则，B层次因素的两两比较判断矩阵为A-B（见表1）；类似地，以每一个为比较准则，层次各因素的两两比较判断矩阵为—，四个比较判断矩阵。
表1 总目标的比较判别矩阵
1 5 3 1/5
1/5 1 1/4 1/8
1/3 4 1 1/5
5 5 5 1
综合分析评估，得到第三层相对第二层的各个比较判别矩阵，
对准则，有=，
对准则，有=，
对准则，有=，
对准则，有=.
3、层次单排序及一致性检验
由上述各比较判断矩阵，用Mat lab[3]数学软件求出其最大的特征
值以及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量，以及一致性指标
和一致性比例（见表2）
表2 延迟退休
矩阵 层次单排序的权重向量 CI RI CR
4.2697 0.0899 0.94 0.0956
5.0857 0.0214 1.12 0.0191
5.2438 0.0609 1.12 0.0544
5.3859 0.0965 1.12 0.0861
5.3950 0.0988 1.12 0.0882
由此可见，所有层次单排序的CR的值均小于0.1，符合一致性要求。
4、层次总排序及一致性检验
已知第二层（B层相对于总目标A的排序向量为）而第三层（p层）以第二层第i个因素为准则时的排序向量分别为
，
，
则第三层（P层）相对于总目标的排序向量为
由于因此=0.0795，=1.1200。，满足一致性检验。
（三）结果分析
通过Mat lab软件求解得到五类不同行业相对于延迟退休的总目标的得分（见表3）。
表3 不同行业的得分
教师 内科医生 公司职员 客车司机 重体力劳动者
权重 0.3023 0.4200 0.1569 0.0853 0.0354
通过Excel软件得到五类不同行业相对于延迟退休的总目标的得分的柱状图和饼状图（见图2和图3）。
图2 得分柱状图
图3 得分饼状图
又由于预期的延迟退休的年限为1—5年，故根据上述分析结果
最终方案为：①内科医生延迟退休年限为5年；②教师延迟退休年限为4年；③公司职员延迟退休年限为3年；④客车司机延迟退休年限为2年；⑤重体力劳动者延迟退休年限为1年。
二、延迟退休出台政策研究
（一）研究思路
我们通过借助已有其他各国的延迟退休政策来分析预测我国出台延迟退休政策的执行时间表。首先通过SPSS[4]软件建立延迟退休年限与影响其因素的皮尔逊相关关系，确定各个因素对延迟退休的权重大小，然后通过合理构造函数，根据中国当下实际情况以其他各国各变量的平均数作为基准预测我国的延迟退休年限和完成时间。
（二）理论准备
上述的国民人均预期寿命、人口老龄化程度和劳动力供求状况均可以通过世界统计年鉴等相关文献查阅得到。
由于国民受教育情况较难直接判定，引入国民受教育年限，由受教育年限的长短来判定国民受教育情况的高低。；其中：、、、、分别表示某一地区未受教育、受到小学教育、受到中学教育、受到大学教育和受到研究生以上教育的年限均值。、、、、分别表示某一地区未受教育、受到小学教育、受到中学教育、受到大学教育和受到研究生以上教育的人数占总人口的比例。 （三）数据处理
⑴由于劳动供给状况对延迟退休年限和延迟退休年限完成时间的影响效果类似于人口老龄化程度，即这两个自变量之间具有多重共线性，从而自变量对因变量的显著影响均被变量间的多重相关性隐藏了，使分析具有较大的误差。因此将这两个指标的重叠部分简化为人口老龄化程度指标（见表4）。
根据2013年国际统计年鉴[5]、美国劳工局2013年各国劳动供给和需求报告[6]以及联合国人口司世界人口老龄化现状报告[7]，计算得到以下数据：
表4 其他各国延迟退休政策情况
人均预期
寿命 人口老龄
化程度 受教育程度 延迟退休
年限 年限完成
时间
美国 78.49 0.17 12.4 2 20
日本 83.91 0.27 11.6 5 15
德国 77.75 0.25 12.2 5 18
澳大利亚 81.9 0.18 12 0 16
意大利 81.86 0.26 10.1 5 8
⑵我们首先利用SPSS软件，得到延迟退休年限和延迟退休年限完成时间与以上三个因素的皮尔逊相关系数（见表5）。
表5 皮尔逊相关系数
人均预期寿命 人口老龄化程度 受教育程度
延迟退休年限 0.054 0.915 0.462
延迟退休年限完成时间 -0.573 -0.571 0.987
⑶该五国各变量的平均数作为基准的参考值的求解（见表6）.，.
表6 参考数值
均值 80.782 1.13 11.66 3.4 15.4
（四）研究方法
我们通过延迟退休年限和延迟退休年限完成时间与其各因素的皮尔逊相关系数，确定各个因素对延迟退休的权重大小。
⑴计算各因素人均预期寿命、人口老龄化程度、受教育程度对延迟退休年限的权，得到权重：，，.
⑵计算各因素人均预期寿命、人口老龄化程度、受教育程度对延迟退休年限完成时间的权重，得到权重：，，.
预测我国退休延长年限和完成时间
设置变量：：我国预期退休延长年限；：我国预期完成时间；：我国国民人均预期寿命；：我国人口老龄化程度；：我国国民平均受教育年限。
根据中国统计年鉴2013[8]，并结合国民受教育情况的计算公式，得出：
，，
根据计算公式：
=；=.
最终得到：=2.44， =11.24.即我国预测退休延长年限为2.44年（2年6个月），预测完成时间为11.24年（11年3个月），预测我国每年应该延长退休年龄2.6个月（2个月18天）。
（四）结果分析
根据收集数据和建立的模型，我们得出整个社会推迟2年6个月，即男性退休年龄推迟到62.5岁、女性退休年龄推迟到57.5岁；我国实行推迟期限为11年3个月，即如果从2015年实行“延迟退休”政策，到2025年3月完成，每年推迟2个月18天。从结果可以看出适当提高我国退休年龄，可以增加市场劳动力供给量、优化我国现行就业情况[9]。
三、结束语
本文通过大量数据的查找并参照其他各国的延迟退休政策的制定，使用相关系数建立权重，运用了创新性的函数定义，建立起参考数值与比较数值的相对差值函数，避免了小样本数据带来的不便之处，简便明了得出问题的具体解答。然而由于延迟退休必然带来政府养老负担的加重，所以可以更加进一步建立延迟退休与养老保险、个人税收等之间的关系，从而更加全面的制定延迟退休政策推进社会合理有效发展。上述方法不仅适用于“延迟退休”问题，还可以用于“提高个人所得税起征点”和“预测我国出台最低工资调整政策的标准表”等问题。
基金项目：国家自然科学项目（11301001），安徽财经大学教研项目（acjyzd201429）。
作者简介：年华（1994-），女，安徽淮北人；通讯作者：朱家明（1973-），男，安徽泗县人，副教授，硕士，安徽财经大学数学建模实验室主任，研究方向：应用数学与数学建模。