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摘要：实验学科中，实验数据的记录与处理有着非常重要的作用。在记录与处理实验数据时，常会遇到有效数字相关的问题。教学“化学实验数据的处理”时，可从有效数字的作用、位数确定方法、运算规则等方面，“有效”解读有效数字。
关键词：有效数字 实验数据处理 运算规则
实验学科中，实验数据的记录与处理有着非常重要的作用。在记录与处理实验数据时，常会遇到与有效数字相关的问题。有效数字是指实际能够测量到的数字，包括最后一位估计的、不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字称为可靠数字，把通过估读得到的数字称为存疑数字，把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字称为有效数字。
笔者在教学“化学实验数据的处理”时，重点突出了对有效数字的解读：首先，引导学生认识有效数字的重要性，探讨“处理数据时，不考虑有效数字会出现什么结果”;接着，建构有效数字位数确定的方法，帮助学生深刻理解有效数字的定义;最后，分析有效数字的运算规则，促进学生形成对有效数字的全面认知。具体教学过程如下：
一、认识有效数字的重要性
教师出示如下信息：
己烷（C6H14）存在5种同分异构体，均为液体，其结构与密度数据如下页表1所示。现有一瓶己烷液体，没有标出是哪种同分异构体。同学A用测量密度的方式确定其成分：用量筒量取了5.0 mL的该液体，使用分析天平称量出其质量为3.2745 g。
并提问：
根据信息中的数据，该液体密度d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.6549 g/mL，所以是3号液体，对吗？
大部分学生认同这一观点，但仍有一些学生提出了质疑：这个数据看起来好像跟1号液体的密度也很接近，万一是数據不够精确导致的呢？万一该液体的体积不是刚刚好5.0 mL或者质量不是刚刚好3.2745 g呢？因为确实存在不同的学生在读取同样的位于量筒中的水的体积时得到的数据不一致的情况。学生自然讨论起来：“该液体的体积V与质量m均不是准确的数值，而是存在一定误差的。这个误差可能是读数引起的，也可能跟仪器本身的精度有关。”“V=5.0 mL，代表其体积可能正好是5.0 mL，也可能是5.1 mL，或者4.9 mL，即5 mL左右。”“V=5.0 mL中最后一位的‘0’是不准确的，存在一定的误差;同样的，质量m=3.2745 g中的最后一位数字‘5’也是不准确的。”
对此，教师引导：为了方便分析，我们不妨假设体积和质量均在最后一位产生“1”的误差，即体积V的真值范围是（5.0±0.1）mL，质量m的真值范围是（3.2745±0.0001）g。
学生据此计算得到该液体的密度范围，即密度的最小值dmin=（3.2745-0.0001） g（5.0+0.1） mL=0.6420 g/mL，最大值dmax=（3.2745+0.0001） g（5.0-0.1） mL=0.6683 g/mL。
可以看到，该液体的密度（单位：g/mL）在0.6420到0.6683之间，也就是说，该液体的密度在小数点后第2位就已经不准确了。那么，一开始计算得到的“准确值”0.6549也就不是准确值了，在第2位的“5”上面就已经有变化了，0.6549可能是0.6420，也可能是0.6683。既然这样，还有必要把该液体的密度写这么多位吗？既然0.6549中的“5”已经不准确了，后面的“49”还有意义吗？这么一讨论，学生会发现：原来只能保证计算数据中的“0.6”部分是确定的，而小数点后面第2位的“5”就已经存在不确定性了，那么计算时只需要保留到这一位就可以了，即d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.65g/mL。显然，这个计算结果无法确定该液体的类型。
顺着这个思路，学生发现，之所以不能确定结果，是因为测量太粗糙了，尤其是使用量筒来测量体积，误差太大了。教师顺势提问：那么，如果我们能够把体积测量得更加精确呢？假如同学B此时选用带刻度的移液管测量该液体体积，得到的体积数据为V=4.93 mL，其误差也产生在最后一位，同样为±0.01，此时我们能够确定该液体是几号液体吗？
经过与上面类似的计算过程，得到d=mV=3.2745 g4.93 mL=0.6642 g/mL，dmin=（3.2745-0.0001） g（4.93+0.01） mL=0.6628 g/mL，dmax=（3.2745+0.0001） g（4.93-0.01） mL=0.6656 g/mL。
这时，学生发现，能够保证准确的数据多了一位，而不确定的数据则是小数点后第3位及以后的数。对比表1中的密度数据，学生发现，该液体是5号液体。此时，有效数字的“效”就显现出来了——其对于实验结果的确定十分重要。
二、建构有效数字位数确定的方法
在教学过程中，细心的学生发现：密度计算结果中不确定数字的位置与体积、质量测量结果中不确定数字的位置是相关的。为了验证这一点，教师引导学生将体积测量值的有效数字推广到更多的位数（其计算结果如表2所示）。
那么，可以使用什么方式描述这种位置？有学生指出：可以使用小数点后第几位的描述方式。但是，稍加讨论就发现，这种方式好像不那么“正确”，因为如果把体积的单位调整为L，密度的单位相应地变为g/L，会有如表3所示的结果。因此，学生发现，使用该数据位于非零数字后面的位数更加合适。这样的讨论过程其实就是建构有效数字定义的过程。
三、分析有效数字的运算规则
更进一步地，学生把三个物理量数据的有效数字位数统计出来（如表4）后发现，有效数字在进行除法运算时似乎遵循如下规则：当体积的有效数字位数小于质量的有效数字位数时，密度的有效数字位数与体积的有效数字位数相等;当体积的有效数字位数等于或者大于质量的有效数字位数时，密度的有效数字位数就保持在质量的有效数字位数，即两个数据相除，商的有效数字的位数似乎取决于有效数字位数较少的那个数据。 这种规则是否普适呢？在很多关于有效数字运算规则的资料中，我们都可以看到类似的描述：“对于加减运算，以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据修约至与其相同，再进行加减运算，最终结果保留最少的位数。对于乘除运算，以有效数字最少的数据为基准，其他有效数字修约至相同，再进行乘除运算，结果仍保留最少的有效数字。”为什么不同的运算所遵循的规则不同（一个是小数点后位数最少，一个是有效数字最少）呢？这种规则有没有更加具有说服力的解释呢？
加减法的规则还比较容易理解。比如，当计算5.1+0.0123时，5.1表明小数点后第一位的数字“1”是不准确的，至少会有±0.1的误差，而0.0123的误差最大也就是±0.0009，两者相加的时候，后面的误差就可以忽略了，则最终结果的误差主要来源于小数点后面位数少的数据，所以只需要根据它来保留结果的有效数字即可。
那么，对于乘除法呢？根据对加减法的讨论，可以类比得出如下猜想：乘除运算结果的误差主要来源于有效数字最少的数据，而不是小数点后位数最少的数据。
有了這种思路，我们可以对有效数字的运算规则做理论一点的分析，具体如下：
对于加法而言，假设存在两个测量数据，分别为a与b，其误差分别为±Δa与±Δb，那么两者相加之后的计算值c=a+b的真实值应该落在cmin=a-Δa+b-Δb与cmax=a+Δa+b+Δb之间，误差Δc=Δa+Δb。当Δa≥Δb时，可以忽略掉Δb对最终误差Δc的影响，只需要考虑a的误差Δa。比如，当a =5.1，b=0.03时，Δa是0.1量级的误差，而Δb则是0.01量级的误差，此时只需要考虑a的误差Δa即可，也就是计算结果只需要保留至小数点后第一位，因为此时a =5.1产生的绝对误差决定了在小数点后第一位就产生了不确定的情况，也就没有必要考虑b=0.03在小数点后第二位产生的误差了。进一步地，加法运算产生的绝对误差是数据的绝对误差的传递（Δc=Δa+Δb），所以需要按照绝对误差较大的数据进行计算。减法的情况与加法类似，不再赘述。
对于乘法而言，假设存在两个测量数据分别为a与b，其误差分别为±Δa与±Δb，那么两者相乘之后的计算值c=ab的真实值应该落在cmin=（a-Δa）（b-Δb）与cmax=（a+Δa）（b+Δb）之间，误差Δc=（a+Δa）（b+Δb）-ab=aΔb+bΔa+ΔaΔb，其中ΔaΔb为二阶小量，可以忽略，则Δc=aΔb+bΔa。我们需要比较aΔb与bΔa的相对大小，两项同除ab得到Δaa与Δbb，则有效数字的位数决定了误差量级。比如，当a =1.32，b=512.3时，Δa是0.01量级的误差，Δaa的误差大概在0.011.32=1132的量级上，而Δb是0.1量级的误差，Δbb的误差大概在0.1512.3=15123的量级上，此时只需要考虑a的误差Δa即可，也就是计算结果需要根据a的有效数字位数决定。进一步地，乘法产生的相对误差是进行乘法运算的数据的相对误差的传递Δcc = Δaa+Δbb，感兴趣的读者可以自行推导，所以需要按照相对误差较大的数据进行计算。除法的情况与乘法类似，不再赘述。
参考文献：
[1] 保志明.让理科学习更理性——谈定量实验的考查[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（1）.
[2] John C. Kotz， Paul M. Treichel， John Townsend. Chemistry & Chemical Reactivity（8th edition） [M]. Belmont： ThomsonBrooks/Cole， 2011.
关键词：有效数字 实验数据处理 运算规则
实验学科中，实验数据的记录与处理有着非常重要的作用。在记录与处理实验数据时，常会遇到与有效数字相关的问题。有效数字是指实际能够测量到的数字，包括最后一位估计的、不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字称为可靠数字，把通过估读得到的数字称为存疑数字，把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字称为有效数字。
笔者在教学“化学实验数据的处理”时，重点突出了对有效数字的解读：首先，引导学生认识有效数字的重要性，探讨“处理数据时，不考虑有效数字会出现什么结果”;接着，建构有效数字位数确定的方法，帮助学生深刻理解有效数字的定义;最后，分析有效数字的运算规则，促进学生形成对有效数字的全面认知。具体教学过程如下：
一、认识有效数字的重要性
教师出示如下信息：
己烷（C6H14）存在5种同分异构体，均为液体，其结构与密度数据如下页表1所示。现有一瓶己烷液体，没有标出是哪种同分异构体。同学A用测量密度的方式确定其成分：用量筒量取了5.0 mL的该液体，使用分析天平称量出其质量为3.2745 g。
并提问：
根据信息中的数据，该液体密度d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.6549 g/mL，所以是3号液体，对吗？
大部分学生认同这一观点，但仍有一些学生提出了质疑：这个数据看起来好像跟1号液体的密度也很接近，万一是数據不够精确导致的呢？万一该液体的体积不是刚刚好5.0 mL或者质量不是刚刚好3.2745 g呢？因为确实存在不同的学生在读取同样的位于量筒中的水的体积时得到的数据不一致的情况。学生自然讨论起来：“该液体的体积V与质量m均不是准确的数值，而是存在一定误差的。这个误差可能是读数引起的，也可能跟仪器本身的精度有关。”“V=5.0 mL，代表其体积可能正好是5.0 mL，也可能是5.1 mL，或者4.9 mL，即5 mL左右。”“V=5.0 mL中最后一位的‘0’是不准确的，存在一定的误差;同样的，质量m=3.2745 g中的最后一位数字‘5’也是不准确的。”
对此，教师引导：为了方便分析，我们不妨假设体积和质量均在最后一位产生“1”的误差，即体积V的真值范围是（5.0±0.1）mL，质量m的真值范围是（3.2745±0.0001）g。
学生据此计算得到该液体的密度范围，即密度的最小值dmin=（3.2745-0.0001） g（5.0+0.1） mL=0.6420 g/mL，最大值dmax=（3.2745+0.0001） g（5.0-0.1） mL=0.6683 g/mL。
可以看到，该液体的密度（单位：g/mL）在0.6420到0.6683之间，也就是说，该液体的密度在小数点后第2位就已经不准确了。那么，一开始计算得到的“准确值”0.6549也就不是准确值了，在第2位的“5”上面就已经有变化了，0.6549可能是0.6420，也可能是0.6683。既然这样，还有必要把该液体的密度写这么多位吗？既然0.6549中的“5”已经不准确了，后面的“49”还有意义吗？这么一讨论，学生会发现：原来只能保证计算数据中的“0.6”部分是确定的，而小数点后面第2位的“5”就已经存在不确定性了，那么计算时只需要保留到这一位就可以了，即d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.65g/mL。显然，这个计算结果无法确定该液体的类型。
顺着这个思路，学生发现，之所以不能确定结果，是因为测量太粗糙了，尤其是使用量筒来测量体积，误差太大了。教师顺势提问：那么，如果我们能够把体积测量得更加精确呢？假如同学B此时选用带刻度的移液管测量该液体体积，得到的体积数据为V=4.93 mL，其误差也产生在最后一位，同样为±0.01，此时我们能够确定该液体是几号液体吗？
经过与上面类似的计算过程，得到d=mV=3.2745 g4.93 mL=0.6642 g/mL，dmin=（3.2745-0.0001） g（4.93+0.01） mL=0.6628 g/mL，dmax=（3.2745+0.0001） g（4.93-0.01） mL=0.6656 g/mL。
这时，学生发现，能够保证准确的数据多了一位，而不确定的数据则是小数点后第3位及以后的数。对比表1中的密度数据，学生发现，该液体是5号液体。此时，有效数字的“效”就显现出来了——其对于实验结果的确定十分重要。
二、建构有效数字位数确定的方法
在教学过程中，细心的学生发现：密度计算结果中不确定数字的位置与体积、质量测量结果中不确定数字的位置是相关的。为了验证这一点，教师引导学生将体积测量值的有效数字推广到更多的位数（其计算结果如表2所示）。
那么，可以使用什么方式描述这种位置？有学生指出：可以使用小数点后第几位的描述方式。但是，稍加讨论就发现，这种方式好像不那么“正确”，因为如果把体积的单位调整为L，密度的单位相应地变为g/L，会有如表3所示的结果。因此，学生发现，使用该数据位于非零数字后面的位数更加合适。这样的讨论过程其实就是建构有效数字定义的过程。
三、分析有效数字的运算规则
更进一步地，学生把三个物理量数据的有效数字位数统计出来（如表4）后发现，有效数字在进行除法运算时似乎遵循如下规则：当体积的有效数字位数小于质量的有效数字位数时，密度的有效数字位数与体积的有效数字位数相等;当体积的有效数字位数等于或者大于质量的有效数字位数时，密度的有效数字位数就保持在质量的有效数字位数，即两个数据相除，商的有效数字的位数似乎取决于有效数字位数较少的那个数据。 这种规则是否普适呢？在很多关于有效数字运算规则的资料中，我们都可以看到类似的描述：“对于加减运算，以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据修约至与其相同，再进行加减运算，最终结果保留最少的位数。对于乘除运算，以有效数字最少的数据为基准，其他有效数字修约至相同，再进行乘除运算，结果仍保留最少的有效数字。”为什么不同的运算所遵循的规则不同（一个是小数点后位数最少，一个是有效数字最少）呢？这种规则有没有更加具有说服力的解释呢？
加减法的规则还比较容易理解。比如，当计算5.1+0.0123时，5.1表明小数点后第一位的数字“1”是不准确的，至少会有±0.1的误差，而0.0123的误差最大也就是±0.0009，两者相加的时候，后面的误差就可以忽略了，则最终结果的误差主要来源于小数点后面位数少的数据，所以只需要根据它来保留结果的有效数字即可。
那么，对于乘除法呢？根据对加减法的讨论，可以类比得出如下猜想：乘除运算结果的误差主要来源于有效数字最少的数据，而不是小数点后位数最少的数据。
有了這种思路，我们可以对有效数字的运算规则做理论一点的分析，具体如下：
对于加法而言，假设存在两个测量数据，分别为a与b，其误差分别为±Δa与±Δb，那么两者相加之后的计算值c=a+b的真实值应该落在cmin=a-Δa+b-Δb与cmax=a+Δa+b+Δb之间，误差Δc=Δa+Δb。当Δa≥Δb时，可以忽略掉Δb对最终误差Δc的影响，只需要考虑a的误差Δa。比如，当a =5.1，b=0.03时，Δa是0.1量级的误差，而Δb则是0.01量级的误差，此时只需要考虑a的误差Δa即可，也就是计算结果只需要保留至小数点后第一位，因为此时a =5.1产生的绝对误差决定了在小数点后第一位就产生了不确定的情况，也就没有必要考虑b=0.03在小数点后第二位产生的误差了。进一步地，加法运算产生的绝对误差是数据的绝对误差的传递（Δc=Δa+Δb），所以需要按照绝对误差较大的数据进行计算。减法的情况与加法类似，不再赘述。
对于乘法而言，假设存在两个测量数据分别为a与b，其误差分别为±Δa与±Δb，那么两者相乘之后的计算值c=ab的真实值应该落在cmin=（a-Δa）（b-Δb）与cmax=（a+Δa）（b+Δb）之间，误差Δc=（a+Δa）（b+Δb）-ab=aΔb+bΔa+ΔaΔb，其中ΔaΔb为二阶小量，可以忽略，则Δc=aΔb+bΔa。我们需要比较aΔb与bΔa的相对大小，两项同除ab得到Δaa与Δbb，则有效数字的位数决定了误差量级。比如，当a =1.32，b=512.3时，Δa是0.01量级的误差，Δaa的误差大概在0.011.32=1132的量级上，而Δb是0.1量级的误差，Δbb的误差大概在0.1512.3=15123的量级上，此时只需要考虑a的误差Δa即可，也就是计算结果需要根据a的有效数字位数决定。进一步地，乘法产生的相对误差是进行乘法运算的数据的相对误差的传递Δcc = Δaa+Δbb，感兴趣的读者可以自行推导，所以需要按照相对误差较大的数据进行计算。除法的情况与乘法类似，不再赘述。
参考文献：
[1] 保志明.让理科学习更理性——谈定量实验的考查[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（1）.
[2] John C. Kotz， Paul M. Treichel， John Townsend. Chemistry & Chemical Reactivity（8th edition） [M]. Belmont： ThomsonBrooks/Cole， 2011.