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[摘 要] 大学教育教学线上教学在各个高校大面积开展。理论性较强的线性代数如何适应线上教学，线上教学如何提高学生的学习兴趣和积极性，给出一个极具使用背景的教学案例，提升学生的学习兴趣，加深他们对线性代数知识理解。
[关 键 词] 线性代数;教学案例;线上教学;向量内积
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）32-0232-02
一、背景
2019年末2020年初，大学纷纷拥抱线上教学，作为工科最基础的线性代数也不例外。
线性代数课程是理工科和经管类专业重要基础课程之一，教学内容包括线性方程组、矩阵、向量空间等。线性代数相关知识在现代信号处理、信息与通信技术、计算机图像处理等课程中均有广泛应用。线性代数课程也是理工科继续深造研究生矩阵论、随机矩阵和特殊矩阵的基础。
线性代数的向量空间对理工科学生而言理论较强、概念比较抽象，一时很难理解和接受。传统课堂教学学生理解都有一定难度，线上教学学生只学习视频而缺乏互动的情况下学生理解更困难。线上教学时，很多学生在学习向量空间、线性相关性、向量组极大线性无关组以及向量空间的基等概念时反映很难理解相关概念。线上教学缺乏对学生的有效督促、缺乏学生和教师的有效交流。在此情况下，怎样调动学生的学习积极性、怎么让枯燥乏味的概念生动起来是我们教育从业者应该思考和研究的问题。通过线性代数知识的简单实例可以增强学生的学习积极性，让枯燥乏味的概念鲜活起来。
二、线性代数在碎纸片的拼接复原问题中的应用案例
破碎文件拼接是很古老的问题之一，其在司法物证提取、历史文献修复特别是军事保密情报获取等领域均有重要应用。在信息技术不发达时拼接复原工作往往由人工完成，虽然准确率很高，但效率特别低。碎片数量巨大，人工拼接方法时效性很难满足人们对信息的要求，很难在短时间内完成任务。随着计算机信息技术的发展和成熟，科研人员试图开发碎纸片的自动拼接技术以提高拼接復原效率、满足实时性要求。
对来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切）的情况提供线性代数概念解释的绝佳案例。一张印刷文字文件只有纵切，也可以理解为将一张满是文字的图片沿着平行于边沿的方向分割成几个小图形，小图形的边界提供向量形象实例。原始切割图形见图1。
数字图片在计算机存储中就是线性代数研究对象矩阵。要想借助计算机信息技术处理碎纸片的拼接复原问题，首先就是将图片读成线性代数对象矩阵形式。imread命令可以实现图片转化为Matlab程序的矩阵。将图片转化为矩阵后，很容易提取每幅图的边界向量——每幅图的左边界向量和右边界向量。边界向量直观图见图2。
直观上看，第1幅图的右边界向量和其他幅图的左边界向量（第1幅图的右边界只可能和其他幅图的左边界链接起来）进行比较找到比较相似的向量。可以利用怎么评价两个向量相似的问题引出向量内积的概念。两个向量α、β的内积为：
考虑到向量模长的影响，可以用向量夹角的余弦值近似衡量两个向量的相似程度。两个向量越相似，则这两个向量的夹角越小;两个向量越不相似，夹角的余弦值越大。从而夹角余弦值的大小可以衡量向量的相似程度。也就是
碎纸片的左边界向量按列排列，右边界向量按行排列，可以得到任意两个向量的相似程度。从而得到相似度的矩阵，如图3所示。
选择相似程度矩阵比较大的值，进行拼接可得如下完整图形：
三、结论
目前，各个高校纷纷进行网上教学。针对理论性强，概念抽象的线性代数线上教学，鲜活有趣的实用案例可以增加学生的学习兴趣，加深学生对抽象概念的理解程度，加深学生对相关知识的理解和记忆。
参考文献：
[1]柏如海，董琬月，石莹，等.有效控制措施下新型冠状病毒流行趋势模拟[J].医学新知，2020，30（2）：94-98.
[2]郭空明，徐亚兰，朱应敏.线性代数线性方程组教学中的一个实用力学案例[J].教育教学论坛，2020（9）：266-267.
[3]霍敏霞，薛博桓.基于智能算法的破碎文件拼接复原技术的研究[J].计算机科学，2018，45（S1）：174-178.
◎编辑 张 俐
Practical Teaching Case of Linear Algebra Course
YOU Qing-shan
Abstract：The new coronavirus pneumonia that broke out in early 2020 had a profound and widespread impact on China and the world. University education and teaching are also deeply affected by it， online teaching is carried out in large areas in various universities. How theoretical linear algebra can adapt to online teaching and how online teaching can increase students’ interest and motivation in learning.
Keywords：linear algebra teaching; teaching case; online teaching; vector inner product
[关 键 词] 线性代数;教学案例;线上教学;向量内积
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）32-0232-02
一、背景
2019年末2020年初，大学纷纷拥抱线上教学，作为工科最基础的线性代数也不例外。
线性代数课程是理工科和经管类专业重要基础课程之一，教学内容包括线性方程组、矩阵、向量空间等。线性代数相关知识在现代信号处理、信息与通信技术、计算机图像处理等课程中均有广泛应用。线性代数课程也是理工科继续深造研究生矩阵论、随机矩阵和特殊矩阵的基础。
线性代数的向量空间对理工科学生而言理论较强、概念比较抽象，一时很难理解和接受。传统课堂教学学生理解都有一定难度，线上教学学生只学习视频而缺乏互动的情况下学生理解更困难。线上教学时，很多学生在学习向量空间、线性相关性、向量组极大线性无关组以及向量空间的基等概念时反映很难理解相关概念。线上教学缺乏对学生的有效督促、缺乏学生和教师的有效交流。在此情况下，怎样调动学生的学习积极性、怎么让枯燥乏味的概念生动起来是我们教育从业者应该思考和研究的问题。通过线性代数知识的简单实例可以增强学生的学习积极性，让枯燥乏味的概念鲜活起来。
二、线性代数在碎纸片的拼接复原问题中的应用案例
破碎文件拼接是很古老的问题之一，其在司法物证提取、历史文献修复特别是军事保密情报获取等领域均有重要应用。在信息技术不发达时拼接复原工作往往由人工完成，虽然准确率很高，但效率特别低。碎片数量巨大，人工拼接方法时效性很难满足人们对信息的要求，很难在短时间内完成任务。随着计算机信息技术的发展和成熟，科研人员试图开发碎纸片的自动拼接技术以提高拼接復原效率、满足实时性要求。
对来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切）的情况提供线性代数概念解释的绝佳案例。一张印刷文字文件只有纵切，也可以理解为将一张满是文字的图片沿着平行于边沿的方向分割成几个小图形，小图形的边界提供向量形象实例。原始切割图形见图1。
数字图片在计算机存储中就是线性代数研究对象矩阵。要想借助计算机信息技术处理碎纸片的拼接复原问题，首先就是将图片读成线性代数对象矩阵形式。imread命令可以实现图片转化为Matlab程序的矩阵。将图片转化为矩阵后，很容易提取每幅图的边界向量——每幅图的左边界向量和右边界向量。边界向量直观图见图2。
直观上看，第1幅图的右边界向量和其他幅图的左边界向量（第1幅图的右边界只可能和其他幅图的左边界链接起来）进行比较找到比较相似的向量。可以利用怎么评价两个向量相似的问题引出向量内积的概念。两个向量α、β的内积为：
考虑到向量模长的影响，可以用向量夹角的余弦值近似衡量两个向量的相似程度。两个向量越相似，则这两个向量的夹角越小;两个向量越不相似，夹角的余弦值越大。从而夹角余弦值的大小可以衡量向量的相似程度。也就是
碎纸片的左边界向量按列排列，右边界向量按行排列，可以得到任意两个向量的相似程度。从而得到相似度的矩阵，如图3所示。
选择相似程度矩阵比较大的值，进行拼接可得如下完整图形：
三、结论
目前，各个高校纷纷进行网上教学。针对理论性强，概念抽象的线性代数线上教学，鲜活有趣的实用案例可以增加学生的学习兴趣，加深学生对抽象概念的理解程度，加深学生对相关知识的理解和记忆。
参考文献：
[1]柏如海，董琬月，石莹，等.有效控制措施下新型冠状病毒流行趋势模拟[J].医学新知，2020，30（2）：94-98.
[2]郭空明，徐亚兰，朱应敏.线性代数线性方程组教学中的一个实用力学案例[J].教育教学论坛，2020（9）：266-267.
[3]霍敏霞，薛博桓.基于智能算法的破碎文件拼接复原技术的研究[J].计算机科学，2018，45（S1）：174-178.
◎编辑 张 俐
Practical Teaching Case of Linear Algebra Course
YOU Qing-shan
Abstract：The new coronavirus pneumonia that broke out in early 2020 had a profound and widespread impact on China and the world. University education and teaching are also deeply affected by it， online teaching is carried out in large areas in various universities. How theoretical linear algebra can adapt to online teaching and how online teaching can increase students’ interest and motivation in learning.
Keywords：linear algebra teaching; teaching case; online teaching; vector inner product