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【摘要】本文讨论了高等数学中的极限思想和逼近思想在统计学中的应用，分别获得核估计方法和局部多项式估计方法，从而指出在高等数学的教学中应注重和加强数学思想方法的教学，培养和提高学生的数学思维和创新能力.
【关键词】高等数学；统计学；核估计；局部多项式估计
一、引 言
高等数学作为普通高等学校的公共基础课，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力、创新能力以及提高学生的综合素质等方面都有着很大的作用.高等数学在高校基础课教学中具有举足轻重的地位，特别对于理工科学生，数学能力好不好关乎以后专业课的学习和学业的发展.然而，当前在高等数学的教学中往往忽视了课程里渗透的数学思想的教学或者没有将学习高等数学的思想提高到突出的地位;教学方式过于注重数学演绎证明和推理的严谨，忽视了“非严谨”推导和形象化、具体化语言、实例的应用，不能将隐含在数学知识中的数学思想方法进行提炼和分析.
高等数学的学习不仅是对基本知识的学习，更重要的是要对思想方法的理解、体会和掌握.所以高等数学的教学不仅仅是对基本概念、性质、定理等的讲授，而更重要的是对这些所体现出的数学思想方法的传授.这些思想方法才是高等数学的精髓.
现在我们国家正在提倡创新型国家建设，这其中更多的是科技创新.数学在科学技术创新中有着重要基础地位，在自然科学、社会科学等方面有广泛的应用，把数学与其他学科交叉，可创造出许多新的学科和新的理论.因此，在高等数学教学中注重对学生数学思想方法的培养，这对培养学生的创新能力有很大的益处.
二、高等数学中思想方法在统计学中的应用
下面讨论高等数学中思想方法与统计学中问题结合，创造性地提出了估计问题的新方法，得到新的理论.从而说明一个很小的知识点所折射出的思想方法在应用上的重要性.
1.核密度估计方法
在非参数估计中，概率密度函数f(x)的估计是一个问题.下面从导数定
义，可得到f(x)的核估计.我们知道，
f(x)=F(x)′=limh→0F(x+h)-F(x)h
=limh→0F(x+h)-F(x-h)2h.（1）
其中F(x)是f(x)的分布函数.
F(x)可由经验分布函数估计，
即F^(x)=Fn(x)=1n∑ni=1I(Xi≤x).（2）
由此f(x)的估计为f^=Fn(x+h)-Fn(x-h)2h.(3）
由式（2）可知f^(x)=12nh∑ni=1I(x-h≤Xi≤x+h).（4）
令对称核函数k(z)=12 当|z|≤1，
0否则，
则式（4）可表示为
f^(x)=1nh∑ni=1kXi-xh.（5）
此为f(x)的核估计量.这就给出了一种估计f(x)的方法，并且这个估计有很好的性质.由此，我们看到从一个小概念所蕴含的思想出发，可得到一个有用的估计方法.
2.局部多项式估计
如果一个函数高阶可微，由Taylor公式知道，这个函数可展开成一个多项式和一个高阶无穷小量之和，即这个函数可用一个多项式逼近.这就是函数逼近思想，用这种思想方法可得到非参数回归中一种估计方法——局部多项式估计.
设非参数回归模型为
Yj=g(Xj)+μj，j=1,2,…，n.（6）
其中g(•)未知且p阶可微，待估计，μi是误差.由Taylor公式，g(Xj)可用p阶多项式b0+b1(Xj-x)+…+bp(Xj-x)p逼近，即用这个多项式作为对g(Xj)的近似，其中b0=g(x),bi=g(i)(x)i!,i=1…,p，且未知.
在均方误差最小原则下，一个局部多项式核估计量使下面目标函数最小：
min{b0,b1,…，bp}∑nj=1(Yj-b0-b1(Xj-x)-…-bp(Xj-x)p)2×kXj-xh.（7）
令b^l表示使式（7）达到最小的bl(l=1,…,p)值，那么式（7）就是一个加权最小二乘问题.令xj=(1,(Xj-x),…,(Xj-x)p)′，则有
b^=(b^0,b^1,…,b^p)′=∑jxjx′jkXj-xh-1∑jxjYjk•Xj-xh.（8）
其中b^0=g^(x).从而，获得g(x)估计，并且这个估计有很好的性质.这种估计方法称为局部多项式估计.
三、结 语
导数与Taylor公式在高等数学中都是一个小的知识点，但是其中所蕴含的思想方法很重要，与统计学中的问题相结合，即将极限思想与非参数密度估计问题相结合和将逼近思想与非参数回归问题相结合，创造性地提出新的估计方法和新的理论.这些方法是非参数估计方法，在统计学中很重要，开辟了研究的一个新领域.
在高等数学中，这些思想方法看似比较简单，但是运用到其他问题中，与其他学科相结合，却有很大威力，能解决问题并能创造新的理论方法.这就是创新.
因此，在高等数学的教学中，不仅要讲授知识点，更要注重学生数学思维的培养和数学思想方法的传授，提高学生的数学素养和思维水平，使学生从根本上理解数学的真谛，掌握这些思想方法.这样，学生的分析能力和创造能力才有提高.目前，在高等数学的教学中这个方面教学还不足，需要加强.
【参考文献】
［1］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议［J］.数学教育学报，2000(5):4-6.
［2］李雯.浅谈高等数学教学中的策略［J］.教育理论与实践，2009(5):41-42.
［3］杨晨彦，吕瑜佩.浅析高等数学课程的教学改革［J］.数学学习与研究，2010（23）：4-5.
［4］Qi Li and Jeffrey Scott Rcine.Nonparametric Econometrics［M］.Princeton University Press,2007.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】高等数学；统计学；核估计；局部多项式估计
一、引 言
高等数学作为普通高等学校的公共基础课，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力、创新能力以及提高学生的综合素质等方面都有着很大的作用.高等数学在高校基础课教学中具有举足轻重的地位，特别对于理工科学生，数学能力好不好关乎以后专业课的学习和学业的发展.然而，当前在高等数学的教学中往往忽视了课程里渗透的数学思想的教学或者没有将学习高等数学的思想提高到突出的地位;教学方式过于注重数学演绎证明和推理的严谨，忽视了“非严谨”推导和形象化、具体化语言、实例的应用，不能将隐含在数学知识中的数学思想方法进行提炼和分析.
高等数学的学习不仅是对基本知识的学习，更重要的是要对思想方法的理解、体会和掌握.所以高等数学的教学不仅仅是对基本概念、性质、定理等的讲授，而更重要的是对这些所体现出的数学思想方法的传授.这些思想方法才是高等数学的精髓.
现在我们国家正在提倡创新型国家建设，这其中更多的是科技创新.数学在科学技术创新中有着重要基础地位，在自然科学、社会科学等方面有广泛的应用，把数学与其他学科交叉，可创造出许多新的学科和新的理论.因此，在高等数学教学中注重对学生数学思想方法的培养，这对培养学生的创新能力有很大的益处.
二、高等数学中思想方法在统计学中的应用
下面讨论高等数学中思想方法与统计学中问题结合，创造性地提出了估计问题的新方法，得到新的理论.从而说明一个很小的知识点所折射出的思想方法在应用上的重要性.
1.核密度估计方法
在非参数估计中，概率密度函数f(x)的估计是一个问题.下面从导数定
义，可得到f(x)的核估计.我们知道，
f(x)=F(x)′=limh→0F(x+h)-F(x)h
=limh→0F(x+h)-F(x-h)2h.（1）
其中F(x)是f(x)的分布函数.
F(x)可由经验分布函数估计，
即F^(x)=Fn(x)=1n∑ni=1I(Xi≤x).（2）
由此f(x)的估计为f^=Fn(x+h)-Fn(x-h)2h.(3）
由式（2）可知f^(x)=12nh∑ni=1I(x-h≤Xi≤x+h).（4）
令对称核函数k(z)=12 当|z|≤1，
0否则，
则式（4）可表示为
f^(x)=1nh∑ni=1kXi-xh.（5）
此为f(x)的核估计量.这就给出了一种估计f(x)的方法，并且这个估计有很好的性质.由此，我们看到从一个小概念所蕴含的思想出发，可得到一个有用的估计方法.
2.局部多项式估计
如果一个函数高阶可微，由Taylor公式知道，这个函数可展开成一个多项式和一个高阶无穷小量之和，即这个函数可用一个多项式逼近.这就是函数逼近思想，用这种思想方法可得到非参数回归中一种估计方法——局部多项式估计.
设非参数回归模型为
Yj=g(Xj)+μj，j=1,2,…，n.（6）
其中g(•)未知且p阶可微，待估计，μi是误差.由Taylor公式，g(Xj)可用p阶多项式b0+b1(Xj-x)+…+bp(Xj-x)p逼近，即用这个多项式作为对g(Xj)的近似，其中b0=g(x),bi=g(i)(x)i!,i=1…,p，且未知.
在均方误差最小原则下，一个局部多项式核估计量使下面目标函数最小：
min{b0,b1,…，bp}∑nj=1(Yj-b0-b1(Xj-x)-…-bp(Xj-x)p)2×kXj-xh.（7）
令b^l表示使式（7）达到最小的bl(l=1,…,p)值，那么式（7）就是一个加权最小二乘问题.令xj=(1,(Xj-x),…,(Xj-x)p)′，则有
b^=(b^0,b^1,…,b^p)′=∑jxjx′jkXj-xh-1∑jxjYjk•Xj-xh.（8）
其中b^0=g^(x).从而，获得g(x)估计，并且这个估计有很好的性质.这种估计方法称为局部多项式估计.
三、结 语
导数与Taylor公式在高等数学中都是一个小的知识点，但是其中所蕴含的思想方法很重要，与统计学中的问题相结合，即将极限思想与非参数密度估计问题相结合和将逼近思想与非参数回归问题相结合，创造性地提出新的估计方法和新的理论.这些方法是非参数估计方法，在统计学中很重要，开辟了研究的一个新领域.
在高等数学中，这些思想方法看似比较简单，但是运用到其他问题中，与其他学科相结合，却有很大威力，能解决问题并能创造新的理论方法.这就是创新.
因此，在高等数学的教学中，不仅要讲授知识点，更要注重学生数学思维的培养和数学思想方法的传授，提高学生的数学素养和思维水平，使学生从根本上理解数学的真谛，掌握这些思想方法.这样，学生的分析能力和创造能力才有提高.目前，在高等数学的教学中这个方面教学还不足，需要加强.
【参考文献】
［1］徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议［J］.数学教育学报，2000(5):4-6.
［2］李雯.浅谈高等数学教学中的策略［J］.教育理论与实践，2009(5):41-42.
［3］杨晨彦，吕瑜佩.浅析高等数学课程的教学改革［J］.数学学习与研究，2010（23）：4-5.
［4］Qi Li and Jeffrey Scott Rcine.Nonparametric Econometrics［M］.Princeton University Press,2007.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文