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（安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南232001）
摘要： 针对普通齿轮泵存在较大的不平衡径向力等问题，介绍了无啮合力齿轮泵的设计思想 、结构原理和特点,以无啮合力齿轮泵体积最小为目标建立无啮合力齿轮泵的优化数学模型,应用MATLAB优化工具箱进行无啮合力齿轮泵的结构参数优化设计，在满足约束条件下对其 主要参数进行运算，得出了优化结果，提高了设计精度和设计效率。
关键词：无啮合力齿轮泵；MATLAB；优化设计
中图分类号：TH325文献标识码：A[WT]文章编号：16721098(2008)02005104
Optimized Design of A Gear Pump without Meshforce
Based on MATLAB
ZHOU Yijun,LUAN Zhenhui,TANG Qiong
(School of Mechanical Engineering , Anhui University of Science and Technology ,Huainan Anhui 232001, China) Abstract: High unbalanced radial force and other problems occur in traditional g ear pumps.In the paper a gear pump without meshforce design idea,structure pr inciple and characteristics were presented. A optimized design mathematic algori thm aiming at minimum cubage of the gear pump was established.Its contracture p arameters were optimized with optimization toolbox in MATLAB.The primary parame ters were optimized by calculation on the condition of constraints satisfied. Th e design precision and efficiency were improved.
Key words:gear pump without meshforce; MATLAB; optimizeddesign
1结构原理
无啮合力齿轮泵是在齿轮传动与齿轮泵工作原理相结合的基础上提出的一种新型液压动力元 件， 其设计思想是将动力传递与吸排液分开设计， 使传递动力的啮合力由同步齿轮承担，而吸排液齿轮只承受液压力。 其结构原理如图1所示, 主要由传动轴1、 同步齿轮3、隔板 4、 吸排液齿轮(7)、 轴承5、 泵体6及前后泵盖等组成。 原动机动力由传动轴输入， 经 同 步齿轮传递给吸排液齿轮， 吸排液齿轮通过花键套装在传动轴上。 按照齿轮泵工作原理，一对吸排液齿轮可实现液体的吸入与排出。 因此， 吸排液齿轮只承受因吸排液而产生的 液压力［1］。[LL]1. 传动轴；2. 前盖；3. 同步齿轮；4. 隔板；5. 轴承
6. 泵体；(7). 吸排液齿轮；8. 后盖；9. 从动轴
图1无啮合力齿轮泵的结构原理对于普通齿轮泵，由于动力传递和吸排液共用同一对齿轮，使得齿轮（轴）上同时作用啮合 力和液压力，尤其是从动齿轮（轴），在啮合力与液压力的共同作用下，承受着很大的径向 载荷，致使支撑从动齿轮（轴）的轴承过早失效，并且随着齿轮泵工作压力的提高，从动齿 轮（轴）上的径向载荷也越大。提高齿轮泵的工作压力是齿轮泵的一个发展方向，而提高工 作压力所带来的问题是：① 轴承寿命大大缩短；② 泵泄漏加剧，容积效率下降。产生 这两个问题的根本原因在于齿轮上作用了不平衡的径向力，并且工作压力越高，径向力越大 。
国内外学者针对以上两个问题所进行的研究是：① 对齿轮泵的径向间隙进行补偿；②减小齿轮泵的径向液压力，如优化齿轮参数、缩小排液口尺寸等；③ 提高轴承承载能力 ，如采用复合材料滑动轴承代替滚针轴承等。但这些措施都没有从根本上解决问题。
对于无啮合力齿轮泵，采用将动力传递与吸排液分离的设计思想。传递动力的啮合力由同步 齿轮承担，其设计方法与一般的传动齿轮的设计方法相同，主要考虑轮齿的强度及齿面硬度 。液压力由吸排液齿轮承担，其设计方法以考虑齿轮精度、轮齿表面粗糙度及耐磨性为主， 其材料除了采用普通齿轮泵所选用的高性能合金钢以外，还可以采用普通钢材（经表面处理 ）、耐磨铸铁、陶瓷及高分子材料等。由于吸排液齿轮所受径向载荷降低，减小了齿顶圆与 泵体之间的间隙，提高了泵的容积效率，为齿轮泵的高压化创造了有利的条件。
无啮合力齿轮泵是作者在齿轮传动与齿轮泵工作原理相结合的基础上提出的一种新型液压动 力元件，目前，国内外尚无关于无啮合力齿轮泵的研究报告。
2结构优化设计
齿轮泵工作性能好坏直接影响到整个机械设备的工作效率，其结构设计显得非常重要，对于 无啮合力齿轮泵同样如此。为了提高无啮合力齿轮泵的性能，有必要对其进行结构的优化设 计。无啮合力齿轮泵中的一对吸排液齿轮是其关键零件,其基本参数是齿轮泵设计的开始， 也是其它零件设计的依据。设计齿轮泵时，按常规算法，经常要计算很多参数，尤其是齿轮 参数，工作量大且易出差错。运用Matlab优化工具箱对无啮合力齿轮泵的吸排液齿轮参数进 行优化，建立数学模型，在约束条件下，求解最优值。可以方便地对无啮合力齿轮泵进行优 化设计。
2.1目标函数
无啮合力齿轮泵的初始参数为理论排量q=50 mL/r、压力16 MPa、转速1 500 r/min，以无啮合力齿轮泵体积最小为目标。为了计算的 方便，以图2所示的截面积近似计算无啮合力齿轮泵的体积，则无啮合力齿轮泵的体积表达 式为
V=H(πR2+2Rmz)
式中：V为无啮合力齿轮泵的体积；H为泵体的轴向尺寸（仅考虑吸排液齿轮）；m为齿轮 模数；R为无啮合力齿轮泵齿轮齿顶圆半径；z为齿轮齿数。
图2无啮合力齿轮泵截面图
考虑齿轮根切涉及到齿轮变位，在这里采用“增一齿修正法”，即z用(z+1)代入计算， 则
V=H［πR2+2Rm(z+1)］
齿轮的宽度为B，无啮合力齿轮泵是采用浮动轴套进行轴向间隙补偿的，为计算简便，设 轴套的宽度近似等于B，故H=3B。
因此，选取m、z、B为设计变量，x=［x1,x2,x3］T=［m,z,B］T为设计 变量，故无啮合力齿轮泵优化设计的目标函数为
f(x)=V=[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x2+2)
2.2函数的约束条件
(1) 齿数、模数的约束条件由普通齿轮泵排量的近似公式q=2πzm2B可知，排量q与模数m的平方成正比，与 齿数z的一次方成正比。而反映齿轮泵结构大小的尺寸——齿轮分度圆直径（Df=mz）与m 、z的一次方成正比。所以在设计齿轮泵时，若要增大排量，采用增大模数的办法比增加 齿数更为有利。若要保持排量不变，要使泵的体积很小，则应增大模数并减小齿数。
减少齿数可减小泵的外形尺寸，但齿数也不能太少，否则不仅会使流量脉动严重，甚至会使 齿轮啮合的重叠系数ε＜1。用于工程机械及矿山机械的中高压和高压齿轮泵，对流量 的均匀性要求不是太高，但要求结构尺寸小、作用在齿轮上的径向力小，从而延长轴承的寿 命，就采用较少的齿数（z=9～15）［2］。齿轮最小齿数zmin应避免 产生严重根切。所以取
z≥8（1）
考虑到增大模数比减少齿数更有利，所以取
m≥2（2）
将式（1）、式（2）写成不等式的约束形式为
g1(x)=8-x2≤0（3）
g2(x)=2-x1≤0（4）
(2) 排量及其误差条件根据理论推导，无啮合力齿轮泵的理论排量为
qB=2πm2Bz（5）
用设计变量表示即为
qB=2πx21x2x3（6）
所以有
g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2πx21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （7）
(3) 轮齿强度约束由齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值得
g4(x)=σH-［σH］≤0(8)
g5(x)=σF-［σF］≤0(9)
接触应力σH和σF弯曲应力的计算公式分别为
σH=2.5ZuZE[KF(][SX(]2KT[]φdd[SX)][KF)](10)
σF=[SX(]2KTYFYS[]φdmz2[SX)](11)
式(10)～式(11)中： ［σH］为σH的许用值，取［σH ］=1 282.5 MPa；［σF］为σF的许用值，取［σH］=385.7 MPa；K 为载荷系数，取K=2.225；Zu为齿数比系数，Zu=[KF(][SX(]u+1[]u[SX)][KF )]=1.414；ZE为材料系数，取ZE=189.8；φd为齿宽系数，取φd=1；YF为齿形 系数，取YF=3；YS为齿根应力集中系数，取YS=1.5；T为传动扭矩，计算得T=137N•m。
将上述数值代入式(8)～式(9)中并化简可得
g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(12)
g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(13)
(4) 齿宽约束齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触精度，所以一般限制齿宽B＜9m
g6(x)=x3-9x1≤0(14)
(5) 齿顶圆齿厚约束齿轮泵采用正变位齿轮，齿顶趋于变尖，一般要求齿顶圆齿厚s满足：s≥0.15 m，即
g7(x)=0.15x1-s≤0(15)
由机械原理知s=πm/2，代入式(15)并化简可得
g7(x)=x1-4.71≤0(16)
无啮合力齿轮泵优化设计的数学模型写为如下优化函数形式
minf(x)=min｛[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x 2+2)｝(17)
g1(x)=8-x2≤0（18）
g2(x)=2-x1≤0（19）
g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2πx21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （20）
g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(21)
g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(22)
g6(x)=x3-9x1≤0(23)
g7(x)=x1-4.71≤0(24)
3用MATLAB优化求最优值
MATLAB优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规 划、二 次规划、最小二乘问题，非线性方程求解、多目标决策、最小最大问题，以及半无界问题等 的优化问题。其简洁的函数表达式、多种优化算法的任意选择、对算法参数的自由设置，可 使用户方便灵活地使用优化函数。本例中有3个设计变量，在设计中利用优化工具箱中的fim incon()函数求解多维约束的最小值问题。通过调用MATLAB最优化工具箱中的fmincon()函数 ，可用来解决同时存在等式约束及不等式约束时的最优化问题，即使实际优化问题无可行解 ，也会给出一个对约束的破坏影响最小的解［3］。
将不同的设计初始点代入优化设计程序，可得到优化设计结果如表1所示。
表1无啮合力齿轮泵优化结果
设计变量x1[]x2[]x3代表参数mz[]B[BHDWG2]最佳参数值[]5[]11[]29[BG)F]
目前，国内外尚无关于无啮合力齿轮泵的相关研究，因此表1的优化结果亦不具有可比性 。按“无啮合力泵的体积最小”作为优化目标来进行优化,可以达到使无啮合力齿轮泵的结 构紧凑、性价比高等目的。
4结论
本文应用MATLAB优化工具箱进行无啮合力齿轮泵结构参数优化设计，减小齿轮及齿轮 泵尺寸 、提高齿轮传动质量，编程工作量小，求解优化问题简单方便，提高了设计效率。同时，与 传统的求解结果相比，也提高了设计精度和可靠性。
参考文献：
［1］栾振辉,孙丽华.无啮合力齿轮泵［J］.煤矿机械,2002(1):4041.
［2］石喜富,栾振辉.复合齿轮泵的参数优化［J］.机械研究与应用,2002，15(1) :2224.
［3］薛定宇.科学运算语言MATLAB5.3程序设计与应用［M］.北京：清华大学出版 社，2000：193200.
［4］何存兴.液压元件［M］.北京：机械工业出版社,1985.
(责任编辑：李丽)
摘要： 针对普通齿轮泵存在较大的不平衡径向力等问题，介绍了无啮合力齿轮泵的设计思想 、结构原理和特点,以无啮合力齿轮泵体积最小为目标建立无啮合力齿轮泵的优化数学模型,应用MATLAB优化工具箱进行无啮合力齿轮泵的结构参数优化设计，在满足约束条件下对其 主要参数进行运算，得出了优化结果，提高了设计精度和设计效率。
关键词：无啮合力齿轮泵；MATLAB；优化设计
中图分类号：TH325文献标识码：A[WT]文章编号：16721098(2008)02005104
Optimized Design of A Gear Pump without Meshforce
Based on MATLAB
ZHOU Yijun,LUAN Zhenhui,TANG Qiong
(School of Mechanical Engineering , Anhui University of Science and Technology ,Huainan Anhui 232001, China) Abstract: High unbalanced radial force and other problems occur in traditional g ear pumps.In the paper a gear pump without meshforce design idea,structure pr inciple and characteristics were presented. A optimized design mathematic algori thm aiming at minimum cubage of the gear pump was established.Its contracture p arameters were optimized with optimization toolbox in MATLAB.The primary parame ters were optimized by calculation on the condition of constraints satisfied. Th e design precision and efficiency were improved.
Key words:gear pump without meshforce; MATLAB; optimizeddesign
1结构原理
无啮合力齿轮泵是在齿轮传动与齿轮泵工作原理相结合的基础上提出的一种新型液压动力元 件， 其设计思想是将动力传递与吸排液分开设计， 使传递动力的啮合力由同步齿轮承担，而吸排液齿轮只承受液压力。 其结构原理如图1所示, 主要由传动轴1、 同步齿轮3、隔板 4、 吸排液齿轮(7)、 轴承5、 泵体6及前后泵盖等组成。 原动机动力由传动轴输入， 经 同 步齿轮传递给吸排液齿轮， 吸排液齿轮通过花键套装在传动轴上。 按照齿轮泵工作原理，一对吸排液齿轮可实现液体的吸入与排出。 因此， 吸排液齿轮只承受因吸排液而产生的 液压力［1］。[LL]1. 传动轴；2. 前盖；3. 同步齿轮；4. 隔板；5. 轴承
6. 泵体；(7). 吸排液齿轮；8. 后盖；9. 从动轴
图1无啮合力齿轮泵的结构原理对于普通齿轮泵，由于动力传递和吸排液共用同一对齿轮，使得齿轮（轴）上同时作用啮合 力和液压力，尤其是从动齿轮（轴），在啮合力与液压力的共同作用下，承受着很大的径向 载荷，致使支撑从动齿轮（轴）的轴承过早失效，并且随着齿轮泵工作压力的提高，从动齿 轮（轴）上的径向载荷也越大。提高齿轮泵的工作压力是齿轮泵的一个发展方向，而提高工 作压力所带来的问题是：① 轴承寿命大大缩短；② 泵泄漏加剧，容积效率下降。产生 这两个问题的根本原因在于齿轮上作用了不平衡的径向力，并且工作压力越高，径向力越大 。
国内外学者针对以上两个问题所进行的研究是：① 对齿轮泵的径向间隙进行补偿；②减小齿轮泵的径向液压力，如优化齿轮参数、缩小排液口尺寸等；③ 提高轴承承载能力 ，如采用复合材料滑动轴承代替滚针轴承等。但这些措施都没有从根本上解决问题。
对于无啮合力齿轮泵，采用将动力传递与吸排液分离的设计思想。传递动力的啮合力由同步 齿轮承担，其设计方法与一般的传动齿轮的设计方法相同，主要考虑轮齿的强度及齿面硬度 。液压力由吸排液齿轮承担，其设计方法以考虑齿轮精度、轮齿表面粗糙度及耐磨性为主， 其材料除了采用普通齿轮泵所选用的高性能合金钢以外，还可以采用普通钢材（经表面处理 ）、耐磨铸铁、陶瓷及高分子材料等。由于吸排液齿轮所受径向载荷降低，减小了齿顶圆与 泵体之间的间隙，提高了泵的容积效率，为齿轮泵的高压化创造了有利的条件。
无啮合力齿轮泵是作者在齿轮传动与齿轮泵工作原理相结合的基础上提出的一种新型液压动 力元件，目前，国内外尚无关于无啮合力齿轮泵的研究报告。
2结构优化设计
齿轮泵工作性能好坏直接影响到整个机械设备的工作效率，其结构设计显得非常重要，对于 无啮合力齿轮泵同样如此。为了提高无啮合力齿轮泵的性能，有必要对其进行结构的优化设 计。无啮合力齿轮泵中的一对吸排液齿轮是其关键零件,其基本参数是齿轮泵设计的开始， 也是其它零件设计的依据。设计齿轮泵时，按常规算法，经常要计算很多参数，尤其是齿轮 参数，工作量大且易出差错。运用Matlab优化工具箱对无啮合力齿轮泵的吸排液齿轮参数进 行优化，建立数学模型，在约束条件下，求解最优值。可以方便地对无啮合力齿轮泵进行优 化设计。
2.1目标函数
无啮合力齿轮泵的初始参数为理论排量q=50 mL/r、压力16 MPa、转速1 500 r/min，以无啮合力齿轮泵体积最小为目标。为了计算的 方便，以图2所示的截面积近似计算无啮合力齿轮泵的体积，则无啮合力齿轮泵的体积表达 式为
V=H(πR2+2Rmz)
式中：V为无啮合力齿轮泵的体积；H为泵体的轴向尺寸（仅考虑吸排液齿轮）；m为齿轮 模数；R为无啮合力齿轮泵齿轮齿顶圆半径；z为齿轮齿数。
图2无啮合力齿轮泵截面图
考虑齿轮根切涉及到齿轮变位，在这里采用“增一齿修正法”，即z用(z+1)代入计算， 则
V=H［πR2+2Rm(z+1)］
齿轮的宽度为B，无啮合力齿轮泵是采用浮动轴套进行轴向间隙补偿的，为计算简便，设 轴套的宽度近似等于B，故H=3B。
因此，选取m、z、B为设计变量，x=［x1,x2,x3］T=［m,z,B］T为设计 变量，故无啮合力齿轮泵优化设计的目标函数为
f(x)=V=[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x2+2)
2.2函数的约束条件
(1) 齿数、模数的约束条件由普通齿轮泵排量的近似公式q=2πzm2B可知，排量q与模数m的平方成正比，与 齿数z的一次方成正比。而反映齿轮泵结构大小的尺寸——齿轮分度圆直径（Df=mz）与m 、z的一次方成正比。所以在设计齿轮泵时，若要增大排量，采用增大模数的办法比增加 齿数更为有利。若要保持排量不变，要使泵的体积很小，则应增大模数并减小齿数。
减少齿数可减小泵的外形尺寸，但齿数也不能太少，否则不仅会使流量脉动严重，甚至会使 齿轮啮合的重叠系数ε＜1。用于工程机械及矿山机械的中高压和高压齿轮泵，对流量 的均匀性要求不是太高，但要求结构尺寸小、作用在齿轮上的径向力小，从而延长轴承的寿 命，就采用较少的齿数（z=9～15）［2］。齿轮最小齿数zmin应避免 产生严重根切。所以取
z≥8（1）
考虑到增大模数比减少齿数更有利，所以取
m≥2（2）
将式（1）、式（2）写成不等式的约束形式为
g1(x)=8-x2≤0（3）
g2(x)=2-x1≤0（4）
(2) 排量及其误差条件根据理论推导，无啮合力齿轮泵的理论排量为
qB=2πm2Bz（5）
用设计变量表示即为
qB=2πx21x2x3（6）
所以有
g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2πx21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （7）
(3) 轮齿强度约束由齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值得
g4(x)=σH-［σH］≤0(8)
g5(x)=σF-［σF］≤0(9)
接触应力σH和σF弯曲应力的计算公式分别为
σH=2.5ZuZE[KF(][SX(]2KT[]φdd[SX)][KF)](10)
σF=[SX(]2KTYFYS[]φdmz2[SX)](11)
式(10)～式(11)中： ［σH］为σH的许用值，取［σH ］=1 282.5 MPa；［σF］为σF的许用值，取［σH］=385.7 MPa；K 为载荷系数，取K=2.225；Zu为齿数比系数，Zu=[KF(][SX(]u+1[]u[SX)][KF )]=1.414；ZE为材料系数，取ZE=189.8；φd为齿宽系数，取φd=1；YF为齿形 系数，取YF=3；YS为齿根应力集中系数，取YS=1.5；T为传动扭矩，计算得T=137N•m。
将上述数值代入式(8)～式(9)中并化简可得
g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(12)
g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(13)
(4) 齿宽约束齿宽过大会增大轴承负荷和增高齿面轴向接触精度，所以一般限制齿宽B＜9m
g6(x)=x3-9x1≤0(14)
(5) 齿顶圆齿厚约束齿轮泵采用正变位齿轮，齿顶趋于变尖，一般要求齿顶圆齿厚s满足：s≥0.15 m，即
g7(x)=0.15x1-s≤0(15)
由机械原理知s=πm/2，代入式(15)并化简可得
g7(x)=x1-4.71≤0(16)
无啮合力齿轮泵优化设计的数学模型写为如下优化函数形式
minf(x)=min｛[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x 2+2)｝(17)
g1(x)=8-x2≤0（18）
g2(x)=2-x1≤0（19）
g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2πx21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （20）
g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(21)
g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(22)
g6(x)=x3-9x1≤0(23)
g7(x)=x1-4.71≤0(24)
3用MATLAB优化求最优值
MATLAB优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。其内容涵盖线性规 划、二 次规划、最小二乘问题，非线性方程求解、多目标决策、最小最大问题，以及半无界问题等 的优化问题。其简洁的函数表达式、多种优化算法的任意选择、对算法参数的自由设置，可 使用户方便灵活地使用优化函数。本例中有3个设计变量，在设计中利用优化工具箱中的fim incon()函数求解多维约束的最小值问题。通过调用MATLAB最优化工具箱中的fmincon()函数 ，可用来解决同时存在等式约束及不等式约束时的最优化问题，即使实际优化问题无可行解 ，也会给出一个对约束的破坏影响最小的解［3］。
将不同的设计初始点代入优化设计程序，可得到优化设计结果如表1所示。
表1无啮合力齿轮泵优化结果
设计变量x1[]x2[]x3代表参数mz[]B[BHDWG2]最佳参数值[]5[]11[]29[BG)F]
目前，国内外尚无关于无啮合力齿轮泵的相关研究，因此表1的优化结果亦不具有可比性 。按“无啮合力泵的体积最小”作为优化目标来进行优化,可以达到使无啮合力齿轮泵的结 构紧凑、性价比高等目的。
4结论
本文应用MATLAB优化工具箱进行无啮合力齿轮泵结构参数优化设计，减小齿轮及齿轮 泵尺寸 、提高齿轮传动质量，编程工作量小，求解优化问题简单方便，提高了设计效率。同时，与 传统的求解结果相比，也提高了设计精度和可靠性。
参考文献：
［1］栾振辉,孙丽华.无啮合力齿轮泵［J］.煤矿机械,2002(1):4041.
［2］石喜富,栾振辉.复合齿轮泵的参数优化［J］.机械研究与应用,2002，15(1) :2224.
［3］薛定宇.科学运算语言MATLAB5.3程序设计与应用［M］.北京：清华大学出版 社，2000：193200.
［4］何存兴.液压元件［M］.北京：机械工业出版社,1985.
(责任编辑：李丽)