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【摘要】以“省教海探航”观摩课“探索直线平行的条件②”为思维承担载体，对数学推理进行适应性“组块编码”，包括在“画图”中建立“合情推理”、在“转图”中发展“抽象意识”、在“算图”中用好“心理原型”，突出观察分析、归纳运演、关系验证等推理水平特征，突破数学推理难学、难教的“瓶颈”和课堂“高冷”的思考格局.
【关键词】数学推理;组块编码;原型定向;抽象意识
文献研究显示：PISA2021测试框架最为显著的一个变化体现在“数学推理”[1]维度要素，侧重在数学推理的介绍及其与问题解决的关系.即数学推理包括演绎推理和归纳推理（合情推理），贯穿问题解决的全过程，所有数学活动的展开都围绕数学推理而进行.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，合情推理凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.为此，笔者以“提高数学推理水平”为目的，对数学推理进行适应性“组块编码”（见表1），包括在“画图”中建立“合情推理”、在“转图”中发展“抽象意识”、在“算图”中用好“心理原型”，突出观察分析、归纳计算（类比运演）、验证关系等推理水平特征的确立，进而实现“学好推理”的课程施教目标.
本文以省“教海探航”观摩课“探索直线平行的条件②”实验教学为例，展现初中阶段数学推理“组块编码”的积极意义以及提高学生数学推理水平的行动路径，促进抽象、推理和模型“三大能力”的进一步发展，突破数学推理难学、难教的“瓶颈”和课堂“高冷”的思考格局.1在“画图”中建立“合情推理”，突出“观察→分析”实验水平特征
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011）》）要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.”这里的“作图的道理”就是“言之成理”的意识（分析法），“保留作图痕迹”就是“落笔有据”（观察实验）的思维方式.譬如，用尺规作图“作一个角等于已知角”.其根据就是“三边对应相等的两个三角形全等”（SSS）;在“一般到特殊”思想的参与下，建立角平分線的抽象过程（即作∠AOB=∠BOC，由此可以抽象出OB是∠AOC的平分线），就是非常难得的“合情推理”.但现实教学过程中很少有老师能“用好”这样的影响人发展的课程资源，大多数老师就“照本宣科，读作法、画图形”.这样的教学行为是需要叫停的.因为，这样不能将画图过程转化为推理能力，这便是一种低效劳动，压缩学科育人的质量，影响学生的充分成长.
为此，有专家倡导初中数学概念就是“画出来”的观点（安徽名师工作室主持人汪洪潮老师）.尽管从系统论的高度看，这样的观点是有一定的认知局限的.但对于学生学好数学推理做出了不可替代的贡献，毕竟初中学生“算理算法水平>综合分析水平”.“画图”的意义不止于一般意义上的“感性地画”，更在于将“感性地画”转化为“理性地分析”，这就是“合情推理”.当然，“画图”本身就是为理性思考“探路”的，是通过“调用”缓存经验，发现“解决问题”的路径.“画图”至少涵盖三个层面的意义：一方面，画是为了观察、发现，因此画要“合情”;另一方面，画是为了“探寻路径”，因此画要“合理”;第三方面，画是为了“言之成理，落笔有据”，因此实验观察的认知行为方式要“合情合理”，方能提高学生数学推理“最近发展区水平”，能不断地促进推理水平到达“现有发展区”.
当然，数学推理帮助人们达到诸如说服自己相信特定数学主张、将某些数学思想整合成更连贯的整体等目的是一种有效路径.也就是说，学习推理不止于知识本身的价值，更在于形成推理的习惯，并能将“推理习惯”转化为“生活能力”.譬如，我们让学生经历画图、观察、实验获得“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的性质，需要基于“两点之间，线段最短”基本事实对发现的结论进行一种“证实”.这种证实过程行为就是推理的惯性思维，有助于学生养成预思、拟制、研判与决策等处理生活问题的行为习惯，这才是人生幸福的基本条件.因此推理的价值不止于逻辑表达，更在于建立“合情合理”运演的思考习惯.文献研究显示[2]，针对中国1923年至今，初中阶段的数学课程纲领性文件进行内容分析，发现其中关于数学推理论证的能力目标出现了4次“高峰”;并结合史料分析，解释了合情推理和论证推理在百余年教育思潮变化中呈现的“钟摆”现象;进而指出，在建立具有中国特色的数学课程体系的过程中，需要谋求合情推理与论证推理之间的平衡.所以在合情推理维度需要做好以下思考工作：一是通过“画图”，让学生建立合情感知和知觉概括;二是通过“观察实验”，让学生产生经验“调用”和合情分析的心理需要;三是通过“反问监控”，把“合情经验”转化为“客观结论”，并由此提高学生的逻辑推理水平.
实验教学清样执教者在“引进课题”维度，就是通过设置“画图反应块”（见图1），让学生在实验中形成合情意识、在观察中建立直线平行的事实性条件.进而在分析思维的参与下，产生探索直线平行条件的认知需要、造成认知冲突和平衡认知的迫切心理.营建这样的悱愤的认知心理状态，有助于“合情”心理经验的有效“调用”.
具体实验操作过程如下：
第一，就图1（1）来说，在转化思想的参与下，让学生将“一般”转化“特殊”，即∠DHG=∠BGF=55°，转化为∠1=∠2=90°.借助直尺的“垂直状态”，画出满足条件的图形，即AB∥CD.由此，获得基本事实：同位角相等，两直线平行.这是对课本操作的一种提升和转化，是学生深度学习课本的表现，有助于提高学生的认知合情能力.
第二，就图1（2）来说，这种画法是对小学阶段用“直尺和三角板”画平行线的经验调用（一放、二靠、三移、四画）与可逆思考.即通过构造∠DHG=∠BGF=55°条件，可以获得AB∥CD的结论.在观察、实验、知觉概括的条件下，可以获得基本事实“同位角相等，两直线平行”等这样的客观知识或精确结论，这本身就是一种合情知觉. 第三，就图1（3）来说，是学生的一种通用的客观认知行为，带有从“不同角度”看问题的积极意义，或许“换位思考”能力比“客观知识”的获得价值更大.因为学习数学本身的意义并不是目的，而是通过学习学科知识形成解决问题的思想方法，进而迁移到生活层面，并以此提高学科育人的能力.即在算理、算法的参与下，结合已知条件∠BGF=55°，根据“平角”的定义或者说是“邻补角”的定义可知∠HGB=125°.由此，画出∠EHD=∠HGB=125°，发现AB∥CD的结论，并概括出基本事实：同位角相等，两直线平行.这种将“图形语言”转化为“符号语言”或者“文字语言”的概括行为就是大尺度的逻辑推理，是学生“能言善辩”的思维基础.
另外，值得一提的是图1呈现的三种画法，是执教者对学生众多画法的一种共性概括.在“小老师”讲解的“目标过程”中，让学生体验基本事实的“合情性”.这种尊重学生认知心理水平的画图，提高了学生的合情水平和观察能力.如果说画图是一种合情感知，那么知觉概括是一种合情“探路”，则“三大语言”的转换是实验数学的本质，有助于学生在观察中实验，在分析中概括，并以此建立“合情合理”的思考格局.
數学活动一
如图，直线AB与EF交于点G，∠BGF=55°，点H在EF上，过点H画直线AB的平行线CD，你有哪些画法？
那么两条直线被第三条直线所截，满足怎样的条件才能平行？
2在“转图”中发展“抽象意识”，突出“归纳→运演”实验水平特征
“转图”是“用图”或“玩图”的可替代概念，是一种工具先行认知意识，能提高知识获得的质量.这种让学生在“玩中”抽象、在“用中”归纳、在“类比”中运演，是学生“学好数学”的有效的实践路径.譬如，从童年的风车的运动中，可以抽象出“中心对称图形”的本质属性，即旋转构造了“全等”;从“放风筝”活动中抽象出“轴对称图形”的概念属性;从“红双喜”“庆丰灯笼”“双鱼戏水”等生活事物形态，抽象出“轴对称”和“轴对称图形”关系等.这种从“整体到局部”的哲学思维方式，能提高学生的抽象意识，都是转图实验、用图实验和“玩好图形”的常见思维形式.这有助于学生发展“用数学的眼光看生活世界”的能力，既提高了抽象的意识，又提高了生活的适应能力.由此可见，数学抽象作为初中阶段学生六大核心素养之一，对人的成长是至关重要的和不可或缺的.当然，抽象需要“归纳方法体系”的有效配合，方能将“生活问题”转化为“数学问题”及其数学智慧.同时，任何经验的“转化、调用与化归”都需要运演，方能言之成理、落笔有据.
《课程标准（2011）》明确指出，要基于学生的已有经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.其中，这里的“抽象出数学问题”不止于从“应用中抽象、情境中抽象”，更在于从“学具、教具”的使用活动中抽象出概念和概念属性，并在概念辨别的思维条件下，“去概念的物理属性”，形成概念的本质.更进一步地说，把“人”抽象成线段，考虑的是有无端点（本质特征），不考虑线段的粗细（物理属性）.这样的从“生活到数学”、从“数学到数学”的过程就是抽象地推理，是学生学好数学的必备思维品质.当前，世界各个国家都重视“抽象地推理”的能力混合培养，力图提高数学育人的创造性功能.
譬如，美国的《州际核心数学课程标准》[3]将推理融入其8条数学实践标准中，要求学生能够“抽象化、量化地进行推理”“构建可行的论证并批判他人的推理”“以及在不断地推理中寻求表征规律”.用我们中国人的核心素养观念来看，这里的“抽象化”可以理解为“用数学地眼光观察生活世界”;“量化地推理”可以解释为归纳推理、类比推理、计算推理等“非完全运演”的思维方式;“可行的论证”就是常见的“由果索因、执因求果”的运演过程、“批判他人的推理”可以理解为“反例”，就像1723年欧拉发现225+1=641×6700417是一个合数，从而否定了费马的猜想（费马猜想，对于一切自然数n，22n+1都是质数）.这样的归纳推理的“目标过程”就属于计算推理的经典样例.另外，需要给于关注的是“表征规律”，这是一种抽象表达能力，是学生学好数学、生活幸福的“地气”.只有会表达、善于表达，方能成就创造，方能促进社会进步、科技进步、生产力发展.这一点，《课程标准（2011）》在“课程目标”维度给出明确要求，即“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.”由此可见，“学好表达”是人生成功的关键，是人生幸福的重要方面.
史宁中教授认为，“数学抽象”从表现形态和思维形态来看，需要经历“两次抽象”[4].即第一次是概念抽象，第二次是符号抽象.概念抽象就是一种合情抽象，而符号抽象就是一种归纳运演或类比运演.譬如，从帆船、自行车三脚架、红领巾抽象出“三角形”的概念，就是最常见的概念抽象方式;从“用火柴棒搭小鱼”活动中抽象出“火柴棒的根数S和搭小鱼的条数n之间的方程关系（S=6n+2）”就属于符号抽象，是一种常见的归纳运演思维方式.抽象意识不止于抽象、二次抽象，更在于抽象基础上的推理论证，方能建立概念的规范性与科学性.实证研究显示[5]：七年级学生对“关系内容”的掌握远比“概念内容”掌握好.教学设计要根据概念和概念性质有关的具体内容，创设合理的背景、提出适合的问题、启发学生的思考和感悟.为此，在设置“转图”活动中需要做好三个方面的工作，即第一，情境抽象（概念抽象），让学生“知其然，知其所以然”（落笔有据）;第二，符号抽象，将“图形语言”转化为“符号语言”，建立概念本质特征;第三，数学表达，将“计算运演”过程转化为“言之成理”的目标过程，这样的转图、用图、玩图活动，能让学生形成抽象意识、用好归纳运演，进而实现“言之成理，落笔有据”的课程目标.
实验教学清样执教者在“建立概念”维度，为“每一个”配备了同一规格的自制的“学具”，并以此设置了“转图”活动（见图2），力图让学生在“转图”过程中，在度量、猜想等物理行为参与下，理解直线平行的条件.以此通过逻辑运演，抽象出概念属性，并表征概念及其概念关系体系. 具体实验操作活动如下：
第一，从图2的学具转动过程来说，观摩课堂的师生做了以下几个方面的工作：（1）抽象出基本事实：“同位角相等，两直线平行”（见图2（1））;（2）确证“同位角不相等，两条直线不平行”数学论断;（3）在物理属性支配下，提出问题：“内错角相等，两条直线平行吗？”“同旁内角互补，两条直线平行吗？”（4）笔者认为，在学生获得“同位角相等，两直线平行”基本事实后，需要指出基本事实是一种客观经验、不需要证明，可以作为证明依据的.同时指出初中阶段需要掌握的基本事实总共9个（略）;到目前为止，已经研究了5个：即两点之间线段最短;两点确定一条直线;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;同位角相等，两条直线平行.这样的抽象与关联，才能让学生建立结构化知识体系.
第二，就问题（2）来说（见图2（2）），根据对顶角相等，可知∠1=∠3.结合题干条件，∠2=∠3，由此可得∠1=∠2.根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，不难知道AB∥CD的客观性.在补偿思维、隐含条件（对顶角相等）的参与下，让学生抽象概括的客观结论是“內错角相等，条直线平行”.这就是概念抽象运演的常见方式，有助于学生言之成理、落笔有据.
第三，就问题（3）来说（见图2（3）），根据“邻补角”的定义，可知∠1+∠3=180°.结合“题干条件”∠2+∠3=180°，可知∠1=∠2，理由是“同角的补角相等”.再根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，不难知道AB∥CD的客观性.在补偿思维、隐含条件（平角、邻补角的意义）的参与下，学生抽象概括出“同旁内角互补，两直线平行.”
我国《课程标准（2011）》提出“人人获得良好的数学教育”目标，体现了教育公平的原则;美国也提出了公平性原则;澳大利亚强调学习机会均等的原则.无论是“公平性”还是“机会均等”都需要教师设计好教学，方能让“每一个”上好学.“学具”的设计与使用、“转图”活动的展开，都体现教师为“教好数学”而作出的努力.转图本身不是目的，而是为了让抽象、推理变得简单、易学，实现“不同人获得不同的数学发展”.如果“转图”是一种概念抽象，那么从基本事实运演出判定定理是符号抽象，则把“图形语言”“符号语言”转化为“文字语言”是数学表达;如果教具的制作是一种大尺度抽象意识，则类比计算、归纳运演是感性推理上升为理性推理的“思维筹码”，是学生建立客观概念的思维秩序.
数学抽象
由基本事实可知：
①在图（1）中，如果∠1=∠2，那么AB∥CD.
②在图（2）中，如果∠2=∠3，那么AB∥CD？为什么？
③在图（3）中，如果∠1+∠2=180°，那么AB∥CD？为什么？
经历上述活动，你能得到哪些结论？
3在“算图”中用好“原型定向”，突出“验证→关系”实验水平特征
“算图”是初中阶段数学推理的一种基本方式，往往带有辩证性思维、创造性、研究与探索、多元性、模型化、结构性、系统性思维、变式及其反思等水平特征.其中，辩证性、创造性、探索性、研究性都属于一种事实性推理验证（证实），而多元、模型、结构、系统、变式与反思都属于一种关系性水平推理（结构定向）.譬如，在验证“勾股定理”的过程中，赵爽的弦图法、青朱出入图法、总统证法等都是通过拼图、算图，来验证概念关系的，突出概念关系的辩证性和创造性“证实”特征.而在研究函数模型（譬如，一次函数结构关系被刻画为y=kx+b，k、b为常数，且k≠0等）、方程模型、不等式模型的过程中“概念辨别”编码组块，往往需要定向结构，带有模型化、结构化、方法的多元化、思维的系统化以及变式反思、二次反思等“原型定向”特征.在这里需要指出的是“原型定向”的内涵属性，就是将专家头脑中高度约简的、简缩的、内潜的经验、方法、模型内化为学生的问题解决能力，也就是我们常说的学会“专家思维”.
因此，在“算图”中用好“原型定向”的意义重大，至少包括三个方面的含义.一方面，算图是一种猜想性心理倾向，带有创造性和探索性特征，有助于原型定向;另一方面，算图是一种证实思维的目标过程，有助于原型操作及其产生式形成;第三方面，算图是一种辩证性思维，既证实又证伪，有助于结构关系的建立和原型内化目标的实现.课本中的概念、法则、公式、基本事实以及定理都是大尺度的原型定向，而基本思想（局部到整体思想、特殊到一般思想等）、基本方法（类比化归、分类讨论等）、解题步骤（一元一次方程的解题步骤等）、实验步骤（摸几何体、折几何体、说几何体、制作几何体等思维流）、基本活动经验（用透明纸画图、叠合、验证平行线、垂线的“唯一性”，可以证实平行、垂直的基本事实）等程序性知识都属于原型操作的一部分.另外，学生能用“一提、二套、三分解”“平行线+角平分线=等腰三角形”等结构化方法体系来解决问题就是原型内化的表现.就这一认识来说，算图不止于“算”，更在于证实，及其客观知识结构的建立.
同时，需要指出的是，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.譬如，对话交流就是一种推理，是社会关系和谐的重要方面.俗话说：“会说撩人笑、不会说让人跳”就是人际关系是否和谐的表现.“学习数学就是要学习推理”[6]，在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是内容学习和目标达成的一条思维主线.“关系推理”是数学推理的主要方面，其本身就是一种原型定向，有助于学生将“知识结构”转化为良好的“认知结构”.Brodie认为数学推理是两个想法或数学概念之间构建的一条用以论证或解决问题的路径.用《课程标准（2011）》的话来说，论证和解决问题的路径就是“探索思路”，基于经验的合理就是“证明结论”.为此，在“算图”维度需要关注以下几个方面的问题，方能“用好原型”，定向已经习得的结构关系.一是，在“算图”中定向原型，落实学以致用目标;二是在“说图”中猜想验证，提高“言之成理”的用模能力;三是在“写图”中建立关系推理，提高综合运演的表达水平，提高解决问题的推理水平. 实验教学清样执教者在研究“用概念”推理模块，设置多元解法问题（见图3），力图让学生在问题解决过程中，通过猜想验证、定向解法原型，在关系推理的运演下，让学生“知其然，知其所以然和知其所不然”，并将“结构关系”转化为“认知结构”，将概念的“数学形态”转化为“教育形态”，进而内化原型、迁移经验.
具体实验操作过程如下：
在抽象、运演思维的参与下，在“独唱、合唱”行为的运作下，基于“猜想、验证”诸要素和要素关系的建立，学生达成的解法共识，可归结为三种.
方法一：就图3（1）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根据“同位角相等，两直线平行”的条件，可知b∥c.
方法二：就图3（2）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根据“内错角相等，两直线平行”的条件，可知b∥c.
方法三：就图3（3）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”的条件，可知b∥c.
数学活动二
已知a⊥b，a⊥c，能证出b∥c吗？为什么？
在怀特海看来，“教育不是往行李箱里塞满物品的过程.”证实和证伪是一个修正与输出的过程，任何客观结论的习得都需要经历“猜想、验证→概念关系”习得的一个内化和输出过程，方能将知识转化为能力、将经验上升为思想方法、将结构体系转化为数学智慧和生活能力.如果把“工具意识→概念关系”看成是原型定向，则多元推理方法的获得是一种猜想、算图与说图，有助于学生知道“要到哪里去和怎样到那里”（探索思路）.也就是说，证实的过程就是让学生在推理过程中建立“关系推理”各要素之间的联系，形成“手中握无限，霎那成永恒”的思考格局和结构化知识体系.其中，在辩证思维的条件下，“写图”的过程不只是“内化、输出”的过程，更是学会“专家思维”的具体表现.正如卢梭的观点，“爱弥儿的知识不多，我不是要教给他各种各样的知識，而是教给他在需要的时候怎样获取知识和追求知识的价值.”在实验数学维度，无论是猜想验证、还是关系推理不止于概念关系的获得、更在于将“原型定向”转化为结构表达.这就是“证实、证伪”的学科价值.
最后需要指出的是，数学推理组块编码的水平是一个辩证发展的过程，三个水平都遵循“最近发展区”原则，不同的学生“现有推理水平”发展区不同.只有尊重差异、因材施教，方能让不同学生获得不同的数学发展.因此，推理编码不止于画图、转图和写图，更在于抽象、推理和建模的有序发展.将“学好数学”上升为“学会生活”，将“学会推理”上升到“学会表达”才是最重要的，才是数学实验教育应有的育人宗旨.
文献参考
[1]李娜，赵京波，曹一鸣.基于PISA2021数学素养的数学推理与问题解决[J].课程·教材·教法，2020（4）：131-137.
[2]郑欣，程靖.20世纪以来中国数学课程标准中推理论证能力的变化及启示[J].数学教育学报，2019（3）：24-29.
[3]康玥媛.中国、美国、澳大利亚数学课程标准的国际比较与借鉴[J].教育科学研究，2019（9）：91-95.
[4]郑雪静，陈清华，王长平.基于测试的高中生数学抽象素养水平现状研究[J].数学教育学报，2017（6）：26-32.
[5]娜仁格日乐，史宁中.数学学科核心素养与初中数学内容之间的关系[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2019（6）：118-124.
[6]卓润昌.逻辑推理素养的培养关注与教学实施[J].福建中学数学，2020（11）：11-13.
【关键词】数学推理;组块编码;原型定向;抽象意识
文献研究显示：PISA2021测试框架最为显著的一个变化体现在“数学推理”[1]维度要素，侧重在数学推理的介绍及其与问题解决的关系.即数学推理包括演绎推理和归纳推理（合情推理），贯穿问题解决的全过程，所有数学活动的展开都围绕数学推理而进行.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，合情推理凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.为此，笔者以“提高数学推理水平”为目的，对数学推理进行适应性“组块编码”（见表1），包括在“画图”中建立“合情推理”、在“转图”中发展“抽象意识”、在“算图”中用好“心理原型”，突出观察分析、归纳计算（类比运演）、验证关系等推理水平特征的确立，进而实现“学好推理”的课程施教目标.
本文以省“教海探航”观摩课“探索直线平行的条件②”实验教学为例，展现初中阶段数学推理“组块编码”的积极意义以及提高学生数学推理水平的行动路径，促进抽象、推理和模型“三大能力”的进一步发展，突破数学推理难学、难教的“瓶颈”和课堂“高冷”的思考格局.1在“画图”中建立“合情推理”，突出“观察→分析”实验水平特征
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011）》）要求“在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.”这里的“作图的道理”就是“言之成理”的意识（分析法），“保留作图痕迹”就是“落笔有据”（观察实验）的思维方式.譬如，用尺规作图“作一个角等于已知角”.其根据就是“三边对应相等的两个三角形全等”（SSS）;在“一般到特殊”思想的参与下，建立角平分線的抽象过程（即作∠AOB=∠BOC，由此可以抽象出OB是∠AOC的平分线），就是非常难得的“合情推理”.但现实教学过程中很少有老师能“用好”这样的影响人发展的课程资源，大多数老师就“照本宣科，读作法、画图形”.这样的教学行为是需要叫停的.因为，这样不能将画图过程转化为推理能力，这便是一种低效劳动，压缩学科育人的质量，影响学生的充分成长.
为此，有专家倡导初中数学概念就是“画出来”的观点（安徽名师工作室主持人汪洪潮老师）.尽管从系统论的高度看，这样的观点是有一定的认知局限的.但对于学生学好数学推理做出了不可替代的贡献，毕竟初中学生“算理算法水平>综合分析水平”.“画图”的意义不止于一般意义上的“感性地画”，更在于将“感性地画”转化为“理性地分析”，这就是“合情推理”.当然，“画图”本身就是为理性思考“探路”的，是通过“调用”缓存经验，发现“解决问题”的路径.“画图”至少涵盖三个层面的意义：一方面，画是为了观察、发现，因此画要“合情”;另一方面，画是为了“探寻路径”，因此画要“合理”;第三方面，画是为了“言之成理，落笔有据”，因此实验观察的认知行为方式要“合情合理”，方能提高学生数学推理“最近发展区水平”，能不断地促进推理水平到达“现有发展区”.
当然，数学推理帮助人们达到诸如说服自己相信特定数学主张、将某些数学思想整合成更连贯的整体等目的是一种有效路径.也就是说，学习推理不止于知识本身的价值，更在于形成推理的习惯，并能将“推理习惯”转化为“生活能力”.譬如，我们让学生经历画图、观察、实验获得“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的性质，需要基于“两点之间，线段最短”基本事实对发现的结论进行一种“证实”.这种证实过程行为就是推理的惯性思维，有助于学生养成预思、拟制、研判与决策等处理生活问题的行为习惯，这才是人生幸福的基本条件.因此推理的价值不止于逻辑表达，更在于建立“合情合理”运演的思考习惯.文献研究显示[2]，针对中国1923年至今，初中阶段的数学课程纲领性文件进行内容分析，发现其中关于数学推理论证的能力目标出现了4次“高峰”;并结合史料分析，解释了合情推理和论证推理在百余年教育思潮变化中呈现的“钟摆”现象;进而指出，在建立具有中国特色的数学课程体系的过程中，需要谋求合情推理与论证推理之间的平衡.所以在合情推理维度需要做好以下思考工作：一是通过“画图”，让学生建立合情感知和知觉概括;二是通过“观察实验”，让学生产生经验“调用”和合情分析的心理需要;三是通过“反问监控”，把“合情经验”转化为“客观结论”，并由此提高学生的逻辑推理水平.
实验教学清样执教者在“引进课题”维度，就是通过设置“画图反应块”（见图1），让学生在实验中形成合情意识、在观察中建立直线平行的事实性条件.进而在分析思维的参与下，产生探索直线平行条件的认知需要、造成认知冲突和平衡认知的迫切心理.营建这样的悱愤的认知心理状态，有助于“合情”心理经验的有效“调用”.
具体实验操作过程如下：
第一，就图1（1）来说，在转化思想的参与下，让学生将“一般”转化“特殊”，即∠DHG=∠BGF=55°，转化为∠1=∠2=90°.借助直尺的“垂直状态”，画出满足条件的图形，即AB∥CD.由此，获得基本事实：同位角相等，两直线平行.这是对课本操作的一种提升和转化，是学生深度学习课本的表现，有助于提高学生的认知合情能力.
第二，就图1（2）来说，这种画法是对小学阶段用“直尺和三角板”画平行线的经验调用（一放、二靠、三移、四画）与可逆思考.即通过构造∠DHG=∠BGF=55°条件，可以获得AB∥CD的结论.在观察、实验、知觉概括的条件下，可以获得基本事实“同位角相等，两直线平行”等这样的客观知识或精确结论，这本身就是一种合情知觉. 第三，就图1（3）来说，是学生的一种通用的客观认知行为，带有从“不同角度”看问题的积极意义，或许“换位思考”能力比“客观知识”的获得价值更大.因为学习数学本身的意义并不是目的，而是通过学习学科知识形成解决问题的思想方法，进而迁移到生活层面，并以此提高学科育人的能力.即在算理、算法的参与下，结合已知条件∠BGF=55°，根据“平角”的定义或者说是“邻补角”的定义可知∠HGB=125°.由此，画出∠EHD=∠HGB=125°，发现AB∥CD的结论，并概括出基本事实：同位角相等，两直线平行.这种将“图形语言”转化为“符号语言”或者“文字语言”的概括行为就是大尺度的逻辑推理，是学生“能言善辩”的思维基础.
另外，值得一提的是图1呈现的三种画法，是执教者对学生众多画法的一种共性概括.在“小老师”讲解的“目标过程”中，让学生体验基本事实的“合情性”.这种尊重学生认知心理水平的画图，提高了学生的合情水平和观察能力.如果说画图是一种合情感知，那么知觉概括是一种合情“探路”，则“三大语言”的转换是实验数学的本质，有助于学生在观察中实验，在分析中概括，并以此建立“合情合理”的思考格局.
數学活动一
如图，直线AB与EF交于点G，∠BGF=55°，点H在EF上，过点H画直线AB的平行线CD，你有哪些画法？
那么两条直线被第三条直线所截，满足怎样的条件才能平行？
2在“转图”中发展“抽象意识”，突出“归纳→运演”实验水平特征
“转图”是“用图”或“玩图”的可替代概念，是一种工具先行认知意识，能提高知识获得的质量.这种让学生在“玩中”抽象、在“用中”归纳、在“类比”中运演，是学生“学好数学”的有效的实践路径.譬如，从童年的风车的运动中，可以抽象出“中心对称图形”的本质属性，即旋转构造了“全等”;从“放风筝”活动中抽象出“轴对称图形”的概念属性;从“红双喜”“庆丰灯笼”“双鱼戏水”等生活事物形态，抽象出“轴对称”和“轴对称图形”关系等.这种从“整体到局部”的哲学思维方式，能提高学生的抽象意识，都是转图实验、用图实验和“玩好图形”的常见思维形式.这有助于学生发展“用数学的眼光看生活世界”的能力，既提高了抽象的意识，又提高了生活的适应能力.由此可见，数学抽象作为初中阶段学生六大核心素养之一，对人的成长是至关重要的和不可或缺的.当然，抽象需要“归纳方法体系”的有效配合，方能将“生活问题”转化为“数学问题”及其数学智慧.同时，任何经验的“转化、调用与化归”都需要运演，方能言之成理、落笔有据.
《课程标准（2011）》明确指出，要基于学生的已有经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.其中，这里的“抽象出数学问题”不止于从“应用中抽象、情境中抽象”，更在于从“学具、教具”的使用活动中抽象出概念和概念属性，并在概念辨别的思维条件下，“去概念的物理属性”，形成概念的本质.更进一步地说，把“人”抽象成线段，考虑的是有无端点（本质特征），不考虑线段的粗细（物理属性）.这样的从“生活到数学”、从“数学到数学”的过程就是抽象地推理，是学生学好数学的必备思维品质.当前，世界各个国家都重视“抽象地推理”的能力混合培养，力图提高数学育人的创造性功能.
譬如，美国的《州际核心数学课程标准》[3]将推理融入其8条数学实践标准中，要求学生能够“抽象化、量化地进行推理”“构建可行的论证并批判他人的推理”“以及在不断地推理中寻求表征规律”.用我们中国人的核心素养观念来看，这里的“抽象化”可以理解为“用数学地眼光观察生活世界”;“量化地推理”可以解释为归纳推理、类比推理、计算推理等“非完全运演”的思维方式;“可行的论证”就是常见的“由果索因、执因求果”的运演过程、“批判他人的推理”可以理解为“反例”，就像1723年欧拉发现225+1=641×6700417是一个合数，从而否定了费马的猜想（费马猜想，对于一切自然数n，22n+1都是质数）.这样的归纳推理的“目标过程”就属于计算推理的经典样例.另外，需要给于关注的是“表征规律”，这是一种抽象表达能力，是学生学好数学、生活幸福的“地气”.只有会表达、善于表达，方能成就创造，方能促进社会进步、科技进步、生产力发展.这一点，《课程标准（2011）》在“课程目标”维度给出明确要求，即“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.”由此可见，“学好表达”是人生成功的关键，是人生幸福的重要方面.
史宁中教授认为，“数学抽象”从表现形态和思维形态来看，需要经历“两次抽象”[4].即第一次是概念抽象，第二次是符号抽象.概念抽象就是一种合情抽象，而符号抽象就是一种归纳运演或类比运演.譬如，从帆船、自行车三脚架、红领巾抽象出“三角形”的概念，就是最常见的概念抽象方式;从“用火柴棒搭小鱼”活动中抽象出“火柴棒的根数S和搭小鱼的条数n之间的方程关系（S=6n+2）”就属于符号抽象，是一种常见的归纳运演思维方式.抽象意识不止于抽象、二次抽象，更在于抽象基础上的推理论证，方能建立概念的规范性与科学性.实证研究显示[5]：七年级学生对“关系内容”的掌握远比“概念内容”掌握好.教学设计要根据概念和概念性质有关的具体内容，创设合理的背景、提出适合的问题、启发学生的思考和感悟.为此，在设置“转图”活动中需要做好三个方面的工作，即第一，情境抽象（概念抽象），让学生“知其然，知其所以然”（落笔有据）;第二，符号抽象，将“图形语言”转化为“符号语言”，建立概念本质特征;第三，数学表达，将“计算运演”过程转化为“言之成理”的目标过程，这样的转图、用图、玩图活动，能让学生形成抽象意识、用好归纳运演，进而实现“言之成理，落笔有据”的课程目标.
实验教学清样执教者在“建立概念”维度，为“每一个”配备了同一规格的自制的“学具”，并以此设置了“转图”活动（见图2），力图让学生在“转图”过程中，在度量、猜想等物理行为参与下，理解直线平行的条件.以此通过逻辑运演，抽象出概念属性，并表征概念及其概念关系体系. 具体实验操作活动如下：
第一，从图2的学具转动过程来说，观摩课堂的师生做了以下几个方面的工作：（1）抽象出基本事实：“同位角相等，两直线平行”（见图2（1））;（2）确证“同位角不相等，两条直线不平行”数学论断;（3）在物理属性支配下，提出问题：“内错角相等，两条直线平行吗？”“同旁内角互补，两条直线平行吗？”（4）笔者认为，在学生获得“同位角相等，两直线平行”基本事实后，需要指出基本事实是一种客观经验、不需要证明，可以作为证明依据的.同时指出初中阶段需要掌握的基本事实总共9个（略）;到目前为止，已经研究了5个：即两点之间线段最短;两点确定一条直线;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;同位角相等，两条直线平行.这样的抽象与关联，才能让学生建立结构化知识体系.
第二，就问题（2）来说（见图2（2）），根据对顶角相等，可知∠1=∠3.结合题干条件，∠2=∠3，由此可得∠1=∠2.根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，不难知道AB∥CD的客观性.在补偿思维、隐含条件（对顶角相等）的参与下，让学生抽象概括的客观结论是“內错角相等，条直线平行”.这就是概念抽象运演的常见方式，有助于学生言之成理、落笔有据.
第三，就问题（3）来说（见图2（3）），根据“邻补角”的定义，可知∠1+∠3=180°.结合“题干条件”∠2+∠3=180°，可知∠1=∠2，理由是“同角的补角相等”.再根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，不难知道AB∥CD的客观性.在补偿思维、隐含条件（平角、邻补角的意义）的参与下，学生抽象概括出“同旁内角互补，两直线平行.”
我国《课程标准（2011）》提出“人人获得良好的数学教育”目标，体现了教育公平的原则;美国也提出了公平性原则;澳大利亚强调学习机会均等的原则.无论是“公平性”还是“机会均等”都需要教师设计好教学，方能让“每一个”上好学.“学具”的设计与使用、“转图”活动的展开，都体现教师为“教好数学”而作出的努力.转图本身不是目的，而是为了让抽象、推理变得简单、易学，实现“不同人获得不同的数学发展”.如果“转图”是一种概念抽象，那么从基本事实运演出判定定理是符号抽象，则把“图形语言”“符号语言”转化为“文字语言”是数学表达;如果教具的制作是一种大尺度抽象意识，则类比计算、归纳运演是感性推理上升为理性推理的“思维筹码”，是学生建立客观概念的思维秩序.
数学抽象
由基本事实可知：
①在图（1）中，如果∠1=∠2，那么AB∥CD.
②在图（2）中，如果∠2=∠3，那么AB∥CD？为什么？
③在图（3）中，如果∠1+∠2=180°，那么AB∥CD？为什么？
经历上述活动，你能得到哪些结论？
3在“算图”中用好“原型定向”，突出“验证→关系”实验水平特征
“算图”是初中阶段数学推理的一种基本方式，往往带有辩证性思维、创造性、研究与探索、多元性、模型化、结构性、系统性思维、变式及其反思等水平特征.其中，辩证性、创造性、探索性、研究性都属于一种事实性推理验证（证实），而多元、模型、结构、系统、变式与反思都属于一种关系性水平推理（结构定向）.譬如，在验证“勾股定理”的过程中，赵爽的弦图法、青朱出入图法、总统证法等都是通过拼图、算图，来验证概念关系的，突出概念关系的辩证性和创造性“证实”特征.而在研究函数模型（譬如，一次函数结构关系被刻画为y=kx+b，k、b为常数，且k≠0等）、方程模型、不等式模型的过程中“概念辨别”编码组块，往往需要定向结构，带有模型化、结构化、方法的多元化、思维的系统化以及变式反思、二次反思等“原型定向”特征.在这里需要指出的是“原型定向”的内涵属性，就是将专家头脑中高度约简的、简缩的、内潜的经验、方法、模型内化为学生的问题解决能力，也就是我们常说的学会“专家思维”.
因此，在“算图”中用好“原型定向”的意义重大，至少包括三个方面的含义.一方面，算图是一种猜想性心理倾向，带有创造性和探索性特征，有助于原型定向;另一方面，算图是一种证实思维的目标过程，有助于原型操作及其产生式形成;第三方面，算图是一种辩证性思维，既证实又证伪，有助于结构关系的建立和原型内化目标的实现.课本中的概念、法则、公式、基本事实以及定理都是大尺度的原型定向，而基本思想（局部到整体思想、特殊到一般思想等）、基本方法（类比化归、分类讨论等）、解题步骤（一元一次方程的解题步骤等）、实验步骤（摸几何体、折几何体、说几何体、制作几何体等思维流）、基本活动经验（用透明纸画图、叠合、验证平行线、垂线的“唯一性”，可以证实平行、垂直的基本事实）等程序性知识都属于原型操作的一部分.另外，学生能用“一提、二套、三分解”“平行线+角平分线=等腰三角形”等结构化方法体系来解决问题就是原型内化的表现.就这一认识来说，算图不止于“算”，更在于证实，及其客观知识结构的建立.
同时，需要指出的是，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.譬如，对话交流就是一种推理，是社会关系和谐的重要方面.俗话说：“会说撩人笑、不会说让人跳”就是人际关系是否和谐的表现.“学习数学就是要学习推理”[6]，在整个义务教育阶段，对学生推理能力的培养是内容学习和目标达成的一条思维主线.“关系推理”是数学推理的主要方面，其本身就是一种原型定向，有助于学生将“知识结构”转化为良好的“认知结构”.Brodie认为数学推理是两个想法或数学概念之间构建的一条用以论证或解决问题的路径.用《课程标准（2011）》的话来说，论证和解决问题的路径就是“探索思路”，基于经验的合理就是“证明结论”.为此，在“算图”维度需要关注以下几个方面的问题，方能“用好原型”，定向已经习得的结构关系.一是，在“算图”中定向原型，落实学以致用目标;二是在“说图”中猜想验证，提高“言之成理”的用模能力;三是在“写图”中建立关系推理，提高综合运演的表达水平，提高解决问题的推理水平. 实验教学清样执教者在研究“用概念”推理模块，设置多元解法问题（见图3），力图让学生在问题解决过程中，通过猜想验证、定向解法原型，在关系推理的运演下，让学生“知其然，知其所以然和知其所不然”，并将“结构关系”转化为“认知结构”，将概念的“数学形态”转化为“教育形态”，进而内化原型、迁移经验.
具体实验操作过程如下：
在抽象、运演思维的参与下，在“独唱、合唱”行为的运作下，基于“猜想、验证”诸要素和要素关系的建立，学生达成的解法共识，可归结为三种.
方法一：就图3（1）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根据“同位角相等，两直线平行”的条件，可知b∥c.
方法二：就图3（2）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1=∠2=90°，根据“内错角相等，两直线平行”的条件，可知b∥c.
方法三：就图3（3）来说，因为a⊥c，所以∠1=90°;因为a⊥b，所以∠2=90°.所以∠1+∠2=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”的条件，可知b∥c.
数学活动二
已知a⊥b，a⊥c，能证出b∥c吗？为什么？
在怀特海看来，“教育不是往行李箱里塞满物品的过程.”证实和证伪是一个修正与输出的过程，任何客观结论的习得都需要经历“猜想、验证→概念关系”习得的一个内化和输出过程，方能将知识转化为能力、将经验上升为思想方法、将结构体系转化为数学智慧和生活能力.如果把“工具意识→概念关系”看成是原型定向，则多元推理方法的获得是一种猜想、算图与说图，有助于学生知道“要到哪里去和怎样到那里”（探索思路）.也就是说，证实的过程就是让学生在推理过程中建立“关系推理”各要素之间的联系，形成“手中握无限，霎那成永恒”的思考格局和结构化知识体系.其中，在辩证思维的条件下，“写图”的过程不只是“内化、输出”的过程，更是学会“专家思维”的具体表现.正如卢梭的观点，“爱弥儿的知识不多，我不是要教给他各种各样的知識，而是教给他在需要的时候怎样获取知识和追求知识的价值.”在实验数学维度，无论是猜想验证、还是关系推理不止于概念关系的获得、更在于将“原型定向”转化为结构表达.这就是“证实、证伪”的学科价值.
最后需要指出的是，数学推理组块编码的水平是一个辩证发展的过程，三个水平都遵循“最近发展区”原则，不同的学生“现有推理水平”发展区不同.只有尊重差异、因材施教，方能让不同学生获得不同的数学发展.因此，推理编码不止于画图、转图和写图，更在于抽象、推理和建模的有序发展.将“学好数学”上升为“学会生活”，将“学会推理”上升到“学会表达”才是最重要的，才是数学实验教育应有的育人宗旨.
文献参考
[1]李娜，赵京波，曹一鸣.基于PISA2021数学素养的数学推理与问题解决[J].课程·教材·教法，2020（4）：131-137.
[2]郑欣，程靖.20世纪以来中国数学课程标准中推理论证能力的变化及启示[J].数学教育学报，2019（3）：24-29.
[3]康玥媛.中国、美国、澳大利亚数学课程标准的国际比较与借鉴[J].教育科学研究，2019（9）：91-95.
[4]郑雪静，陈清华，王长平.基于测试的高中生数学抽象素养水平现状研究[J].数学教育学报，2017（6）：26-32.
[5]娜仁格日乐，史宁中.数学学科核心素养与初中数学内容之间的关系[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2019（6）：118-124.
[6]卓润昌.逻辑推理素养的培养关注与教学实施[J].福建中学数学，2020（11）：11-13.