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摘要：在数学学习过程中，面对题目中已知条件的错误，是轻描淡写还是深究深挖；面对学生在解题过程中的失误，是直接给出答案还是引导探索；面对题目解答出现答案“超纲”的情况，是让其放弃还是迎难而上． 本文就数学教学案例中出现的错误，结合以上情况谈一谈学生的数学学习策略．
关键词：探究；学习策略；错误
[⇩]提出问题
数学学习策略是学习者在一定的教学情境下，针对一定的学习任务，根据学习的一般规则，主动对学习的程序、工具及方法进行有效操作，从而提高学习质量和效率的一种操作对策系统． 在数学学习过程中，经常听到教师这样对学生说：“这道题别做，题目错了”“这道题不会做的同学对一下答案，按答案来做”“这道题不要了，超纲了，不会考的”． 面对这样的情况，我们应该如何从这些问题入手，引导学生从题目中观察、发现、探究学习，是一个值得思考的课题．
探究学习作为《数学课程标准》倡导的重要学习方式之一，已成为当前数学课堂一道亮丽的风景线． 著名数学教育家波利亚指出：“学习知识的最佳途径是自己去发现． 因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系．”
[⇩]个案分析
1. 正视题目的错误，探究起死回生术
在教学中遇到错误的题目时，教师往往束手无策，一紧张，就会轻易下结论：“这道题题目可能有错，不要去做了．” 或者采取一种“有效”的办法：“把相关的概念、定理、定义用上，肯定能做的． 好好思考一下．” 结果是学生在一片茫然中将其束之高阁，不了了之．
案例1
题目如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是中位线MN上的任意一点，BE过点D交边AC于点E，CF过点D交边AB于点F，+=6，求△ABC的边长．
[A][E][N][C][D][F][M][B]
图1
学生：由MN//BC，所以=，=，由MN是中位线，所以MN=BC． 由MD+DN=MN ，所以+===，即+=.
教师：这道题很有用的一个条件是△ABC是等边三角形在解答时未用上． 应该想方设法利用它． 等边三角形是特殊的轴对称图形，它的每一条边、每一个角都相等． 是否考虑作辅助线？
学生：能画出如图1的图形，过F点作BC的平行线，所以BG=CF，同样，过E点作BC的平行线，所以CH=BE，由此把BE移到CH，得到△CFH，但还是无法解出．
教师：另一个条件+=6也无法使用？先考虑条件△ABC是等边三角形． 在图2中，观察得到B，C；M，N；F，G；H，E都是对称的． 过A作BC的高线，即是对称轴． 如图3所示．
[A][H][E][G][N][F][M][B][C][D][A][H][E][G][N][F][M][B][C][D][K][L]
图2 图3
教师：现在我们考虑如图3的情况，设边长为2a，能得到什么？
学生：MN=BM=CN=a，MK=NK=a，可以设DK=m，则MD=a－m，DN=a+m．
教师：对比以上得到的，我们是否应该怀疑条件+=6的正确性？能不能把E点与F点对换，试一试，有什么收获？
学生：由MN//BC，所以=，=，即=，=，解得=，=，代入+=6，得出+=6，所以a=． 边长为．
[A][F][N][E][M][D][K][C][L][B]
图4
反思这是一道配有图形的题目，由于图形中点的位置标记错位造成同学们无法解答. 因此教师可以把条件+=6改为+=6，而图形保持不变，几何的特性便在图形中得以体现，观察图形与分析题意结合才有利于解题． 教师不应回避错题，而要正视错题，从不同角度怀疑其正确性，才有可能“柳暗花明又一村”.
学生的学习策略几何问题的解决关键在于对图形的观察与思考. 从已知条件入手，本题抓住等边三角形的特殊性质所起的作用来进行思考，对问题条件大胆怀疑、猜测、验证，从而解决问题．
2. 重视解法错误，探究举一反三术
对待学生出现与答案不相符合的解法，有的教师的做法是“自己再算一遍，肯定能算出来的”，或者采取转换话题的做法．结果是学生不可能有下次向教师提出想法的念头，只能是对知识生吞活剥，不知所云．
案例2
题目（2006江苏江阴）已知a，b，c为非零实数，且满足===k，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过（）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一象限 D. 第二象限
学生1：由已知可得=k，即k=2，得y=2x+3必经过第一、二、三象限，选A．
学生2：由已知可得a=（b+c）k，c=（a+b）k，b=（a+c）k，所以a+b+c=（b+c+a+b+a+c）·k，即a+b+c=2（a+b+c）k，因为a，b，c为非零实数，所以把a+b+c约掉，即k=2，得y=2x+3必经过第一、二、三象限，选A．
教师：这两种解法得出的结果一致，答案是否正确？第一种解法利用比例的性质，对于条件a，b，c为非零实数是否考虑了？分母a+b+c是否都不为零？第二种解法利用了方程组，把a+b+c约掉是否正确？
学生：a，b，c为非零实数，当然a+b+c为非零实数．
教师：例如a=1，b=2，c=－3，那么a+b+c为多少？
学生：等于零． a+b+c有可能为零． 对两种解法再添加一种情况，当a+b+c=0，b+c=－a时，即=－1=k，y=－x经过第二、四象限，所以都经过第二象限． 答案为D.
反思本题是对分式的分母不能为零的考查． 教师对于学生解题时出现的误区应及时予以探究指导，分析出合理的探索方法． 重视学生解题过程中出现的错误解法或解题中的失误，对教师本身的专业成长和教学素质的提高也起着举足轻重的促进作用． 积累同学们解题的错误或失误是一个重要的教学财富．
学生的学习策略 遇到误解，同学们应能够自己动手检查出问题的所在，加强解题的速度及准确性． 对其他同学的解法指出其失误的原因是优化学习策略的重要途径之一．
案例3
题目（2005江苏淮安）已知A1（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（－2，－1），…则点A2007=.
[A10][A9][A5][A2][A1][A6][A3][A4][A7][A8][A][·][P][O][E][M][B][N][·][y][x][O][x][y]
图5图6
学生：奇怪？我已经写出第20点的坐标，怎么找不出规律来？
教师：把点在平面直角坐标系中表示出来，观察它，是否发现这些点分布在四个象限？对这四个象限进行观察可以得到什么？
学生：第一象限的点为A2，A6，A10，A14，…，第二象限的点为A3，A7，A11，A15，…，第三象限的点为A4，A8，A12，A16，…，第四象限的点为A5，A9，A13，A17，…
教师：那A2007在哪个象限？
学生：第二象限． 在A3，A7所在的直线上，A3（－1，1），A7（－2，2），A11（－3，3），…于是可求出点A2007（－502，502）.
反思规律探寻题的做法关键在于观察，数形结合是数学解题中的常用数学思想． 坐标在坐标系中的体现是解决本题的关键．
学生的学习策略 从点在平面直角坐标系中的位置来考虑其解题思路． 通过数形结合，体会如何学习数学，真正体验数与形的内在统一． 只有由学生自己发现这一问题的正确方法，才能真正地消化这一问题，并受益于这样的引导，从而解决相关问题．
3. 直视编题超纲，探究由此及彼
面对解题过程中超纲情况的出现，教师若轻易下结论“这道题超纲了，不用做了”，结果则是在学生未对题目认真审题的情况下，就中止了思路.
案例4
题目已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动． 设OM=x，ON=y（y>x>0)，△POM的面积为S，若sinα=，OP=2．（1）当∠MPN旋转30°时（∠OPM=30°时），求点N移动的距离；（2)求证△OPN∽△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
学生：第三小题怎样求出y与x之间的关系式？
教师：前面两步利用了吗？
学生：由△OPN∽△PMN，所以=，即PN2=MN·ON，又因为过P作OB的垂线，垂足为E，则PE=，OE=1，所以PN2=PE2+EN2=（）2+（y－1）2，MN·ON=（y－x）y，所以（）2+（y－1）2=（y－x）y，解得xy－2y+4=0． 这种函数的图象没有学过.
教师：超纲了？对xy－2y+4=0进行整理，用y来表示含x的代数式，得到什么？
学生：得到y=． 所以y是x－2的反比例函数．
教师：并且0 [A][·][P][O][M][N][B][·][B][·][N][M][O][P][A][·][x][x][y][y]
图7 图8
拓展若M点在直线OB上运动，则图象如图8所示．
反思这一道题中的第（3）小题可从第（2）小题的结论入手，这是解题的一种有效方法之一． 利用相似三角形的对应边成比例，再利用勾股定理，求出函数关系式，要注意分析，不能轻易以超纲为由，使学生失去一次思考探索的机会．
学生的学习策略综合题型中的几个小题往往互相关联，利用前面得出的结论，对后续解题能起到非常好的启发和引导作用. 对待题目中的超纲情况，应突破思维定式，进行探究学习，产生一个出色的念头，进而检验这个结果.
关键词：探究；学习策略；错误
[⇩]提出问题
数学学习策略是学习者在一定的教学情境下，针对一定的学习任务，根据学习的一般规则，主动对学习的程序、工具及方法进行有效操作，从而提高学习质量和效率的一种操作对策系统． 在数学学习过程中，经常听到教师这样对学生说：“这道题别做，题目错了”“这道题不会做的同学对一下答案，按答案来做”“这道题不要了，超纲了，不会考的”． 面对这样的情况，我们应该如何从这些问题入手，引导学生从题目中观察、发现、探究学习，是一个值得思考的课题．
探究学习作为《数学课程标准》倡导的重要学习方式之一，已成为当前数学课堂一道亮丽的风景线． 著名数学教育家波利亚指出：“学习知识的最佳途径是自己去发现． 因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系．”
[⇩]个案分析
1. 正视题目的错误，探究起死回生术
在教学中遇到错误的题目时，教师往往束手无策，一紧张，就会轻易下结论：“这道题题目可能有错，不要去做了．” 或者采取一种“有效”的办法：“把相关的概念、定理、定义用上，肯定能做的． 好好思考一下．” 结果是学生在一片茫然中将其束之高阁，不了了之．
案例1
题目如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是中位线MN上的任意一点，BE过点D交边AC于点E，CF过点D交边AB于点F，+=6，求△ABC的边长．
图1
学生：由MN//BC，所以=，=，由MN是中位线，所以MN=BC． 由MD+DN=MN ，所以+===，即+=.
教师：这道题很有用的一个条件是△ABC是等边三角形在解答时未用上． 应该想方设法利用它． 等边三角形是特殊的轴对称图形，它的每一条边、每一个角都相等． 是否考虑作辅助线？
学生：能画出如图1的图形，过F点作BC的平行线，所以BG=CF，同样，过E点作BC的平行线，所以CH=BE，由此把BE移到CH，得到△CFH，但还是无法解出．
教师：另一个条件+=6也无法使用？先考虑条件△ABC是等边三角形． 在图2中，观察得到B，C；M，N；F，G；H，E都是对称的． 过A作BC的高线，即是对称轴． 如图3所示．
图2 图3
教师：现在我们考虑如图3的情况，设边长为2a，能得到什么？
学生：MN=BM=CN=a，MK=NK=a，可以设DK=m，则MD=a－m，DN=a+m．
教师：对比以上得到的，我们是否应该怀疑条件+=6的正确性？能不能把E点与F点对换，试一试，有什么收获？
学生：由MN//BC，所以=，=，即=，=，解得=，=，代入+=6，得出+=6，所以a=． 边长为．
图4
反思这是一道配有图形的题目，由于图形中点的位置标记错位造成同学们无法解答. 因此教师可以把条件+=6改为+=6，而图形保持不变，几何的特性便在图形中得以体现，观察图形与分析题意结合才有利于解题． 教师不应回避错题，而要正视错题，从不同角度怀疑其正确性，才有可能“柳暗花明又一村”.
学生的学习策略几何问题的解决关键在于对图形的观察与思考. 从已知条件入手，本题抓住等边三角形的特殊性质所起的作用来进行思考，对问题条件大胆怀疑、猜测、验证，从而解决问题．
2. 重视解法错误，探究举一反三术
对待学生出现与答案不相符合的解法，有的教师的做法是“自己再算一遍，肯定能算出来的”，或者采取转换话题的做法．结果是学生不可能有下次向教师提出想法的念头，只能是对知识生吞活剥，不知所云．
案例2
题目（2006江苏江阴）已知a，b，c为非零实数，且满足===k，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过（）
A. 第一、二、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一象限 D. 第二象限
学生1：由已知可得=k，即k=2，得y=2x+3必经过第一、二、三象限，选A．
学生2：由已知可得a=（b+c）k，c=（a+b）k，b=（a+c）k，所以a+b+c=（b+c+a+b+a+c）·k，即a+b+c=2（a+b+c）k，因为a，b，c为非零实数，所以把a+b+c约掉，即k=2，得y=2x+3必经过第一、二、三象限，选A．
教师：这两种解法得出的结果一致，答案是否正确？第一种解法利用比例的性质，对于条件a，b，c为非零实数是否考虑了？分母a+b+c是否都不为零？第二种解法利用了方程组，把a+b+c约掉是否正确？
学生：a，b，c为非零实数，当然a+b+c为非零实数．
教师：例如a=1，b=2，c=－3，那么a+b+c为多少？
学生：等于零． a+b+c有可能为零． 对两种解法再添加一种情况，当a+b+c=0，b+c=－a时，即=－1=k，y=－x经过第二、四象限，所以都经过第二象限． 答案为D.
反思本题是对分式的分母不能为零的考查． 教师对于学生解题时出现的误区应及时予以探究指导，分析出合理的探索方法． 重视学生解题过程中出现的错误解法或解题中的失误，对教师本身的专业成长和教学素质的提高也起着举足轻重的促进作用． 积累同学们解题的错误或失误是一个重要的教学财富．
学生的学习策略 遇到误解，同学们应能够自己动手检查出问题的所在，加强解题的速度及准确性． 对其他同学的解法指出其失误的原因是优化学习策略的重要途径之一．
案例3
题目（2005江苏淮安）已知A1（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（－2，－1），…则点A2007=.
图5图6
学生：奇怪？我已经写出第20点的坐标，怎么找不出规律来？
教师：把点在平面直角坐标系中表示出来，观察它，是否发现这些点分布在四个象限？对这四个象限进行观察可以得到什么？
学生：第一象限的点为A2，A6，A10，A14，…，第二象限的点为A3，A7，A11，A15，…，第三象限的点为A4，A8，A12，A16，…，第四象限的点为A5，A9，A13，A17，…
教师：那A2007在哪个象限？
学生：第二象限． 在A3，A7所在的直线上，A3（－1，1），A7（－2，2），A11（－3，3），…于是可求出点A2007（－502，502）.
反思规律探寻题的做法关键在于观察，数形结合是数学解题中的常用数学思想． 坐标在坐标系中的体现是解决本题的关键．
学生的学习策略 从点在平面直角坐标系中的位置来考虑其解题思路． 通过数形结合，体会如何学习数学，真正体验数与形的内在统一． 只有由学生自己发现这一问题的正确方法，才能真正地消化这一问题，并受益于这样的引导，从而解决相关问题．
3. 直视编题超纲，探究由此及彼
面对解题过程中超纲情况的出现，教师若轻易下结论“这道题超纲了，不用做了”，结果则是在学生未对题目认真审题的情况下，就中止了思路.
案例4
题目已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动． 设OM=x，ON=y（y>x>0)，△POM的面积为S，若sinα=，OP=2．（1）当∠MPN旋转30°时（∠OPM=30°时），求点N移动的距离；（2)求证△OPN∽△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
学生：第三小题怎样求出y与x之间的关系式？
教师：前面两步利用了吗？
学生：由△OPN∽△PMN，所以=，即PN2=MN·ON，又因为过P作OB的垂线，垂足为E，则PE=，OE=1，所以PN2=PE2+EN2=（）2+（y－1）2，MN·ON=（y－x）y，所以（）2+（y－1）2=（y－x）y，解得xy－2y+4=0． 这种函数的图象没有学过.
教师：超纲了？对xy－2y+4=0进行整理，用y来表示含x的代数式，得到什么？
学生：得到y=． 所以y是x－2的反比例函数．
教师：并且0
图7 图8
拓展若M点在直线OB上运动，则图象如图8所示．
反思这一道题中的第（3）小题可从第（2）小题的结论入手，这是解题的一种有效方法之一． 利用相似三角形的对应边成比例，再利用勾股定理，求出函数关系式，要注意分析，不能轻易以超纲为由，使学生失去一次思考探索的机会．
学生的学习策略综合题型中的几个小题往往互相关联，利用前面得出的结论，对后续解题能起到非常好的启发和引导作用. 对待题目中的超纲情况，应突破思维定式，进行探究学习，产生一个出色的念头，进而检验这个结果.