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摘 要:本文笔者结合自身在概率论与数理统计教学中的亲身实践,从以下两部分:概念和理论的引入、例题的选择和知识的应用,对高校概率统计课程的课堂教学设计提出自己的几点教学体会。
关键词:概念的引入定理性质的介绍例题的选取和讲解
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)05(a)-0081-02
概率论与数理统计是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。它不同于以往课程,讨论的对象不再是确定性的,而是揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科,是各类院校普遍开设的基础课程,也是教学难度较大的课程,理论知识的抽象性和思维方法的独特性常常造成学生理解和接受上的困难。笔者结合自身在课堂教学设计中的点滴体会从理论知识的讲解和应用两个方面来探究如何创新概率统计课堂的教学模式,如何在讲授过程中摆脱传统教学模式所带来的尴尬的困境,从而提高学生对这门课程的学习兴趣,培养学生用所学知识分问题析和解决问题的能力,以达到学以致用的良好效果。
1 理论部分的课堂教学设计
从宏观上来讲,一节完整的数学课无非就分为两大块:理论和实践。所谓理论部分也就是我们通常所说的新的概念的引入,定理性质的介绍;所谓实践也就是如何去应用理论知识去解决实际的问题。笔者从下面几个方面来阐述如何对理论分布进行教学设计。
1.1 生动、自然地引入新概念
能否在一节课的开始就抓住学生的学习兴趣使学生自愿地去接受新的知识,显然这样一个重任毫无疑问地就落在了对一节课新的概念的引入上。通常,在传统的教学模式中,教师都会填鸭式地向学生灌输新的定义、概念,要求学生生硬地理解、死记硬背。这样,只会造成学生对这一刚刚接触的新知识的抵触心理和因枯燥性而产生的厌烦情绪,在一节课的刚开始,如果学生就产生了这样的情绪的话,很显然是不会受到好的教学效果的。那么,这时,我们不妨从讲故事开始,生动、自然地引入新的概念、定义。概率论与数理统计起源于赌博,这种所谓的“娱乐活动”虽然被大多数人们认为其不光彩性,但是也正是这样造就了概率论与数理统计这门学科漫长的发展过程,所以每个概念、定义背后都有其丰富的知识背景,舍弃这些背景,直接抛给学生一连串的概念会使学生感到茫然,失去认识概念本源的机会,失去培养学生应用数学能力的机会。这就要求主讲教师不仅仅只满足于熟悉教材,而应广泛涉猎,在熟悉理论知识的基础上要对学科历史做好充足的课前准备。比如,在介绍数学期望的概念时,首先给同学们讲述了“赌徒分赌金”的历史故事,进而抛出问题“如何分赌本才合理呢？”为了,解决这个问题就有了这节课所要介绍的“数学期望”的概念。再比如我们在介绍统计部分讲解数理统计的三大分布的t分布时,学生会很好奇为什么又叫学生氏分布,这时可以适当地穿插点数学史,既活跃气氛,又加深了学生印象,告诉学生t分布是由英国统计学家Gosset于1899年提出的,当时他在英国Guinness酿酒公司做酿酒师,在对小样本进行质量控制的研究中发现了t分布,即著名的Student－t分布,当时用笔名Student发表的这篇论文。关于t 检验理论的最后完善,Fisher,Neyman和Pearson做出了重要贡献,正如后人所评价的那样“Gosset提出实际问题,Fisher和Pearson将其转化成统计问题,Neyman将其归纳为数学问题”。这样,就可以使学生在轻松的氛围中接受新的知识,避免了概念引入的乏味性;另一方面也使学生开阔了眼界,明白数学知识的发展并不只是数学家才能做到,只要我们对于生活中的问题善于发现勤于思考,都有可能提炼出新发现、新方法、新观点,做出杰出的成绩,而且无论我们将来从事什么行业,这些现代数学知识都可能会对我们有所帮助,这些现代数学素养都是我们一生的财富。
1.2 淡化理论推导,注重思想性和应用性背景
在传统的课堂教学模式中,我们通常注重的是定理性质的结论是如何得到的,注重的是定理性质的推导过程,这样做往往会造成学生的定势思维,束缚学生的创新能力。思想性在概率统计教学中有很充分的体现,特别是数理统计中的许多基本思想、方法与其它的数学课程有完全不同的风格。比如在讲授“最大似然估计”时,着重讲其思想“样本取得固定样本值的最大可能性”,进而又根据离散型和连续型随机变量不同的特点逐步进行讲解,并引导学生自己根据主体思想得到不同类型随机变量的似然函数如何写出,这样既避免了死记硬背情况的出现,也加强了学生分析问题和解决问题的能力。
数学是抽象的,但是它也是现实的,它和我们的生活密切相关。如果可以把所讲授的知识与实际紧密结合起来,扬长避短,将数学知识变抽象为形象,变繁琐为简练,使学生对数学知识逐渐从感性到理性再到应用,激发学生学习兴趣和学习动机。比如,我们在引入数学期望的概念之后,为了加深学生对新概念的理解,将其形象化、具体化。
例:某人用10万元进行为期一年的投资,有两种投资方案:一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势,若经济形势好可获利4万元,形势中等可获利1万元,形势不好要损失2万元。如果存入银行,假设利率为8%,可得利息8000元,又设经济形势好、中、差的概率分别为30%,50%,20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大?
投资方案有两种,但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。选择哪种方案就要看哪种方案给投资人带来的利益期望大,因此要做出决策事实上就是来计算两种情况下投资人获利的期望值,从而将概念具体化,同时也将实际问题利用概率的知识加以解决。
1.3 构造反例,加深对定理定义的理解
B.R.盖尔鲍姆和J.M.H奥姆斯特德说得好:“一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧。”在教学中,适时地利用反例,不仅可以加深学生对概念、定理的理解和运用,而且有利于培养学生严谨的学术态度和缜密的思维能力。比如,我们可以通过反例来告诉学生“并不是所有的随机变量的数学期望都是存在的”,而且可以引导学生自己去构造这样的随机变量。因为,我们知道数学期望的存在是要求级数绝对收敛的,而在高等数学中我们可以找到很多不是绝对收敛的级数,所以我们不妨就从这些级数中寻找期望不存在的随机变量。例如当时,发散,绝对收敛,是一个常数,因而我们就可以构造一个离散型随机变量,
其中,由于是发散的,故这个离散型随机变量的数学期望不存在。
反例的构造法体现了数学发现、化归、猜想、实验和归纳等思想,它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,是针对具体问题的特点而采取的相应的一种解决方法。通过反例的构造,能培养学生的创造性思维,推动数学向前发展。
2 例题部分的课堂教学设计
2.1 注重基础题型的选取
概率论与数理统计是数学的一个分支学科,也是一门基础理论课程,对基本方法和基础理论的掌握是至关重要的。因此课堂例题的选取对基本知识点的掌握起到非常重要的作用。在例题中不仅仅要囊括学生作业中所体现出来的容易犯错的题型,还要精选出重难点的典型题型,同时可以串讲历年考研真题,这样有助于加强学生对所学知识的应用,还有助于学生对知识的拔高学习。
2.2 注重应用性,精选贴近学生生活的题目
应用是数学的特征之一,在应用中数学获得发展的动力。让数学生活化,学生才能够在枯燥的学习中寻找到乐趣,才能在生活中发现数学的美。《概率论与数理统计》就是一门从实际中产生的应用性学科,它来源于实际又服务于实际。比如,可以用概率的知识解释生活中的谚语。“三个臭皮匠赛过诸葛亮”是大家耳熟能详的。假如每个“臭皮匠”能提出正确方案的概率为0.4,“诸葛亮”能提出正确方案的概率为0.7。若记为“第i个‘臭皮匠’想到的正确方案”(i=1,2,3)B为“‘诸葛亮’想到的正确方案”,则利用加法公式及事件的独立性,得“臭皮匠们”能想到正确方案的概率为
而“诸葛亮”想到正确方案的概率为:。可见,想要找出正确方案要靠集体的智慧、团队合作的精神很重要。
2.3 在解决问题的同时,注重融入数学建模的思想
在概率论与数理统计这门课中到处可见数学模型的影子。自然界有许多现象表面上看起来差异很大,但其实质是一样的,数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指根据生产、生活中遇到的实际问题的特点和规律,抽象和提炼出一个数学问题,用数学的工具,包括计算机、信息查询等手段来求解,并将结果经解释验证后用于解决实际,指导生产生活的过程。在概率统计课中有许多数学模型,如n重贝努里模型,正态分布的模型。对这类模型,不应简单地给出它的结果,而应注重模型的建立,模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。例如:某学校有10000名学生,每天打开水的人较多,开水房经常出现排长队的现象,应设置多少个水龙头才能解决这种现象？分析:首先假设每个学生占用1个水龙头的概率为p,同一时间打水的学生数为X,每个学生对于水龙头有两种情况:占用水龙头和不占用水龙头。因为每个学生使用水龙头相互独立,故X～B(10000,p)。这样学生自然就知道使用中心极限定理解决该问题。数学建模的引入,会提高学生解决实际问题的能力,提高其分析和解决带有实际意义的日常生活和生产中的数学问题的兴趣,较快形成数学意识。
提高教学效果,创新教学教法任重而道远,以上只是笔者教学过程中的实践和体会,希望可以和大家共同分享在概率论与数理统计课程教学中的无穷乐趣。
参考文献
[1] 盛骤,等.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008,6.
[2] 周玲.关于概率论教学的一点思考[J].大学数学,2007(6):14～16.
[3] 李晓莉.概率统计的多元化教学探讨[J].大学数学,2005,21(4):33～35.
[4] 李晓毅,徐兆棣.概率统计教学与数学建模思想的融入[J].沈阳师范大学学报,(自然科学版),2008,26(2).
[5] 姚静.概率统计课程教学实践探索与思考[J].湖南工业大学学报,2010,24(2).
[6] 陈兰祥,蒋凤瑛.应用概率论[M].上海:同济大学出版社,1999.
[7] B.R.盖尔鲍姆,J.M.H奥姆斯特德.分析中的反例[M].上海:上海科学技术出版社,1980.
[8] 吴晓冬.关于概率应用的讨论[J].呼伦贝尔学院学报,2005,13(3):35～36.
[9] 阮传同.用概率的观点辩证看生活谚语[J].周口师院学报,2010,27(2):39～40.
关键词:概念的引入定理性质的介绍例题的选取和讲解
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)05(a)-0081-02
概率论与数理统计是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。它不同于以往课程,讨论的对象不再是确定性的,而是揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科,是各类院校普遍开设的基础课程,也是教学难度较大的课程,理论知识的抽象性和思维方法的独特性常常造成学生理解和接受上的困难。笔者结合自身在课堂教学设计中的点滴体会从理论知识的讲解和应用两个方面来探究如何创新概率统计课堂的教学模式,如何在讲授过程中摆脱传统教学模式所带来的尴尬的困境,从而提高学生对这门课程的学习兴趣,培养学生用所学知识分问题析和解决问题的能力,以达到学以致用的良好效果。
1 理论部分的课堂教学设计
从宏观上来讲,一节完整的数学课无非就分为两大块:理论和实践。所谓理论部分也就是我们通常所说的新的概念的引入,定理性质的介绍;所谓实践也就是如何去应用理论知识去解决实际的问题。笔者从下面几个方面来阐述如何对理论分布进行教学设计。
1.1 生动、自然地引入新概念
能否在一节课的开始就抓住学生的学习兴趣使学生自愿地去接受新的知识,显然这样一个重任毫无疑问地就落在了对一节课新的概念的引入上。通常,在传统的教学模式中,教师都会填鸭式地向学生灌输新的定义、概念,要求学生生硬地理解、死记硬背。这样,只会造成学生对这一刚刚接触的新知识的抵触心理和因枯燥性而产生的厌烦情绪,在一节课的刚开始,如果学生就产生了这样的情绪的话,很显然是不会受到好的教学效果的。那么,这时,我们不妨从讲故事开始,生动、自然地引入新的概念、定义。概率论与数理统计起源于赌博,这种所谓的“娱乐活动”虽然被大多数人们认为其不光彩性,但是也正是这样造就了概率论与数理统计这门学科漫长的发展过程,所以每个概念、定义背后都有其丰富的知识背景,舍弃这些背景,直接抛给学生一连串的概念会使学生感到茫然,失去认识概念本源的机会,失去培养学生应用数学能力的机会。这就要求主讲教师不仅仅只满足于熟悉教材,而应广泛涉猎,在熟悉理论知识的基础上要对学科历史做好充足的课前准备。比如,在介绍数学期望的概念时,首先给同学们讲述了“赌徒分赌金”的历史故事,进而抛出问题“如何分赌本才合理呢？”为了,解决这个问题就有了这节课所要介绍的“数学期望”的概念。再比如我们在介绍统计部分讲解数理统计的三大分布的t分布时,学生会很好奇为什么又叫学生氏分布,这时可以适当地穿插点数学史,既活跃气氛,又加深了学生印象,告诉学生t分布是由英国统计学家Gosset于1899年提出的,当时他在英国Guinness酿酒公司做酿酒师,在对小样本进行质量控制的研究中发现了t分布,即著名的Student－t分布,当时用笔名Student发表的这篇论文。关于t 检验理论的最后完善,Fisher,Neyman和Pearson做出了重要贡献,正如后人所评价的那样“Gosset提出实际问题,Fisher和Pearson将其转化成统计问题,Neyman将其归纳为数学问题”。这样,就可以使学生在轻松的氛围中接受新的知识,避免了概念引入的乏味性;另一方面也使学生开阔了眼界,明白数学知识的发展并不只是数学家才能做到,只要我们对于生活中的问题善于发现勤于思考,都有可能提炼出新发现、新方法、新观点,做出杰出的成绩,而且无论我们将来从事什么行业,这些现代数学知识都可能会对我们有所帮助,这些现代数学素养都是我们一生的财富。
1.2 淡化理论推导,注重思想性和应用性背景
在传统的课堂教学模式中,我们通常注重的是定理性质的结论是如何得到的,注重的是定理性质的推导过程,这样做往往会造成学生的定势思维,束缚学生的创新能力。思想性在概率统计教学中有很充分的体现,特别是数理统计中的许多基本思想、方法与其它的数学课程有完全不同的风格。比如在讲授“最大似然估计”时,着重讲其思想“样本取得固定样本值的最大可能性”,进而又根据离散型和连续型随机变量不同的特点逐步进行讲解,并引导学生自己根据主体思想得到不同类型随机变量的似然函数如何写出,这样既避免了死记硬背情况的出现,也加强了学生分析问题和解决问题的能力。
数学是抽象的,但是它也是现实的,它和我们的生活密切相关。如果可以把所讲授的知识与实际紧密结合起来,扬长避短,将数学知识变抽象为形象,变繁琐为简练,使学生对数学知识逐渐从感性到理性再到应用,激发学生学习兴趣和学习动机。比如,我们在引入数学期望的概念之后,为了加深学生对新概念的理解,将其形象化、具体化。
例:某人用10万元进行为期一年的投资,有两种投资方案:一是购买股票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势,若经济形势好可获利4万元,形势中等可获利1万元,形势不好要损失2万元。如果存入银行,假设利率为8%,可得利息8000元,又设经济形势好、中、差的概率分别为30%,50%,20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大?
投资方案有两种,但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。选择哪种方案就要看哪种方案给投资人带来的利益期望大,因此要做出决策事实上就是来计算两种情况下投资人获利的期望值,从而将概念具体化,同时也将实际问题利用概率的知识加以解决。
1.3 构造反例,加深对定理定义的理解
B.R.盖尔鲍姆和J.M.H奥姆斯特德说得好:“一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧。”在教学中,适时地利用反例,不仅可以加深学生对概念、定理的理解和运用,而且有利于培养学生严谨的学术态度和缜密的思维能力。比如,我们可以通过反例来告诉学生“并不是所有的随机变量的数学期望都是存在的”,而且可以引导学生自己去构造这样的随机变量。因为,我们知道数学期望的存在是要求级数绝对收敛的,而在高等数学中我们可以找到很多不是绝对收敛的级数,所以我们不妨就从这些级数中寻找期望不存在的随机变量。例如当时,发散,绝对收敛,是一个常数,因而我们就可以构造一个离散型随机变量,
其中,由于是发散的,故这个离散型随机变量的数学期望不存在。
反例的构造法体现了数学发现、化归、猜想、实验和归纳等思想,它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,是针对具体问题的特点而采取的相应的一种解决方法。通过反例的构造,能培养学生的创造性思维,推动数学向前发展。
2 例题部分的课堂教学设计
2.1 注重基础题型的选取
概率论与数理统计是数学的一个分支学科,也是一门基础理论课程,对基本方法和基础理论的掌握是至关重要的。因此课堂例题的选取对基本知识点的掌握起到非常重要的作用。在例题中不仅仅要囊括学生作业中所体现出来的容易犯错的题型,还要精选出重难点的典型题型,同时可以串讲历年考研真题,这样有助于加强学生对所学知识的应用,还有助于学生对知识的拔高学习。
2.2 注重应用性,精选贴近学生生活的题目
应用是数学的特征之一,在应用中数学获得发展的动力。让数学生活化,学生才能够在枯燥的学习中寻找到乐趣,才能在生活中发现数学的美。《概率论与数理统计》就是一门从实际中产生的应用性学科,它来源于实际又服务于实际。比如,可以用概率的知识解释生活中的谚语。“三个臭皮匠赛过诸葛亮”是大家耳熟能详的。假如每个“臭皮匠”能提出正确方案的概率为0.4,“诸葛亮”能提出正确方案的概率为0.7。若记为“第i个‘臭皮匠’想到的正确方案”(i=1,2,3)B为“‘诸葛亮’想到的正确方案”,则利用加法公式及事件的独立性,得“臭皮匠们”能想到正确方案的概率为
而“诸葛亮”想到正确方案的概率为:。可见,想要找出正确方案要靠集体的智慧、团队合作的精神很重要。
2.3 在解决问题的同时,注重融入数学建模的思想
在概率论与数理统计这门课中到处可见数学模型的影子。自然界有许多现象表面上看起来差异很大,但其实质是一样的,数学模型就是这类事物共同本质的抽象。“数学建模”是指根据生产、生活中遇到的实际问题的特点和规律,抽象和提炼出一个数学问题,用数学的工具,包括计算机、信息查询等手段来求解,并将结果经解释验证后用于解决实际,指导生产生活的过程。在概率统计课中有许多数学模型,如n重贝努里模型,正态分布的模型。对这类模型,不应简单地给出它的结果,而应注重模型的建立,模型的应用范围以及如何把实际问题转化为有关的数学模型去解决。例如:某学校有10000名学生,每天打开水的人较多,开水房经常出现排长队的现象,应设置多少个水龙头才能解决这种现象？分析:首先假设每个学生占用1个水龙头的概率为p,同一时间打水的学生数为X,每个学生对于水龙头有两种情况:占用水龙头和不占用水龙头。因为每个学生使用水龙头相互独立,故X～B(10000,p)。这样学生自然就知道使用中心极限定理解决该问题。数学建模的引入,会提高学生解决实际问题的能力,提高其分析和解决带有实际意义的日常生活和生产中的数学问题的兴趣,较快形成数学意识。
提高教学效果,创新教学教法任重而道远,以上只是笔者教学过程中的实践和体会,希望可以和大家共同分享在概率论与数理统计课程教学中的无穷乐趣。
参考文献
[1] 盛骤,等.概率论与数理统计(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008,6.
[2] 周玲.关于概率论教学的一点思考[J].大学数学,2007(6):14～16.
[3] 李晓莉.概率统计的多元化教学探讨[J].大学数学,2005,21(4):33～35.
[4] 李晓毅,徐兆棣.概率统计教学与数学建模思想的融入[J].沈阳师范大学学报,(自然科学版),2008,26(2).
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[6] 陈兰祥,蒋凤瑛.应用概率论[M].上海:同济大学出版社,1999.
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[8] 吴晓冬.关于概率应用的讨论[J].呼伦贝尔学院学报,2005,13(3):35～36.
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