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【摘要】概念的教学，永远离不开现实的依托。要经历“了解”“理解”达到“掌握”“应用”的认识层次，最关键的一步便是从书本回归现实生活。平面图形“高”的教学，不管是直接呈现抽象的定义，还是从现实情境中引入，都必须充分利用学生已有的现实经验，帮助学生扫清抽象的障碍，才能达到对概念的“理解”层次，教学的最终目标都是建立“高”的表象、理解概念的内涵。
【关键词】数学概念；高的教学；抽象障碍；回归现实；理解内涵
高，是数学“图形与几何”领域的一个重要概念。在义务教育第一、第二学段，学生所接触的“高”主要有三角形、平行四边形、梯形等平面图形的高，以及长方体、正方体、圆柱、圆锥等基本立体图形的高。
一、“高”，真难画
平面图形的高的教学通常与“底”相结合，安排在面积的探究学习之前，为推导面积计算公式做准备。在教学时，教师往往会遇到这样的难题：学生对高的学习仅停留于“从顶点向对边引出的垂线段”“一组对边之间的垂线段”等定义层面的机械记忆，难以真正理解何谓图形的高。当图形以常规形状出现时，学生勉强能照猫画虎、正确画高，但如果将图形转换方向、或指定另一条边为底，学生画高便错漏百出（如图1）。然而，即便如此，抱着“求面积时只需用公式、无需画高”的想法，很多教师便在日常教学中将“高”的难题抛诸脑后。
然而，一个“高”的难题可以被含糊过去，还有千千万万个概念的教学问题此起彼伏，这些问题不容忽视啊！为何学生会出现学习困难？画高所呈现的错因何在？当前能熟记定义的学生，一段时间后还记得“什么是高”吗？目前会画高、以后也能正确地画吗？概念的教学该如何进行？
二、“高”，书怎么编
笔者翻阅教材，发现人教版教材将平行四边形、梯形、三角形的高先后安排在四年级上、下册，直接出示高的定义和图示（如图2），北师大版教材则将这三种平面图形的高都安排在五年级上册学习，并通过“桥洞的限高”情境引入对图形高的认识（如图3）。虽然引入方式不同，但两者在示范画高时，对应的底都是水平的（如图2、4），而在练习题中才出现了变式，即所谓“歪歪斜斜”的底（如图5）。
三、“高”，难在哪
不管是直接呈现抽象的定义，还是从现实情境中引入，教学的最终目标都是建立“高”的表象、理解概念的内涵。然而，概念本身就是对现实生活进行高度抽象与概括的结果，要认识概念，必不可脱离现实生活。为何学生会画“中规中矩”的高，遇到“歪歪斜斜”的高就束手无策了呢？这就涉及概念认识的四个层次——了解、理解、掌握、应用。
如果学生只会背“高”的定义，只会画“平平的底”所对应的高，说明他们只停留在对概念的“了解”层次，其结果必定是对概念的“遗忘”。而想要“理解”抽象的概念，就不能纯粹地“就定义而言高”，关键的一步是从书本回归现实，沟通现实中的高与书本中的高之间的联系。
学生对“高”的认识并不是零起点、零经验的，生活中有大量的“高”——人的身高、桌椅的高度、建筑的高等等。量身高，学生绝不会从肩膀量到脚底，都知道要从头顶开始量；量物体的高度，学生也会尽量保持垂直，不会量歪、量斜了，这就是学生认识“高”的经验。然而，现实中的高与书本中的高却不全相同。现实中存在的是物体的高，且物体大多规规矩矩、中中正正地摆放着，书本中呈现的则是抽象的平面图形的高，且图形很可能“东倒西歪”“头重脚轻”的。再者，现实中的“高”都是以地面为参照系的，而书本中却常常以斜边为底要求作高，这些就成为了学生认识“高”的障礙。只有利用学生已有的现实经验、帮助学生扫清抽象的障碍，才能达到对概念的“理解”层次。
那么，是否达到“理解”层次，就是真正掌握了概念呢？——不。在“高”的课堂教学中，许多老师都能做到“从书本回归现实”，让学生结合生活经验认识高，但“从现实抽象到书本”也是一个难以攻克的关卡，因此部分学生即使“理解”，却仍未“掌握”概念的内涵，所以形状一改变，画高就出错。只有当学生能正确画出“歪歪斜斜”的高——变式，才算是真正掌握了。
“应用”层次则是概念认识的最高层次，达到这一层次的学生已经能灵活应对各种平面图形的高，并能应用概念解决相关的实际问题。
四、“高”，能怎么学
基于概念认识的四个层次，笔者设计了如下教学过程：
环节一：输入现实场景，唤醒“高”的经验
1. 生活中哪里有“高”？同伴交流分享。
2. 回顾量身高的经历，说说身高指的是什么？量身高要注意什么？
3. 课件展示，输入大量生活中量高的场景，引出 “最高处”“最底下”“直直的”等关键词。
4. 课件出示“桥洞的限高”情境，说说“限高”指的是什么？哪一条线段的高度是4.5米？在图中画一画。同伴交流，体会桥洞的限高不只一条。
环节二：化具象为抽象，初探“高”的“外衣”
1. 认识梯形的高
呈现学生画桥洞限高的不同例子，把桥洞的形状看成梯形，认识梯形的高、上底、下底。
（给学生发梯形纸片，大小形状不一）请你标出上底、下底，画出梯形的高。呈现学生画高的正例、错例资源（如图6），加深对梯形的高的认识。
结合你对“高”的理解，谈谈什么是梯形的高。
2. 类比迁移，认识平行四边形、三角形的高
（给学生发平行四边形和三角形纸片，不同学生拿到的大小、形状都相同）结合现实中对“高”的理解，以及对梯形的高的认识，在纸片上画出平行四边形、三角形的高（不给定底，由学生自由发挥），辨析正误（常见错例见图1），深化对高的认识。
环节三：从基础到变式，再探“高”的“本色”
1. 变换图形的方向，理解图形有多条边可以作底。（如图7）
同一个图形，为什么你们画的高不完全相同、但又确实是图形的高呢？
认一认、说一说，梯形、平行四边形、三角形分别有几条底、几条高，每条底所对应的高在哪？
变换观察角度，高仍然垂直于底。
2. 自主迁移，尝试画出指定底边所对应的高。
3. 交流高的画法。
环节四：书本沟通现实，对比凸显本质
学习了这节课，说说生活中的高与数学平面图形的高有什么相同点、不同点？
生活中物体的高通常与地平线为参照系，是“竖直竖直”的。数学平面图形的高则有多种方向，“高”可能是斜着的，但高永远垂直于底。
五、概念，原来都一样
高，是图形与几何概念中的重要成员，但往往教师容易流于面积、体积的计算和应用，而忽视了高的本质内涵的教学。笔者从平面图形的高联想到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”方面的许多概念，从一年级的“整数”“自然数”到高年级的“因数”“倍数”“方程”，从“点”“线”到“形”“体”，这些概念无一不从生活中抽象而得。
就拿简单的整数“1”的认识，孩子早在学前阶段就学习了许多自然数，甚至能流利地数数，许多低段教师感到困惑：孩子在家里、在幼儿园都学会了，我们还怎么教？教什么？然而，孩子会背、会数，他们真的理解“1”是什么吗？从概念认识的角度来说，孩子要会认、会读、会写，还要看到一个苹果、一本书、一只小动物、一个人等就知道可以用“1”来表示，最后，要达到这样一个层次——看到“1”，就能举出许多数量为1的例子。这样，经历从现实到书本、从具体到抽象再到具体的过程。再比如高年级的“表面积”“体积”等概念，如果学生只会死记硬背概念的定义，而不知表面积、体积为何物，那当遇到“做一个长方体纸盒需要多少纸皮”“一个正方体容器能装多少升水”等这样的问题，他就无法判断、无法解决。
所以，概念的教学，永远离不开现实的依托。要经历“了解”“理解”达到“掌握”“应用”的认识层次，关键的一步便是从书本回归现实生活，勾起学生的生活经验，架起数学与生活、知识与经验之间的桥梁。
【关键词】数学概念；高的教学；抽象障碍；回归现实；理解内涵
高，是数学“图形与几何”领域的一个重要概念。在义务教育第一、第二学段，学生所接触的“高”主要有三角形、平行四边形、梯形等平面图形的高，以及长方体、正方体、圆柱、圆锥等基本立体图形的高。
一、“高”，真难画
平面图形的高的教学通常与“底”相结合，安排在面积的探究学习之前，为推导面积计算公式做准备。在教学时，教师往往会遇到这样的难题：学生对高的学习仅停留于“从顶点向对边引出的垂线段”“一组对边之间的垂线段”等定义层面的机械记忆，难以真正理解何谓图形的高。当图形以常规形状出现时，学生勉强能照猫画虎、正确画高，但如果将图形转换方向、或指定另一条边为底，学生画高便错漏百出（如图1）。然而，即便如此，抱着“求面积时只需用公式、无需画高”的想法，很多教师便在日常教学中将“高”的难题抛诸脑后。
然而，一个“高”的难题可以被含糊过去，还有千千万万个概念的教学问题此起彼伏，这些问题不容忽视啊！为何学生会出现学习困难？画高所呈现的错因何在？当前能熟记定义的学生，一段时间后还记得“什么是高”吗？目前会画高、以后也能正确地画吗？概念的教学该如何进行？
二、“高”，书怎么编
笔者翻阅教材，发现人教版教材将平行四边形、梯形、三角形的高先后安排在四年级上、下册，直接出示高的定义和图示（如图2），北师大版教材则将这三种平面图形的高都安排在五年级上册学习，并通过“桥洞的限高”情境引入对图形高的认识（如图3）。虽然引入方式不同，但两者在示范画高时，对应的底都是水平的（如图2、4），而在练习题中才出现了变式，即所谓“歪歪斜斜”的底（如图5）。
三、“高”，难在哪
不管是直接呈现抽象的定义，还是从现实情境中引入，教学的最终目标都是建立“高”的表象、理解概念的内涵。然而，概念本身就是对现实生活进行高度抽象与概括的结果，要认识概念，必不可脱离现实生活。为何学生会画“中规中矩”的高，遇到“歪歪斜斜”的高就束手无策了呢？这就涉及概念认识的四个层次——了解、理解、掌握、应用。
如果学生只会背“高”的定义，只会画“平平的底”所对应的高，说明他们只停留在对概念的“了解”层次，其结果必定是对概念的“遗忘”。而想要“理解”抽象的概念，就不能纯粹地“就定义而言高”，关键的一步是从书本回归现实，沟通现实中的高与书本中的高之间的联系。
学生对“高”的认识并不是零起点、零经验的，生活中有大量的“高”——人的身高、桌椅的高度、建筑的高等等。量身高，学生绝不会从肩膀量到脚底，都知道要从头顶开始量；量物体的高度，学生也会尽量保持垂直，不会量歪、量斜了，这就是学生认识“高”的经验。然而，现实中的高与书本中的高却不全相同。现实中存在的是物体的高，且物体大多规规矩矩、中中正正地摆放着，书本中呈现的则是抽象的平面图形的高，且图形很可能“东倒西歪”“头重脚轻”的。再者，现实中的“高”都是以地面为参照系的，而书本中却常常以斜边为底要求作高，这些就成为了学生认识“高”的障礙。只有利用学生已有的现实经验、帮助学生扫清抽象的障碍，才能达到对概念的“理解”层次。
那么，是否达到“理解”层次，就是真正掌握了概念呢？——不。在“高”的课堂教学中，许多老师都能做到“从书本回归现实”，让学生结合生活经验认识高，但“从现实抽象到书本”也是一个难以攻克的关卡，因此部分学生即使“理解”，却仍未“掌握”概念的内涵，所以形状一改变，画高就出错。只有当学生能正确画出“歪歪斜斜”的高——变式，才算是真正掌握了。
“应用”层次则是概念认识的最高层次，达到这一层次的学生已经能灵活应对各种平面图形的高，并能应用概念解决相关的实际问题。
四、“高”，能怎么学
基于概念认识的四个层次，笔者设计了如下教学过程：
环节一：输入现实场景，唤醒“高”的经验
1. 生活中哪里有“高”？同伴交流分享。
2. 回顾量身高的经历，说说身高指的是什么？量身高要注意什么？
3. 课件展示，输入大量生活中量高的场景，引出 “最高处”“最底下”“直直的”等关键词。
4. 课件出示“桥洞的限高”情境，说说“限高”指的是什么？哪一条线段的高度是4.5米？在图中画一画。同伴交流，体会桥洞的限高不只一条。
环节二：化具象为抽象，初探“高”的“外衣”
1. 认识梯形的高
呈现学生画桥洞限高的不同例子，把桥洞的形状看成梯形，认识梯形的高、上底、下底。
（给学生发梯形纸片，大小形状不一）请你标出上底、下底，画出梯形的高。呈现学生画高的正例、错例资源（如图6），加深对梯形的高的认识。
结合你对“高”的理解，谈谈什么是梯形的高。
2. 类比迁移，认识平行四边形、三角形的高
（给学生发平行四边形和三角形纸片，不同学生拿到的大小、形状都相同）结合现实中对“高”的理解，以及对梯形的高的认识，在纸片上画出平行四边形、三角形的高（不给定底，由学生自由发挥），辨析正误（常见错例见图1），深化对高的认识。
环节三：从基础到变式，再探“高”的“本色”
1. 变换图形的方向，理解图形有多条边可以作底。（如图7）
同一个图形，为什么你们画的高不完全相同、但又确实是图形的高呢？
认一认、说一说，梯形、平行四边形、三角形分别有几条底、几条高，每条底所对应的高在哪？
变换观察角度，高仍然垂直于底。
2. 自主迁移，尝试画出指定底边所对应的高。
3. 交流高的画法。
环节四：书本沟通现实，对比凸显本质
学习了这节课，说说生活中的高与数学平面图形的高有什么相同点、不同点？
生活中物体的高通常与地平线为参照系，是“竖直竖直”的。数学平面图形的高则有多种方向，“高”可能是斜着的，但高永远垂直于底。
五、概念，原来都一样
高，是图形与几何概念中的重要成员，但往往教师容易流于面积、体积的计算和应用，而忽视了高的本质内涵的教学。笔者从平面图形的高联想到“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”方面的许多概念，从一年级的“整数”“自然数”到高年级的“因数”“倍数”“方程”，从“点”“线”到“形”“体”，这些概念无一不从生活中抽象而得。
就拿简单的整数“1”的认识，孩子早在学前阶段就学习了许多自然数，甚至能流利地数数，许多低段教师感到困惑：孩子在家里、在幼儿园都学会了，我们还怎么教？教什么？然而，孩子会背、会数，他们真的理解“1”是什么吗？从概念认识的角度来说，孩子要会认、会读、会写，还要看到一个苹果、一本书、一只小动物、一个人等就知道可以用“1”来表示，最后，要达到这样一个层次——看到“1”，就能举出许多数量为1的例子。这样，经历从现实到书本、从具体到抽象再到具体的过程。再比如高年级的“表面积”“体积”等概念，如果学生只会死记硬背概念的定义，而不知表面积、体积为何物，那当遇到“做一个长方体纸盒需要多少纸皮”“一个正方体容器能装多少升水”等这样的问题，他就无法判断、无法解决。
所以，概念的教学，永远离不开现实的依托。要经历“了解”“理解”达到“掌握”“应用”的认识层次，关键的一步便是从书本回归现实生活，勾起学生的生活经验，架起数学与生活、知识与经验之间的桥梁。