数学是人们在对客观世界定性把握和定量刻画的基础上，逐步抽象概括，形成方法与理论并进行应用的过程。因此，在数学教学中，让学生主动进行观察、实验、类比、归纳、猜测等思维活动，在自主探索的过程中真正理解
　　和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，显得尤为重要。
　　
　　案例描述
　　
　　教师创设问题情境：“师傅给了徒弟小张一根圆柱形木头(底面直径20厘米、高30厘米)，让他做一个底面直径是20厘米、高是10厘米的圆锥。如果你是小张，你准备怎么做?”
　　教师先让学生独立思考，然后学习小组讨论交流。学生总结出解题方法：先截取10厘米長的圆柱形木头，找出圆柱一个底面的中心，然后沿着这个中心点和圆柱另一底面削去边缘部分。师提问：“请你估计一下，这个底面直径是20厘米、高是10厘米的圆锥体，它的体积是多少立方厘米?并说出估计的理由。”学生的回答归纳如下：(1)因为要削去一部分，肯定比没有做圆锥之前的圆柱体积小。(2)看起来做好的这个圆锥体积是原来圆柱体积的一半。(3)凭经验，认为一半也不到。师：“怎么验证我们的估计是否正确呢?”在学生各抒己见的同时，教师引导学生回顾三角形和梯形面积计算公式的推导过程。同时，教师出示等底等高的空心圆柱和圆锥让学生进行比较，并引出实验的方法，由此推导出圆锥体体积的计算公式。
　　
　　案例解读
　　
　　1.通过创设问题情境，有效地提高了课堂教学的效率，激发了学生的学习兴趣。教学情境是学生掌握知识、形成能力、发展心理品质的重要因素，是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。现行数学教材的内容只是数学思维结果的系统表述，如果在教学过程中，教师对教学内容的安排不作任何处理而直截了当地呈现在学生面前，就会掩盖数学知识获得的思维过程，不利于培养学生的数学思维能力。案例中，教师将教学内容看作思维过程的材料并进行重组，把“现成”的教学内容变成“活动的”，让学生自己去动手、去估计、去猜想，从而使学生迫不及待地想探个究竟，学习兴趣油然而生，参与学习就成为一种自觉的行为。
　　2.进行类比思想、化归思想和猜想验证思想的渗透。在上述案例中，面对求圆锥体积这个新的数学问题，教师鼓励学生先进行大胆的猜想，再引导学生进行验证。学生像数学家一样，展开丰富的联想，进行大胆的猜想，并自主地进行验证，从而发现新的数学知识。这样，学生在研究发现数学规律的同时，受到了一次科学研究方法的启蒙。在这样的过程中，学生自主探究，经历了猜想、假定、确定的过程，体验到创造、发现的喜悦。
　　再者，和学生一道回忆三角形面积计算公式的推导过程，使学生明确把三角形转化为平行四边形的转化方法与其他图形的转化方法有所不同。其他图形一般是通过切拼方法转化的，而三角形的转化是把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，这为等底等高的圆锥体积提供内在的类比逻辑。其次，组织学生进行化归活动。教师出示等底等高的空心圆柱和圆锥，通过比较使学生理解两者的关系。在此，教师不是直接让学生实验，而是引导学生进行实验设计，形成实验思想。
　　3.关注学生的学习过程，给学生提供了“做”数学的机会。在上述案例中，教师不是直接引导学生通过实验推导出圆锥的体积计算公式，而是通过多次创设问题情境，给学生较充分的时间和空间思考，让学生通过个体努力与小组合作主动探索、发现，使问题解决的策略多样化。在这一案例中，学生不再受教师的约束，自己选择问题解决的策略，设计问题解决的方案，显现出个体差异性。学生通过实验操作、分析推理的学习过程，不仅主动获取了知识，而且更重要的是学到了关于如何解决新问题的策略性知识。
　　4.注重独立思考。就本节课而言，传统的教学大都是这样设计的：在复习平行四边形和三角形面积计算公式的推导过程之后，教师用实物或多媒体演示圆锥体积计算公式的推导过程，然后让学生根据公式进行计算。在这样的教学过程中，教师完全处于控制地位，学生只能按教师的要求被动作答，课堂上难以见到学生真实的思想流露，学生的思维没有得到充分的开发。本节课教师的角色已经转变，不再是纯粹的知识灌输者，而是成为学生学习的引导者，努力引导学生参与教学过程，充分发挥学生的主体性。在让学生猜测圆柱和圆锥的关系时，学生思维非常活跃，所有结论的得出都是建立在学生独立思考的基础上。
　　总之，这一节课不仅使学生掌握了所学知识，而且培养了学生观察、比较、猜想、分析推理的能力。