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摘 要：不等式历来是数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的比较，通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系，因而从某种意义上说，对不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。本文试探讨一种比较特殊而又著名的不等式——“平均值不等式”。由于它变化多，实用性强，可以充分展示学生的机敏和能力，所以，在数学课堂学习中，丰富平均值不等式这方面的知识对提高数学解题能力和数学修养都是大有益处的。
关键词：平均值 不等式应用 应用
不等式历来是数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的比较，通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系，因而从某种意义上说，不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。本文试探讨一种比较特殊而又著名的不等式——“平均值不等式”。这种不等式不仅本身颇为有用，而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧之用，而且它在中学数学中也有着广泛的应用。特别在高中数学中，我们频繁地接触到此类不等式的简化形式，可见平均值不等式及其相关教学有着其重要的地位和作用。
一、平均值不等式
算术——几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设x1，…，xn为个正实数，它们的算术平均数是An= ，它们的几何平均数是Gn= x1·x2…xn。算术—几何平均值不等式表明，对任意的正实数x1，…，xn，总有：An≥Gn等号成立当且仅当x1=x2=…=xn。
算术——几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术——几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式）。
二、平均值不等式的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的。
由对称性不妨设xn+1是x1，x2…，xn+1中最大的，由于An+1= ，设xn+1=An+b，则b≥0，并且有An+1=An+b/（n+1）。根据二项式定理：
A =（An+ ）≥A +（n+1）Ann =Ann（An+b）=Annxn+1≥Gnnxn+1=x1x2…xn+1=G ，
于是完成了从n到n+1的证明。
三、平均值不等式的应用
初等数学中常见的平均值不等式：
（1）a2+b2≥2ab=ab+ab（a，b∈R）。
（2）a+b≥2 ab= ab+ ab（a，b∈R）。
两端的结构、数字具有如下特征：
①次数相等。
②项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等。
③左和右积。
当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。
例.已知a，b，c為不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧系数为6，左和右积，具备均值不等式的特征。
证明：∵b2+c2≥2bc，a>0，∴a（b2+c2）≥2abc，
同理，b（c2+a2）≥2bac，c（a2+b2）≥2cab，
又∵a，b，c不全相等，上述三个不等式中等号不能同时成立，
因此a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
说明：此题的证明方法采用的是综合法，用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。
总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。
在数学知识体系内部平均值不等式占据着非常重要的地位，而且在现实生活中有着具大的应用价值，对学生能力的培养也起到了不可估量的作用，蕴含着极其丰富的数学思想。若能有效地运用其证明，应用及其推广的数学思想去分析问题、解决问题，在解题中大为有益。
本文结合大量文献所积累的技巧和方法，不仅在理论上丰富和发展了平均值不等式及相应学科的理论、方法和技巧，而且对社会的发展也将产生一定的积极影响。
参考文献
[1]匡继昌 常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989，168-169。
[2]李胜宏《平均不等式与柯西不等式》[J].华东师大出版社，2005，21-35。
[3]梁瑞兴 著名不等式[M]，北京：中国物资出版社，1994，30-65。
[4]钱佩玲《数学思想方法与中学数学》[J].北京师范大学出版，1999，32-34。
[5]马波《中学数学解题研究》[M].北京：北京师范大学出版，2011，155-170。
[6]张奠宙 赵小平 现代数学大观[M].上海：华东师范大学出版社，2002，108-140。
关键词：平均值 不等式应用 应用
不等式历来是数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的比较，通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系，因而从某种意义上说，不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。本文试探讨一种比较特殊而又著名的不等式——“平均值不等式”。这种不等式不仅本身颇为有用，而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧之用，而且它在中学数学中也有着广泛的应用。特别在高中数学中，我们频繁地接触到此类不等式的简化形式，可见平均值不等式及其相关教学有着其重要的地位和作用。
一、平均值不等式
算术——几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设x1，…，xn为个正实数，它们的算术平均数是An= ，它们的几何平均数是Gn= x1·x2…xn。算术—几何平均值不等式表明，对任意的正实数x1，…，xn，总有：An≥Gn等号成立当且仅当x1=x2=…=xn。
算术——几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术——几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式）。
二、平均值不等式的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的。
由对称性不妨设xn+1是x1，x2…，xn+1中最大的，由于An+1= ，设xn+1=An+b，则b≥0，并且有An+1=An+b/（n+1）。根据二项式定理：
A =（An+ ）≥A +（n+1）Ann =Ann（An+b）=Annxn+1≥Gnnxn+1=x1x2…xn+1=G ，
于是完成了从n到n+1的证明。
三、平均值不等式的应用
初等数学中常见的平均值不等式：
（1）a2+b2≥2ab=ab+ab（a，b∈R）。
（2）a+b≥2 ab= ab+ ab（a，b∈R）。
两端的结构、数字具有如下特征：
①次数相等。
②项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等。
③左和右积。
当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。
例.已知a，b，c為不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧系数为6，左和右积，具备均值不等式的特征。
证明：∵b2+c2≥2bc，a>0，∴a（b2+c2）≥2abc，
同理，b（c2+a2）≥2bac，c（a2+b2）≥2cab，
又∵a，b，c不全相等，上述三个不等式中等号不能同时成立，
因此a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。
说明：此题的证明方法采用的是综合法，用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。
总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。
在数学知识体系内部平均值不等式占据着非常重要的地位，而且在现实生活中有着具大的应用价值，对学生能力的培养也起到了不可估量的作用，蕴含着极其丰富的数学思想。若能有效地运用其证明，应用及其推广的数学思想去分析问题、解决问题，在解题中大为有益。
本文结合大量文献所积累的技巧和方法，不仅在理论上丰富和发展了平均值不等式及相应学科的理论、方法和技巧，而且对社会的发展也将产生一定的积极影响。
参考文献
[1]匡继昌 常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989，168-169。
[2]李胜宏《平均不等式与柯西不等式》[J].华东师大出版社，2005，21-35。
[3]梁瑞兴 著名不等式[M]，北京：中国物资出版社，1994，30-65。
[4]钱佩玲《数学思想方法与中学数学》[J].北京师范大学出版，1999，32-34。
[5]马波《中学数学解题研究》[M].北京：北京师范大学出版，2011，155-170。
[6]张奠宙 赵小平 现代数学大观[M].上海：华东师范大学出版社，2002，108-140。