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摘 要：人们在使用、学习数学时，渐渐产生并发展了数学学科核心素养，其一般由五个方面的数学基本特征概括展现：一是价值观;二是立场;三是感情;四是关键能力;五是思维品质，它也是数学教育需要达到的主要目标之一[1]。数学学科核心素养的六个方面中，不论是对学生的发展还是学习，数学抽象是最为重要的。概念形成本身就是一个不具象的历程，因此主要针对数学概念教学的APOS理论构建主义学说对于数学抽象素养的培养极具推波助澜之力。所以，笔者遵循高中数学新课标的教学意见，坚持一切围绕学生自身发展，以优化传统教学模式为导向，将“方程的根与函数的零点”作为范例，讨论APOS学说中，重在数学抽象素养培养的教学设计。
关键词：高中数学;APOS理论;数学抽象;教学设计
一、APOS理论基本概述
APOS理论基于建构主义，主要用于解决两个方面的问题：一是了解学生通过何种方式学习;二是研究怎么样设计教学方案能够适应学生的学习方式，从而提高学生学习水平，美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）提出了这个理论，所提出的“四步法”教学模型，即：一是图示（schemas）;二是对象（objects）;三是过程（processes）;四是活动（actions），主要针对于数学概念学习的一种教学模型[2-3]。“活动”阶段主要是指学习者通过一系列的活动对新知进行具体感知。“程序”阶段主要是指学习者将初步具体感知的新概念抽象化，内化为一种特别的程序算法。“对象”阶段主要是指学习者进一步理解活动和过程，以更高的视角分析概念间的关系，能够自行根据程序构建类比程序。“图式”阶段是学习者对活动、程序、图式以及相关知识进行整合，以形成具体的认知框架[2]。
二、如何有效培育数学抽象素养
数学学科核心素养的六个方面中，数学抽象是最为重要的，高中学校授课常常围绕数学抽象开展，它是理性思维的基石以及数学的基本思想之一，实质就是使用抽象的形式，得到研究客体的素养，一般使用的形式有两种：一是空间形式;二是数量关系。数学抽象可分为弱抽象和强抽象，弱抽象即概念扩张式抽象，强抽象即概念强化式抽象[3]，具体应用到数学概念的课堂教学之中，弱抽象具体指通过对具体例子抽象归纳出共性，形成初步的概念模型，强抽象具体指对新概念的更深层次的理解[4-5]。
已有的研究表明，学生对数学概念的掌握过程就是数学抽象思维的发展过程，这种抽象思维具有较强的年龄规律，而高中阶段的学生恰好处于最佳的年龄阶段，因此，老师应该结合自己的教学经验，对关键期的教学给予更多的重视，促进学生数学抽象思维的良好发展。此外，老师要把握好以下教学策略。
（一）注重概念形成过程的教学
从数学教育心理学可以看出，数学抽象的培养需要一个过程：第一步，全面的感知事物;第二步，对本质特征进行简单归纳;第三步，符号表征;第四步，进行更加深刻的迁移、推演、归纳，这就是人们正确认识客观事物的规律。因此，老师在编写教学设计时，除了要把握一节课的整体性，还要注重每个教学环节，既要注重每個教学过程，保证每个环节的完整性，同时要保证环节与环节之间的连贯性。
（二）加深概念理解
每个数学概念都是数学抽象的产物，因此，数学概念是数学抽象培养的关键点。因此，老师可以运用问题导向，将问题设计环环相扣，避免学生领会概念出现过于狭窄的情况，深化概念，在对所学新概念归纳出一般特征之后，进而要构建知识结构，加强数学知识的联结性，形成知识体系。
（三）强化概念的具体运用
强化实践过程中概念的使用，将感到不具象的概念使用在实践中，这不仅对学生个人的发展至关重要，同时对我们整个社会的发展也是至关重要的。概念教学不仅要重视从不同事物中抽象出共性得出新概念，同时也要重要用新概念解决具体的实际问题。实践是检验真理的唯一标准，当我们学到一个新的东西，不加以应用，就不能感受其精髓，同时也不能实现其价值。此外，根据“以人的发展为本”，也应该鼓励学生学以致用。
三、基于APOS理论的重在数学抽象素养培养的教学设计
（一）课例背景
“方程的根与函数的零点”在近几年的高考中历次出现。课程内容知识点主要包括：一是函数的概念与性质;二是一次函数;三是二次函数;四是指数函数;五是对数函数，课程使用实例用以加深学生对于函数建模方法以及过程的认知，课程将集中讨论两个方面问题：一是函数零点的概念;二是零点的求法，其蕴含的函数与方程、数学抽象等数学思想，三个方面的数学方法：一是归纳类比;二是形数结合;三是分类探讨，三个方面的数学思维：一是从特殊到一般;二是从具体到抽象;三是从抽象到具体。教学难点有一个：零点的确定。教学重点有两个：一是函数零点的概念;二是零点的求法。
（二）教学过程
基于APOS 理论、数学抽象素养和本节课的分析，本节课的设计过程如下： 感知情境，引出概念; 数形结合，深化概念; 学以致用，巩固新知; 迁移创新，拓展延伸; 应用举例，加深巩固。其中，“弱抽象”环节是数形结合，深化概念; “强抽象”环节是学以致用，巩固新知; “二次强抽象”环节是迁移创新，拓展延伸和应用举例。
1.活动（actions）阶段——创设情境，引出概念
首先，给定二次函数与其对应一元二次方程，要求学生根据给定内容，进行作图和求解，并注意对应方程、x轴交点、函数图象之间的联系。
接着，提出猜想，是否所有函数图象都满足此关系，变换二次函数，引领学生动手作图，分组探讨函数图象与x轴的交点与其对应一元二次方程的根的关系，探其原由，并让学生主动分享小组结论，教师予以补充完善。
最后，抛出零点概念，引导学生理解函数零点与方程根的关系。
设计意图：根据APOS理论活动阶段教学，教师以求解方程的根和函数与x轴的交点为切入，让学生经历动手操作、观察猜想、合作探讨、分享交流四阶段教学活动，使学生对函数图象与x轴的交点和对应方程的跟的关系拥有直观体验。这不仅有助于学生进一步理解函数零点与方程根的关系，还能够有效激发学习积极性，引导学生探索知识的主观能动性[6-7]，在学习中得到心理满足，让他们深度参与到授课过程中，为课堂的深入展开埋好伏笔。
关键词：高中数学;APOS理论;数学抽象;教学设计
一、APOS理论基本概述
APOS理论基于建构主义，主要用于解决两个方面的问题：一是了解学生通过何种方式学习;二是研究怎么样设计教学方案能够适应学生的学习方式，从而提高学生学习水平，美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）提出了这个理论，所提出的“四步法”教学模型，即：一是图示（schemas）;二是对象（objects）;三是过程（processes）;四是活动（actions），主要针对于数学概念学习的一种教学模型[2-3]。“活动”阶段主要是指学习者通过一系列的活动对新知进行具体感知。“程序”阶段主要是指学习者将初步具体感知的新概念抽象化，内化为一种特别的程序算法。“对象”阶段主要是指学习者进一步理解活动和过程，以更高的视角分析概念间的关系，能够自行根据程序构建类比程序。“图式”阶段是学习者对活动、程序、图式以及相关知识进行整合，以形成具体的认知框架[2]。
二、如何有效培育数学抽象素养
数学学科核心素养的六个方面中，数学抽象是最为重要的，高中学校授课常常围绕数学抽象开展，它是理性思维的基石以及数学的基本思想之一，实质就是使用抽象的形式，得到研究客体的素养，一般使用的形式有两种：一是空间形式;二是数量关系。数学抽象可分为弱抽象和强抽象，弱抽象即概念扩张式抽象，强抽象即概念强化式抽象[3]，具体应用到数学概念的课堂教学之中，弱抽象具体指通过对具体例子抽象归纳出共性，形成初步的概念模型，强抽象具体指对新概念的更深层次的理解[4-5]。
已有的研究表明，学生对数学概念的掌握过程就是数学抽象思维的发展过程，这种抽象思维具有较强的年龄规律，而高中阶段的学生恰好处于最佳的年龄阶段，因此，老师应该结合自己的教学经验，对关键期的教学给予更多的重视，促进学生数学抽象思维的良好发展。此外，老师要把握好以下教学策略。
（一）注重概念形成过程的教学
从数学教育心理学可以看出，数学抽象的培养需要一个过程：第一步，全面的感知事物;第二步，对本质特征进行简单归纳;第三步，符号表征;第四步，进行更加深刻的迁移、推演、归纳，这就是人们正确认识客观事物的规律。因此，老师在编写教学设计时，除了要把握一节课的整体性，还要注重每个教学环节，既要注重每個教学过程，保证每个环节的完整性，同时要保证环节与环节之间的连贯性。
（二）加深概念理解
每个数学概念都是数学抽象的产物，因此，数学概念是数学抽象培养的关键点。因此，老师可以运用问题导向，将问题设计环环相扣，避免学生领会概念出现过于狭窄的情况，深化概念，在对所学新概念归纳出一般特征之后，进而要构建知识结构，加强数学知识的联结性，形成知识体系。
（三）强化概念的具体运用
强化实践过程中概念的使用，将感到不具象的概念使用在实践中，这不仅对学生个人的发展至关重要，同时对我们整个社会的发展也是至关重要的。概念教学不仅要重视从不同事物中抽象出共性得出新概念，同时也要重要用新概念解决具体的实际问题。实践是检验真理的唯一标准，当我们学到一个新的东西，不加以应用，就不能感受其精髓，同时也不能实现其价值。此外，根据“以人的发展为本”，也应该鼓励学生学以致用。
三、基于APOS理论的重在数学抽象素养培养的教学设计
（一）课例背景
“方程的根与函数的零点”在近几年的高考中历次出现。课程内容知识点主要包括：一是函数的概念与性质;二是一次函数;三是二次函数;四是指数函数;五是对数函数，课程使用实例用以加深学生对于函数建模方法以及过程的认知，课程将集中讨论两个方面问题：一是函数零点的概念;二是零点的求法，其蕴含的函数与方程、数学抽象等数学思想，三个方面的数学方法：一是归纳类比;二是形数结合;三是分类探讨，三个方面的数学思维：一是从特殊到一般;二是从具体到抽象;三是从抽象到具体。教学难点有一个：零点的确定。教学重点有两个：一是函数零点的概念;二是零点的求法。
（二）教学过程
基于APOS 理论、数学抽象素养和本节课的分析，本节课的设计过程如下： 感知情境，引出概念; 数形结合，深化概念; 学以致用，巩固新知; 迁移创新，拓展延伸; 应用举例，加深巩固。其中，“弱抽象”环节是数形结合，深化概念; “强抽象”环节是学以致用，巩固新知; “二次强抽象”环节是迁移创新，拓展延伸和应用举例。
1.活动（actions）阶段——创设情境，引出概念
首先，给定二次函数与其对应一元二次方程，要求学生根据给定内容，进行作图和求解，并注意对应方程、x轴交点、函数图象之间的联系。
接着，提出猜想，是否所有函数图象都满足此关系，变换二次函数，引领学生动手作图，分组探讨函数图象与x轴的交点与其对应一元二次方程的根的关系，探其原由，并让学生主动分享小组结论，教师予以补充完善。
最后，抛出零点概念，引导学生理解函数零点与方程根的关系。
设计意图：根据APOS理论活动阶段教学，教师以求解方程的根和函数与x轴的交点为切入，让学生经历动手操作、观察猜想、合作探讨、分享交流四阶段教学活动，使学生对函数图象与x轴的交点和对应方程的跟的关系拥有直观体验。这不仅有助于学生进一步理解函数零点与方程根的关系，还能够有效激发学习积极性，引导学生探索知识的主观能动性[6-7]，在学习中得到心理满足，让他们深度参与到授课过程中，为课堂的深入展开埋好伏笔。