汇交力系基本定理的教学解析

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  [摘要]笔者从工程力学的实际教学出发,对汇交力系中力的可传性、三力平衡汇交定理进行详细论述和解析,力求使学生更加深刻理解汇交力系以真正做到灵活应用。
  [关键词]汇交力系 可传性 三力平衡汇交
  
  前言
  工程力学是机械类及近机类专业的重要专业基础课程,服务于后续的专业课程及相关的课程设计。要学习好这门课程,首先要求学生对其中的基本定理和概念能够很好地理解和掌握。
  而汇交力系和力偶系是工程力学中重要的两个章节,作为最简单的力系,它们是分析任意力系的基础,也是解决实际力学问题的重要支撑。因此笔者认为掌握汇交力系的基本概念和原理,对于灵活应用汇交力系显得十分重要。基于此,本论文对汇交力系进行论述和解析。
  一、基本定理解读
  汇交力系根据力系作用面的空间状态可分为平面汇交力系和空间汇交力系两种。其中平面汇交力系是基础,学习时以它为切入点,进而延伸到空间汇交力系。在平面汇交力系这一章的教学中,应注重培养学生逻辑推导能力和理解证明能力,因为本章节涉及到一些重要的性质或者定理,现作解读如下。
  力的可传性:作用于刚体上某一点的力,可沿作用线移至刚体上的任一点,而不改变对刚体的作用效应[1]。该性质中的关键词是沿作用线、刚体上、不改变作用效应。该性质可用图解表示,如图1所示。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  图1:力的可传性解析
  图(a)中作用在O点的力 ,根据力的可传性质,如图(b)所示,若将该力移到位于该力作用线AB的连线上C、D两点时,力的作用效果不变;如果移到G点、E点,则力的作用效果将会改变。因为G点位于刚体之外,E点位于力 的作用线之外。
  三力平衡汇交定理:当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作用下平衡时,这三个力的作用线必汇交于一点[1]。笔者认为该定理字面上不大好理解(尤其对于初学的学生),因此故对其转换表达如下:
  当刚体受三个作用在同一平面且不平行的力作用时,若已知或者根据约束类型能够明确判定其中两个力必能相交到一点,那么第三个力肯定通过前两个力的汇交点。注意:此汇交点不是一定就落在刚体上,有可能在刚体上,亦有可能在刚体之外,但一定在这三个力所作用的平面上。
  二、基本定理的应用解析
  根据力的合成法则,汇交力系平衡的几何条件是力多边形自行封闭,即所有力彼此首尾相连,刚好能构成封闭图形。学习完三力平衡汇交定理及汇交力系的平衡条件,要求学生能对实际问题进行判断和解析。现以如图2所示的问题1进行平衡探讨,力求使学生深刻理解汇交力系的平衡。
  问题1:刚体上A、B、C三点作用三个力 ,其指向如图2所示。若三力构成的力三角形封闭,该刚体是否平衡。
  
  
  
  
  
  
  针对这个问题学生回答不一,有回答能平衡的、有回答不能的、有回答会打转的……答案的不统一主要由于对汇交力系平衡的几何条件理解不到位。在讨论问题1之前,我们先看图3所示情况:
  
  
  
  
  
  
  
  图3与图2的区别在于,这三个力的实际大小能构成封闭三角形。图3所示情况极具迷惑性,从外观上跟汇交力系平衡的几何条件一模一样,大部分同学都认为图3所示的情况为平衡状态,当然也有一小部分同学感觉刚体在这三个力作用会转动。其实这三个力不能使刚体保持平衡,原因在于在三个力并不是汇交力系,它们只是两两汇交( 与 交于B点、 与 交于A点、 与 交于C点),而三个力并没有一个共同汇交点。
  我们可以利用力的合成法则来验证图3所示的刚体处于不平衡状态,如图4所示。根据力的可传性和汇交力系合成的平行四边形法则,作平行四边形ACED得出 与 的合力 ,注意到合力 的起点是 与 的汇交点C点,终点是D点。根据几何关系易知 与 大小相等,方向平行且反向,作用点分别为A点、B点。显然 与 不能满足二力平衡条件:等值、共线、反向。所以 与 不能平衡。若根据后面课程内容可知, 与 组成一对力偶;或将 平移至 的作用点A点,根据力的平移定理知,要使力的作用效果不变,除力 外还需加一附加力偶M0,如图5所示,此时 与 构成一对平衡力,但整体还有附加力偶M0的作用。据上分析,图3所示刚体为不平衡状态。
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  特别说明:在求 与 得合力时,为了演示力的平行四边形法则或者说只是为了表达作图过程,才将 移到A点, 移到E点,此时 与 的移动并不满足力的可传性。学生此处非常容易误解,需特别强调。
  解析到此,现在返回问题1,同学们得答案很明朗。图3所示为不平衡状态,原因类似图4,主要有两个:①三个力不是汇交力系;②三个力并未真正自行封闭。
  三、结论
  在后续的刚体系平衡问题的力学计算时,先判断系统中有无受力较为简单的构件(如二力杆),以及有无能否满足三力汇交平衡的构件。如果能够正确识别这些特殊构件,可以大大简化计算和减少未知数个数,所以往往这也是求解静力学问题的突破口。因此弄清楚三力汇交平衡定理的内涵显得十分重要,对于灵活正确应用该定理帮助很大。
  项目资助:北京理工大学珠海学院机械工程及自动化特色专业建设项目
  [参考文献]
  [1]单辉祖,谢传锋合编.工程力学(静力学与材料力学).第1版.北京:高等教育出版社,2006.
  (作者单位:北京理工大学珠海学院)
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