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[摘 要]在小波变换的压缩感知重构算法的基础上，提出了基于单层小波变换的压缩感知改进算法。为了减少重构时间，提出了基于单层小波变换的分块压缩感知算法，与原算法相比，在保证重构图像清晰度的前提下，改进算法的重构图像速度加快，对每个图像块进行观测的高斯随机测量矩阵的存储空间明显减少，重构图像块更容易实现。仿真结果表明改进算法的重构效果优于原始算法。
[关键词]压缩感知；单层小波变换；重构算法
中图分类号：TU817 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）23-0144-02
0 引言
我们处在一个信息技术快速发展的时代，如何处理海量数据，快速进行数据采集、存储和传输成为急需解决的一个问题。在此背景下，诞生一种理论——压缩感知（Compressive Sensing，CS）[1]。该理论某些抽象结论基于Kashin创立的范函分析和逼近理论，由D.Donoho[2]和E.Candes，J.Romberg和T.Tao[3]等人提出了压缩感知理论的详细算法，于2006年发表了相关论文。
由压缩感知理论可得这样的结论[4]：原始信号如果满足可压缩或在某个变换域是稀疏的条件，则可以通过选取与原始信号稀疏变换基不相关的测量矩阵（也称观测矩阵）的方式将变换之后得到
的高维信号结果在低维空间投影，最后通过求解一个优化问题，由这些少量投影以高概率重构出原信号。其中，能够使信号准确重构必须将由投影值提供足够多的信息。原始信号里的信息具有不同的内容以及结构的差异决定了拥有远低于奈奎斯特采样率的信号采样率。而且，将信号采样和数据压缩同步进行，使采样的信息数据大大减少，节省了存储空间。
当利用压缩感知直接对整幅大尺度图像进行重构过程中，大量存储空间被观测过程中的测量矩阵占用，这也导致了重构耗时长，计算量大，算法复杂等问题。Lu Gan提出利用的分块压缩感知技术（Block Compressed Sensing，BCS）[5]可以较好的解决上述问题。同时参考文献[6]，本文重点介绍基于单层小波变换变换的分块压缩感知，该算法大大减少重构时间，对图像分块进行重构过程中所需高斯随机测量矩阵的存储空间也大大减少。本文同时利用MATLAB GUI进行基于单层小波变换的压缩感知图像重构模型的设计。
1 改进的基于单层小波变换的压缩感知图像重构算法
本节重点介绍基于单层小波变换变换的分块压缩感知，具体的实现步骤如下：
（1）把大小为I=N×N的图像均匀分割成大小为B×B的互不覆盖子块Xi，i=1，…n， n=I/B2；
（2）采用一层小波对每个子块分别进行分解，分別得到{LL1， HL1，LH1，HH1}小波子带系数；
（4）设计维数为的随机高斯观测矩阵ΦB，对每个子块中高频子带稀疏系数分别进行测量，对低频子带LL1直接观测；
（5）整幅图像的等价测量矩阵可写成一个对角矩阵Φ。
（6）在每个子块中，采用OMP分别对测量后的高频稀疏系数进行重构，并与低频子带系数LL1一起进行小波反变换重构原始子块。
（7）将各个重构子块组合成重构原始图像。
2 实验仿真与分析
本节选取不同特性的两幅标准图像： 大小为256×256的图像X，对图像进行8×8的分块和16×16的分块。分别计算基于单层小波变换的分块压缩感知与基于单层小波变换的压缩感知在不同的采样率下重构图像的PSNR值。将两者进行比较，说明本节介绍的算法在采样率较低时重构图像的PSNR值比较接近，总体重构图像的效果稍微差一点。但是本节算法的重构时间比单层小波变换算法的重构时间明显减少。当想要快速获得重构图像且采样率较低时，该节方法也不失为一种选择。实验的结果分别由表1所示。
为了更直观体现出利用两种算法对图像X重构的PSNR值的变换，给出如图1所示的PSNR曲线图，横坐标为子带采样率，纵坐标为重构图像的PSNR值。
根据MATLAB GUI模型设计步骤及方法，可以设计出基于单层小波变换的分块压缩感知模型。将图像X分为16×16图像子块，子带采样率为0.4，则总测量值个数M=34816。经过重构后的效果图如图2，此时PSNR=29.04dB。与表1仿真结果进行分析比较，PSNR值基本一致，在误差允许范围内。
3 结束语
基于传统的小波变换压缩感知对整幅图像进行压缩重构，花费时间较长。基于单层小波变换的压缩感知，对高频系数进行测量，但保留低频系数，通过实验结果分析不光重构时间确实有所减少，其重构图像的PSNR值也有所提高；在使用高斯随机测量矩阵观测图像由小波变换得到的稀疏系数的情况下对存储空间的需求量很大，同时计算复杂度会变得非常高，对于此问题，本文提出了基于单层小波变换的分块压缩感知，并分别对图像进行CS重构。将这种算法与基于传统的小波变换的压缩感知重构算法比较，使得短时间内图像块就可以完成重构，而且对图像进行分块进行重构过程中所需高斯随机测量矩阵的存储空间大大减少。
参考文献
[1] E Candes. Compressive sampling. Proceedings of the International Congress of Mathematicians [C].MadridSpain，2006，3：1433-1452.
[2] Donoho D. Compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.
[3] Candes E， Romberg J， Tao J. Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.
[4] 张宁.压缩感知重建算法的若干研究[D].南京邮电大学.2013.
[5] Lu Gan.Block compressed sensing of natural images[C].Confon Digital Signal Processing，Cardiff， UK，2007.
[6] 岑翼刚，陈晓方，岑丽辉等.基于单层小波变换的压缩感知图像处理[J].通信学报，2010，31（8A）：52-55.
[关键词]压缩感知；单层小波变换；重构算法
中图分类号：TU817 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）23-0144-02
0 引言
我们处在一个信息技术快速发展的时代，如何处理海量数据，快速进行数据采集、存储和传输成为急需解决的一个问题。在此背景下，诞生一种理论——压缩感知（Compressive Sensing，CS）[1]。该理论某些抽象结论基于Kashin创立的范函分析和逼近理论，由D.Donoho[2]和E.Candes，J.Romberg和T.Tao[3]等人提出了压缩感知理论的详细算法，于2006年发表了相关论文。
由压缩感知理论可得这样的结论[4]：原始信号如果满足可压缩或在某个变换域是稀疏的条件，则可以通过选取与原始信号稀疏变换基不相关的测量矩阵（也称观测矩阵）的方式将变换之后得到
的高维信号结果在低维空间投影，最后通过求解一个优化问题，由这些少量投影以高概率重构出原信号。其中，能够使信号准确重构必须将由投影值提供足够多的信息。原始信号里的信息具有不同的内容以及结构的差异决定了拥有远低于奈奎斯特采样率的信号采样率。而且，将信号采样和数据压缩同步进行，使采样的信息数据大大减少，节省了存储空间。
当利用压缩感知直接对整幅大尺度图像进行重构过程中，大量存储空间被观测过程中的测量矩阵占用，这也导致了重构耗时长，计算量大，算法复杂等问题。Lu Gan提出利用的分块压缩感知技术（Block Compressed Sensing，BCS）[5]可以较好的解决上述问题。同时参考文献[6]，本文重点介绍基于单层小波变换变换的分块压缩感知，该算法大大减少重构时间，对图像分块进行重构过程中所需高斯随机测量矩阵的存储空间也大大减少。本文同时利用MATLAB GUI进行基于单层小波变换的压缩感知图像重构模型的设计。
1 改进的基于单层小波变换的压缩感知图像重构算法
本节重点介绍基于单层小波变换变换的分块压缩感知，具体的实现步骤如下：
（1）把大小为I=N×N的图像均匀分割成大小为B×B的互不覆盖子块Xi，i=1，…n， n=I/B2；
（2）采用一层小波对每个子块分别进行分解，分別得到{LL1， HL1，LH1，HH1}小波子带系数；
（4）设计维数为的随机高斯观测矩阵ΦB，对每个子块中高频子带稀疏系数分别进行测量，对低频子带LL1直接观测；
（5）整幅图像的等价测量矩阵可写成一个对角矩阵Φ。
（6）在每个子块中，采用OMP分别对测量后的高频稀疏系数进行重构，并与低频子带系数LL1一起进行小波反变换重构原始子块。
（7）将各个重构子块组合成重构原始图像。
2 实验仿真与分析
本节选取不同特性的两幅标准图像： 大小为256×256的图像X，对图像进行8×8的分块和16×16的分块。分别计算基于单层小波变换的分块压缩感知与基于单层小波变换的压缩感知在不同的采样率下重构图像的PSNR值。将两者进行比较，说明本节介绍的算法在采样率较低时重构图像的PSNR值比较接近，总体重构图像的效果稍微差一点。但是本节算法的重构时间比单层小波变换算法的重构时间明显减少。当想要快速获得重构图像且采样率较低时，该节方法也不失为一种选择。实验的结果分别由表1所示。
为了更直观体现出利用两种算法对图像X重构的PSNR值的变换，给出如图1所示的PSNR曲线图，横坐标为子带采样率，纵坐标为重构图像的PSNR值。
根据MATLAB GUI模型设计步骤及方法，可以设计出基于单层小波变换的分块压缩感知模型。将图像X分为16×16图像子块，子带采样率为0.4，则总测量值个数M=34816。经过重构后的效果图如图2，此时PSNR=29.04dB。与表1仿真结果进行分析比较，PSNR值基本一致，在误差允许范围内。
3 结束语
基于传统的小波变换压缩感知对整幅图像进行压缩重构，花费时间较长。基于单层小波变换的压缩感知，对高频系数进行测量，但保留低频系数，通过实验结果分析不光重构时间确实有所减少，其重构图像的PSNR值也有所提高；在使用高斯随机测量矩阵观测图像由小波变换得到的稀疏系数的情况下对存储空间的需求量很大，同时计算复杂度会变得非常高，对于此问题，本文提出了基于单层小波变换的分块压缩感知，并分别对图像进行CS重构。将这种算法与基于传统的小波变换的压缩感知重构算法比较，使得短时间内图像块就可以完成重构，而且对图像进行分块进行重构过程中所需高斯随机测量矩阵的存储空间大大减少。
参考文献
[1] E Candes. Compressive sampling. Proceedings of the International Congress of Mathematicians [C].MadridSpain，2006，3：1433-1452.
[2] Donoho D. Compressed sensing [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.
[3] Candes E， Romberg J， Tao J. Robust uncertainty principles： Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489-509.
[4] 张宁.压缩感知重建算法的若干研究[D].南京邮电大学.2013.
[5] Lu Gan.Block compressed sensing of natural images[C].Confon Digital Signal Processing，Cardiff， UK，2007.
[6] 岑翼刚，陈晓方，岑丽辉等.基于单层小波变换的压缩感知图像处理[J].通信学报，2010，31（8A）：52-55.