(镇江新区大港中学江苏 镇江212132)
　　
　　力的平均值是所有瞬时值的算术平均值，其分为两种，一种是力对位移的平均值，其与位移的乘积代表力所做的功.一种是力对时间的平均值，其与时间的乘积代表力的冲量.当力与位移或时间存在一次函数关系时有=F1 F22.证明如下：设F(x)=kx b,
　　Fx=∫x2x1(kx b)dxx2-x1
　　=(12kx22 bx2)-(12kx21 bx1)x2-x1
　　=kx2 kx1 2b2=F(x2) F(x1)2,
　　Ft证明方法也完全相同，略.有一点需要说明的是，当力与位移或时间不存在一次函数关系时仍然可能有=F1 F22，举一例说明，如下：设F(t)=sint,
　　Ft=∫t2t1sintdtt2-t1=-(cost2-cost1)t2-t1,
　　取t1=0，t2=2π时间段，得Ft=0，又因为F1=F2=0，代入=F1 F22=0，答案正确.需要强调的是非线性变力不是任意位移或时间段内都可以用=F1 F22这一推论！如取t1=0，t2=π时间段，得Ft=2π，而F1=F2=0代入=F1 F22=0，答案则是错误的.所以当力与位移或时间存在一次函数关系时，是任意位移或时间段内都存在着=F1 F22这一推论的.那下面这题能运用这一推论吗？
　　如图1所示，一光滑的水平面上一质量为m的小球以初速v0向右运动，其所受的空气阻力与速度成正比，其比值为k，求小球停止时前进的距离x是多少？
　　解一取向右为正方向，
　　由=v0 02=v02,
　　得=-k2v0,
　　由动量定理可得
　　=-kv02t=0-mv0,
　　x=v02t=mv0k.
　　从中学角度也不难得出小球是速度逐渐减小到零，阻力也逐渐减小到零的运动，所有小球运动的时间为无穷大，故整个过程中阻力对时间的平均值是零！证明如下：
　　解取向右为正方向，根据a=dvdt和a=Fm，
　　结合条件f=-kv，
　　得a=dvdt=-kvm,
　　移项做定积分∫vv0dvv=-km∫t0dt,
　　得v=v0e-kmt,
　　代入f=-kv得
　　ft=1 ∞f∞0(-kv0e-kmt)dt=0.
　　解一答案正确原因是阻力平均值虽然弄错了，可阻力对时间的累积值“冲量”却是正确的，因为阻力与速度成正比，所以速度对时间的累积值“位移”也就“正确”了.那下面的解法还是“巧合”吗？
　　解二当小球静止时空气阻力等于零，
　　所以=-kv0 02=-k2v0,
　　由动能定理得-·x=0-12mv20,
　　解得x=mv0k.
　　很显然，此解法正确的前提就是力随位移是均匀变化的，证明如下：
　　解取向右为正方向，根据
　　a=dvdt和a=Fm，
　　结合条件f=-kv，
　　得a=dvdt=-kvm=-km·dxdt,
　　约去dt做定积分得∫vv0dv=-km∫x0dx,
　　移项得v=-kmx v0,
　　代入f=-kv得fx=k2mx-kv0.
　　因为空气阻力与位移存在一次函数关系，所以力对位移的平均值必定存在着=F1 F22这一关系式.所以上式的解法完全正确.需要指出的是，上述方法虽然正确却不值得提倡，因为在中学阶段如果用微量法证明速度随位移存在着一次函数关系，可以直接得到答案，无需再用动能定理.所以此问题正解如下：
　　解三由f=-kv可得=-kv，由动量定理得
　　·t=-kt=0-mv0,
　　得x=t=mv0k.
　　综上所述：对变力问题，动量定理中的力是力对时间的平均值，而动能定理中的力是力对位移的平均值.只有当力随时间(或位移)呈线性变化时才有=F1 F22.理解力的平均值是理解物理学中其他平均值的重要基础.