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摘要: 现有的空间杆系坐标转换矩阵需要指定一个参考点且形式比较复杂。本文假定了单元局部坐标系和整体坐标系重合的初位置，单元从初位置经过刚体的定点运动到达实际位置。利用描述刚体定点运动的欧拉角理论，通过修改截面特性实现自转角的思路，推导得到了不用指定参考点的空间杆系坐标转换矩阵，并对转换矩阵的性质进行了证明。
关键词: 欧拉角；坐标转换矩阵；空间杆系
中图分类号：X734文献标识码： A
1. 现有计算公式的不足
由于公路和铁路桥梁的轴线或杆件比较细长，常常采用空间杆系进行分析。推导空间杆系的单元刚度矩阵时采用的均为局部坐标系，局部坐标系坐标轴方向是由单元方向确定的。计算时需将单元的节点力、位移和单元刚度矩阵转化到整体坐标系，然后才能叠加组成整体刚度矩阵。假定整体坐标系为OXYZ,局部坐标系为ox’y’z’则作表转换矩阵[T]为[1]：
其中： （1）
式（1）中：cos(X,x’)表示局部坐标系x’轴相对整体坐标系X轴的方向余弦，其余以此类推。
作者在研究中发现，为了确定方向余弦矩阵，通常的做法是在确定单元坐标系的同时确定一个参考点k(如图1)。令k位于ox’y’平面内，这样，通过向量之间的关系可以确定坐标转换矩阵为[2][3][4]： 图1k点在局部坐标系中的位置
（2）
式(2)中：假定节点i坐标为；j节点坐标为；k点坐标为。
这种转换存在以下的问题：第一、需要确定额外的k点坐标，增加了工作量，且k点坐标难确定。第二、公式复杂、计算量大。下面利用确定刚体方位的欧拉角对坐标转化矩阵进行改进。
2 欧拉角的适用性
刚体运动时，如果其上一点一直保持静止，则这种刚体运动称为定点运动[5]，欧拉角可以用来唯一的描述刚体的定点运动。由于坐标轴平移对空间杆系的坐标转换矩阵没有影响，所以可以将坐标原点平移到单元i节点上，并假定单元的实际位置是一组刚体运动的末状态。在初始位置局部坐标系和整体坐标系重合，单元形心轴和整体坐标系的X轴重合。然后经过i节点的定点刚体运动到达末状态的位置即实际位置。
根据欧拉角的定义：绕OZ旋转角θ1(∠XOP)为进动角，绕oy’旋转角θ2(∠x’OP)为章动角。另外刚体绕ox’轴旋转为自转角θ3。由欧拉角的性质可知：对于坐标系OXYZ到坐标系ox’’’y’’’z’’’的位置改变可以由下面的三次转动来实现：坐标系OXYZ绕OZ轴旋转进动角到达坐标系OZx’y’,坐标系OZx’y’绕oy’旋转章动角到达坐标系ox’’y’’z’’,坐标系绕ox’’旋转自转角到达ox’’’y’’’z’’’,如图2所示：
图2刚体运动坐标轴转动过程
为了简化计算，假定在进动角之前发生了自转角，且假定发生自转角并没有改变局部坐标系的位置而是改变了单元的截面特性。这样可通过修改单元在局部坐标系下的刚度矩阵实现单元的自转角。坐标转换矩阵中就只考虑进动角和章动角即可。单元坐标系的转换分三步进行：第一步，根据自转角的值修改局部坐标下的单元刚度矩阵但保持局部坐标系不转动；第二步，考虑进动角对单元的影响；第三步，考虑章动角对单元的影响，如图3所示：
图3空间杆系单元坐标的转换过程
3. 使用欧拉角计算坐标转换矩阵
如图4，取局部坐标系 x’oz’ 平面与整体坐标系OXY平面的交线为OP。若以e1,e2,e3表示ox’y’z’的单位向量、l为OP长度、L为杆长、其余符号的含义如上所述，则：
图4局部坐标系在整体坐标系中的位置
在下面的推导中旋转角用右手定则判定正负号，即逆时针方向为正。
由于在坐标转换矩阵中不考虑自转角的影响，P为j节点在XOY面上的投影，则根据几何关系得：
（3）
（4）
（5）
由于章动角对O y’轴没有影响，所以O y’轴还在OXY平面内，根据几何关系可得：
（6）
（7）
（8）
由于进动角对Oz’轴没有影响，章动角使得Oz’轴沿O y’轴顺时针转东θ2角，由几何关系得：
（9）
（10）
（11）
将式（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）代入余弦矩阵（1）得：
（12）
转换矩阵[T]具有一个性质：即[T]的逆阵等于它的转置矩阵。要证明这一特征只需要证明的转置等于它的逆阵即可，显然：
得证。
4.结论
空间杆系的坐标转换矩阵反映了单元刚度由局部坐标系到整体坐标系的转换。作者从相反的思路，假定单元初始位置局部坐标系和整体坐标系重合，则实际位置是初始位置定点刚体运动的结果，坐标转换矩阵和这组刚体定点运动的欧拉角是一一对应的。通過修改局部坐标系下单元刚度矩阵实现自转角的方法，作者推导得到了形式比较简单的坐标转换矩阵。在使用中利用下面的特点可以简化计算：
(1)当自转角不为零时，相当于梁截面沿其形心轴旋转相应的角度，由于坐标轴不变所以要对截面特性进行修改。
(2)对局部坐标下的刚度修正仅需要修正截面对y’轴的抗弯惯性矩Iy和截面对z’轴的抗弯惯性矩Iz两个参数即可，而在实际应用中自转角大多为±90°且截面沿z’轴和y’轴对称，只需要交换Iy、Iz即可。
(3)把单元的自转角用变换局部坐标系下刚度矩阵的方法实现后，相当于另一不同截面的单元仅仅发生了进动角和章动角，在单独对某个单元进行受力分析时要按修改后的截面进行分析。
(4)由于ox’轴可由两个节点i、j唯一的确定，所以其方向余弦也可以由两节点坐标直接求解。
(5)杆单元只与截面积和杆长有关，可以不考虑自转角。
参考文献
[1]薛守义.有限单元法[M].北京:中国建材工业出版社,2005.112.
[2]侯新录.结构分析中的有限元法与程序设计[M].北京：中国建材工业出版社，2004.90～93.
[3]吴鸿庆，任侠.结构有限元分析[M].北京：中国铁道出版社，2000.19～24.
[4]李景湧.有限元法[M].北京：北京邮电大学出版社，1999.92～93.
[5]张劲夫.高等运动学[M].北京：科学出版社，2005.34～36.
关键词: 欧拉角；坐标转换矩阵；空间杆系
中图分类号：X734文献标识码： A
1. 现有计算公式的不足
由于公路和铁路桥梁的轴线或杆件比较细长，常常采用空间杆系进行分析。推导空间杆系的单元刚度矩阵时采用的均为局部坐标系，局部坐标系坐标轴方向是由单元方向确定的。计算时需将单元的节点力、位移和单元刚度矩阵转化到整体坐标系，然后才能叠加组成整体刚度矩阵。假定整体坐标系为OXYZ,局部坐标系为ox’y’z’则作表转换矩阵[T]为[1]：
其中： （1）
式（1）中：cos(X,x’)表示局部坐标系x’轴相对整体坐标系X轴的方向余弦，其余以此类推。
作者在研究中发现，为了确定方向余弦矩阵，通常的做法是在确定单元坐标系的同时确定一个参考点k(如图1)。令k位于ox’y’平面内，这样，通过向量之间的关系可以确定坐标转换矩阵为[2][3][4]： 图1k点在局部坐标系中的位置
（2）
式(2)中：假定节点i坐标为；j节点坐标为；k点坐标为。
这种转换存在以下的问题：第一、需要确定额外的k点坐标，增加了工作量，且k点坐标难确定。第二、公式复杂、计算量大。下面利用确定刚体方位的欧拉角对坐标转化矩阵进行改进。
2 欧拉角的适用性
刚体运动时，如果其上一点一直保持静止，则这种刚体运动称为定点运动[5]，欧拉角可以用来唯一的描述刚体的定点运动。由于坐标轴平移对空间杆系的坐标转换矩阵没有影响，所以可以将坐标原点平移到单元i节点上，并假定单元的实际位置是一组刚体运动的末状态。在初始位置局部坐标系和整体坐标系重合，单元形心轴和整体坐标系的X轴重合。然后经过i节点的定点刚体运动到达末状态的位置即实际位置。
根据欧拉角的定义：绕OZ旋转角θ1(∠XOP)为进动角，绕oy’旋转角θ2(∠x’OP)为章动角。另外刚体绕ox’轴旋转为自转角θ3。由欧拉角的性质可知：对于坐标系OXYZ到坐标系ox’’’y’’’z’’’的位置改变可以由下面的三次转动来实现：坐标系OXYZ绕OZ轴旋转进动角到达坐标系OZx’y’,坐标系OZx’y’绕oy’旋转章动角到达坐标系ox’’y’’z’’,坐标系绕ox’’旋转自转角到达ox’’’y’’’z’’’,如图2所示：
图2刚体运动坐标轴转动过程
为了简化计算，假定在进动角之前发生了自转角，且假定发生自转角并没有改变局部坐标系的位置而是改变了单元的截面特性。这样可通过修改单元在局部坐标系下的刚度矩阵实现单元的自转角。坐标转换矩阵中就只考虑进动角和章动角即可。单元坐标系的转换分三步进行：第一步，根据自转角的值修改局部坐标下的单元刚度矩阵但保持局部坐标系不转动；第二步，考虑进动角对单元的影响；第三步，考虑章动角对单元的影响，如图3所示：
图3空间杆系单元坐标的转换过程
3. 使用欧拉角计算坐标转换矩阵
如图4，取局部坐标系 x’oz’ 平面与整体坐标系OXY平面的交线为OP。若以e1,e2,e3表示ox’y’z’的单位向量、l为OP长度、L为杆长、其余符号的含义如上所述，则：
图4局部坐标系在整体坐标系中的位置
在下面的推导中旋转角用右手定则判定正负号，即逆时针方向为正。
由于在坐标转换矩阵中不考虑自转角的影响，P为j节点在XOY面上的投影，则根据几何关系得：
（3）
（4）
（5）
由于章动角对O y’轴没有影响，所以O y’轴还在OXY平面内，根据几何关系可得：
（6）
（7）
（8）
由于进动角对Oz’轴没有影响，章动角使得Oz’轴沿O y’轴顺时针转东θ2角，由几何关系得：
（9）
（10）
（11）
将式（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）代入余弦矩阵（1）得：
（12）
转换矩阵[T]具有一个性质：即[T]的逆阵等于它的转置矩阵。要证明这一特征只需要证明的转置等于它的逆阵即可，显然：
得证。
4.结论
空间杆系的坐标转换矩阵反映了单元刚度由局部坐标系到整体坐标系的转换。作者从相反的思路，假定单元初始位置局部坐标系和整体坐标系重合，则实际位置是初始位置定点刚体运动的结果，坐标转换矩阵和这组刚体定点运动的欧拉角是一一对应的。通過修改局部坐标系下单元刚度矩阵实现自转角的方法，作者推导得到了形式比较简单的坐标转换矩阵。在使用中利用下面的特点可以简化计算：
(1)当自转角不为零时，相当于梁截面沿其形心轴旋转相应的角度，由于坐标轴不变所以要对截面特性进行修改。
(2)对局部坐标下的刚度修正仅需要修正截面对y’轴的抗弯惯性矩Iy和截面对z’轴的抗弯惯性矩Iz两个参数即可，而在实际应用中自转角大多为±90°且截面沿z’轴和y’轴对称，只需要交换Iy、Iz即可。
(3)把单元的自转角用变换局部坐标系下刚度矩阵的方法实现后，相当于另一不同截面的单元仅仅发生了进动角和章动角，在单独对某个单元进行受力分析时要按修改后的截面进行分析。
(4)由于ox’轴可由两个节点i、j唯一的确定，所以其方向余弦也可以由两节点坐标直接求解。
(5)杆单元只与截面积和杆长有关，可以不考虑自转角。
参考文献
[1]薛守义.有限单元法[M].北京:中国建材工业出版社,2005.112.
[2]侯新录.结构分析中的有限元法与程序设计[M].北京：中国建材工业出版社，2004.90～93.
[3]吴鸿庆，任侠.结构有限元分析[M].北京：中国铁道出版社，2000.19～24.
[4]李景湧.有限元法[M].北京：北京邮电大学出版社，1999.92～93.
[5]张劲夫.高等运动学[M].北京：科学出版社，2005.34～36.