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摘 要:本文通过对高中数学实施探究式教学,结合具体案例进行说明,增张了学生学习数学的兴趣,提高了学生提出问题、分析问题、解决问题的能力,改变了被动的学习方式,培养了学生的创新能力和综合素质。
关键词:探究式 创新能力 教学模式
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号: 1673-1875(2008)10-054-02
一、探究式教学概述
探究式教学在实质上是一种模拟性的科学研究活动。具体说它包括两个相互联系的方面:一是有一个以“学”为中心的探究学习环境。这个环境中有丰富的教学材料,各种教学仪器和设备等,而且这些材料是围绕某个知识主题来安排,而不是杂乱无章;有民主和谐课堂气氛,使学生很少感到有压力,能自由寻找所需要的信息,自己作种种设想,以自己方式检验自己的设想。总之,这种环境要使学生真正有独立探究的机会和愿望,而不是被教师直接引向问题的答案。二是给学生提供必要的帮助和指导,使学生在探究中能明确方向。这种指导和帮助的形式与传统教学中教师作用有很大的不同,主要是安排有一定内在结构、能揭示各现象间的联系的各种教学材料,以及在关键时候给学生必要的提示等。
二、高中数学探究式教学案例——三角函数中两角和差公式
数学问题解决主要以问题解决为中心,通过发现问题、分析问题、创造性地解决问题等步骤去掌握知识,培养创造能力和创新精神。体现为学生在一定问题情境中提出问题、解决问题的学习活动过程。鼓励学生多提问,促进他们学习的自觉性和积极性。提问需要鼓起勇气,然而这种冒险可望成为学生的第二天性,他们还会变得精于语言表达。善于倾听并接纳别人的意见。
1、教学设计思路
提高学生利用己有的数学知识、数学方法和数学经验,提出问题、分析问题和解决问题的探究能力。在学生认知“最近发展区”的问题能引起学生的共鸣。
2、教学过程
教师:前面我们学习了三角函数,在研究三角函数时还经常遇这样的问题:“己知任意角a、β的三角函数值,求a+β、a-β的三角函数值”如何求?今天我们来研究这个问题。
我们把刚才的问题具体化,即已知任意角a、β的三角函数值,来推导以下三组公式:(大屏幕显示三组公式的左端)
sin(a+β)=? sin(a-β)=? cos(a+β)=? cos(a-β)=? tan(a+β)=?tan(a-β)=?
教师提出问题,目的是唤起学生对问题的思考,激发学生自主探究和主动学习的欲望。
教师:我们要研究的共有三组六个公式,从哪个公式开始进行研究呢?是否需要对每一个公式进行单独的研究,一一进行推导呢?请同学们思考,并提出研究方案。
学生:我认为不需要,因为如果知道a+β的三角函数公式,用-β代替β就可以得到a-β的三角函数公式。
教师:很好,也就是说,如果和角公式有了,差角公式就很容易求得。同学们再思考一下,用-β代替β的过程用到了什么数学方法?
学生:换元的方法。
教师:对!下面我们一起来看一下刚才两位同学提出的研究方案。
(大屏幕显示研究方案)
sin(a+β)=?用-β代替β得 sin(a-β)=?
cos(a+β)=? cos(a-β)=?
tan(a+β)=? tan(a-β)=?
教师:可见,我们可以先研究和角公式,那么在和角公式中又先研究谁呢?
学生:知道了a+β的余弦公式,可先推出a+β的正弦公式,两者相除便可得正切公式。
教师:那正、余弦又先研究谁昵?
学生:当然是正弦。
学生:不一定,我认为先研究余弦也可以,因为正弦和余弦互为余函数。
教师:两位同学的想法都有道理,那么知道a+β的正弦,如何求余弦?知道余弦,又怎样求正弦?
学生:利用同角三角函数的平方关系。
教师:可以,不过,利用同角三角函数的平方关系在开方时要涉及到符号的确定问题。还有其他思路吗?
学生:还可以利用诱导公式。
教师:能说得详细些吗?
学生:例如已知sin(a+β),利用cos(a+β)= sin[3.14/2-(a+β)]便可得cos(a+β)。
教师:很好,方法很简洁。下面我们一起来看一下这个研究思路。
先讨论sin(a+β)=?或cos(a+β)=?然后化切tan(a+β)=?
师生共同探究,找到问题的突破口,将6个公式的推导问题定向为只需推导一个公式,即推导两角和的余弦或正弦公式。
小组探究交流:
教师:通过刚才的分析,我们得到了一个完整的研究方案,同时也得到一个启示。在研究复杂问题的时候,应该讲究策略,抓住主要矛盾。下面我们就集中精力来解决这个主要矛盾,即研究a+β的正(余)弦公式。
教师:研究a+β的正弦或余弦公式,我们用什么做工具呢?
(学生思考)
教师:(提示)回顾一下我们前面研究同角三角函数关系和诱导公式的时候,利用了什么工具?
学生:利用直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线。
教师:还有其他工具吗?
学生:还可以利用直角三角形作为研究工具。
学生:我认为利用直角三角形作为研究工具有一定的局限性,它只能研究锐角三角函数,对于任意角的情形还需要加以推广。
教师:以上两位同学说的都很有道理。下面就请同学们根据我们提出的方案,进行分组研究,重点是推导第一组的前两个公式,有时间的小组可以推出所有的公式。各组将推导的过程写在白纸上,一会儿我们进行交流。
(将全班划分为3个小组,每组9人,组内同学展开讨论,提出方法并自主探究。教师在学生中进行巡视,了解学生的进展情况,并适时加以引导。在整个过程中,同学们都能积极思考问题,参与的热情很高,提出了很多解决问题的办法。)
学生间、师生间相互交流,形成“立体化”的信息传递方式。教师作为参与者,对学生的讨论、交流起着促进和调节作用。
教师:我们的研究暂且告一段落。下面请各组指派一个同学来展示一下你们的研究成果。
要求用实物投影仪打出推导过程,并简述解题方法和思考过程。
(第一小组发言)
学生:我们的方法主要是通过构造直角三角形先推导出两角和的正弦公式。
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ
推导过程:如图1:
sin(a+β)=ED/EO=EF+FD/EO=EF+GH/EO=EF/EG*EG/EO+GH/OG*OG/EO=sinacosβ+cos asinβ
同理可以推导出两角和的余弦公式(略)
教师:非常精彩,通过巧妙构造直角三角形来推导。
学生:不过我们只研究了a,β及a+β为锐角的情况,还需将其推广到任意角的情形。
教师:希望你们能进一步完成这项研究。
(第二小组发言)
学生:我们主要是通过在单位圆中构造三角形全等进而得到线段相等,在此基础上先推出两角和的余弦公式 cos(a+β)=cosacosβ-sina sinβ。
推导过程:如图2由△PlOP3≌△P4OP2得∣PlP3∣=∣P4P2∣,再由两点间距离公式,两边平方后得
[cos(a+β)-1]2+sin 2(a+β)=[cos a-cos(-β)]2+[sin a-sin(-β)]2
化简得cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ
然后在此公式的基础上推出了其他5个公式。
教师:这组同学的推导也很有特点,而且他们已经推出了所有的公式,效率非常高,能说说你们的经验吗?
学生:我们在推出第一个公式后进行了分工,每人推导一组公式,另有一人专门负责整理最后的结论。
教师:统筹安排,效果果然不一样。
(第三小组发言)
学生:我们的方法与第二小组的相类似,但还没有完全推出来。
教师:请把你们的思路说说看。
学生:我们推出了a+β的余弦公式,但是我们不知道该怎么推出两角差的余弦公式。
教师:(提示)你们想想,和与差有关系吗?
学生:减去一个数等于加上这个数的相反数,差转化为和。
教师:那你们觉得自己是否己经推导出两角差的余弦公式了?
学生:(先是疑惑,后恍然大悟,非常兴奋)可以推出来了!让学生感受成功的喜悦,增强学习数学的自信心。
教师:刚才有三个小组的代表上来展示了他们的研究成果,非常的精彩,有的方法是老师也没有想到的,说明同学们进行了认真的思考讨论。由于时间关系,我们的展示到这里。没有做完的小组课后继续完成所有公式的推导。
(反思提高)
教师:我们这节课主要推导了a+β,a-β的三角函数公式,在推导公式前,我们首先理清了这些公式间的发展脉络,找到了解决问题的出发点,同学们能否画出这些公式的一个结构图?
教师:在我们推导公式的过程中都用到了那些数学方法?
学生:通过建立直角坐标系和利用单位圆来解决问题。
教师:这种通过建立直角坐标系来解决问题的方法叫坐标法(解析法),是平面解析几何。
关键词:探究式 创新能力 教学模式
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号: 1673-1875(2008)10-054-02
一、探究式教学概述
探究式教学在实质上是一种模拟性的科学研究活动。具体说它包括两个相互联系的方面:一是有一个以“学”为中心的探究学习环境。这个环境中有丰富的教学材料,各种教学仪器和设备等,而且这些材料是围绕某个知识主题来安排,而不是杂乱无章;有民主和谐课堂气氛,使学生很少感到有压力,能自由寻找所需要的信息,自己作种种设想,以自己方式检验自己的设想。总之,这种环境要使学生真正有独立探究的机会和愿望,而不是被教师直接引向问题的答案。二是给学生提供必要的帮助和指导,使学生在探究中能明确方向。这种指导和帮助的形式与传统教学中教师作用有很大的不同,主要是安排有一定内在结构、能揭示各现象间的联系的各种教学材料,以及在关键时候给学生必要的提示等。
二、高中数学探究式教学案例——三角函数中两角和差公式
数学问题解决主要以问题解决为中心,通过发现问题、分析问题、创造性地解决问题等步骤去掌握知识,培养创造能力和创新精神。体现为学生在一定问题情境中提出问题、解决问题的学习活动过程。鼓励学生多提问,促进他们学习的自觉性和积极性。提问需要鼓起勇气,然而这种冒险可望成为学生的第二天性,他们还会变得精于语言表达。善于倾听并接纳别人的意见。
1、教学设计思路
提高学生利用己有的数学知识、数学方法和数学经验,提出问题、分析问题和解决问题的探究能力。在学生认知“最近发展区”的问题能引起学生的共鸣。
2、教学过程
教师:前面我们学习了三角函数,在研究三角函数时还经常遇这样的问题:“己知任意角a、β的三角函数值,求a+β、a-β的三角函数值”如何求?今天我们来研究这个问题。
我们把刚才的问题具体化,即已知任意角a、β的三角函数值,来推导以下三组公式:(大屏幕显示三组公式的左端)
sin(a+β)=? sin(a-β)=? cos(a+β)=? cos(a-β)=? tan(a+β)=?tan(a-β)=?
教师提出问题,目的是唤起学生对问题的思考,激发学生自主探究和主动学习的欲望。
教师:我们要研究的共有三组六个公式,从哪个公式开始进行研究呢?是否需要对每一个公式进行单独的研究,一一进行推导呢?请同学们思考,并提出研究方案。
学生:我认为不需要,因为如果知道a+β的三角函数公式,用-β代替β就可以得到a-β的三角函数公式。
教师:很好,也就是说,如果和角公式有了,差角公式就很容易求得。同学们再思考一下,用-β代替β的过程用到了什么数学方法?
学生:换元的方法。
教师:对!下面我们一起来看一下刚才两位同学提出的研究方案。
(大屏幕显示研究方案)
sin(a+β)=?用-β代替β得 sin(a-β)=?
cos(a+β)=? cos(a-β)=?
tan(a+β)=? tan(a-β)=?
教师:可见,我们可以先研究和角公式,那么在和角公式中又先研究谁呢?
学生:知道了a+β的余弦公式,可先推出a+β的正弦公式,两者相除便可得正切公式。
教师:那正、余弦又先研究谁昵?
学生:当然是正弦。
学生:不一定,我认为先研究余弦也可以,因为正弦和余弦互为余函数。
教师:两位同学的想法都有道理,那么知道a+β的正弦,如何求余弦?知道余弦,又怎样求正弦?
学生:利用同角三角函数的平方关系。
教师:可以,不过,利用同角三角函数的平方关系在开方时要涉及到符号的确定问题。还有其他思路吗?
学生:还可以利用诱导公式。
教师:能说得详细些吗?
学生:例如已知sin(a+β),利用cos(a+β)= sin[3.14/2-(a+β)]便可得cos(a+β)。
教师:很好,方法很简洁。下面我们一起来看一下这个研究思路。
先讨论sin(a+β)=?或cos(a+β)=?然后化切tan(a+β)=?
师生共同探究,找到问题的突破口,将6个公式的推导问题定向为只需推导一个公式,即推导两角和的余弦或正弦公式。
小组探究交流:
教师:通过刚才的分析,我们得到了一个完整的研究方案,同时也得到一个启示。在研究复杂问题的时候,应该讲究策略,抓住主要矛盾。下面我们就集中精力来解决这个主要矛盾,即研究a+β的正(余)弦公式。
教师:研究a+β的正弦或余弦公式,我们用什么做工具呢?
(学生思考)
教师:(提示)回顾一下我们前面研究同角三角函数关系和诱导公式的时候,利用了什么工具?
学生:利用直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线。
教师:还有其他工具吗?
学生:还可以利用直角三角形作为研究工具。
学生:我认为利用直角三角形作为研究工具有一定的局限性,它只能研究锐角三角函数,对于任意角的情形还需要加以推广。
教师:以上两位同学说的都很有道理。下面就请同学们根据我们提出的方案,进行分组研究,重点是推导第一组的前两个公式,有时间的小组可以推出所有的公式。各组将推导的过程写在白纸上,一会儿我们进行交流。
(将全班划分为3个小组,每组9人,组内同学展开讨论,提出方法并自主探究。教师在学生中进行巡视,了解学生的进展情况,并适时加以引导。在整个过程中,同学们都能积极思考问题,参与的热情很高,提出了很多解决问题的办法。)
学生间、师生间相互交流,形成“立体化”的信息传递方式。教师作为参与者,对学生的讨论、交流起着促进和调节作用。
教师:我们的研究暂且告一段落。下面请各组指派一个同学来展示一下你们的研究成果。
要求用实物投影仪打出推导过程,并简述解题方法和思考过程。
(第一小组发言)
学生:我们的方法主要是通过构造直角三角形先推导出两角和的正弦公式。
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ
推导过程:如图1:
sin(a+β)=ED/EO=EF+FD/EO=EF+GH/EO=EF/EG*EG/EO+GH/OG*OG/EO=sinacosβ+cos asinβ
同理可以推导出两角和的余弦公式(略)
教师:非常精彩,通过巧妙构造直角三角形来推导。
学生:不过我们只研究了a,β及a+β为锐角的情况,还需将其推广到任意角的情形。
教师:希望你们能进一步完成这项研究。
(第二小组发言)
学生:我们主要是通过在单位圆中构造三角形全等进而得到线段相等,在此基础上先推出两角和的余弦公式 cos(a+β)=cosacosβ-sina sinβ。
推导过程:如图2由△PlOP3≌△P4OP2得∣PlP3∣=∣P4P2∣,再由两点间距离公式,两边平方后得
[cos(a+β)-1]2+sin 2(a+β)=[cos a-cos(-β)]2+[sin a-sin(-β)]2
化简得cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ
然后在此公式的基础上推出了其他5个公式。
教师:这组同学的推导也很有特点,而且他们已经推出了所有的公式,效率非常高,能说说你们的经验吗?
学生:我们在推出第一个公式后进行了分工,每人推导一组公式,另有一人专门负责整理最后的结论。
教师:统筹安排,效果果然不一样。
(第三小组发言)
学生:我们的方法与第二小组的相类似,但还没有完全推出来。
教师:请把你们的思路说说看。
学生:我们推出了a+β的余弦公式,但是我们不知道该怎么推出两角差的余弦公式。
教师:(提示)你们想想,和与差有关系吗?
学生:减去一个数等于加上这个数的相反数,差转化为和。
教师:那你们觉得自己是否己经推导出两角差的余弦公式了?
学生:(先是疑惑,后恍然大悟,非常兴奋)可以推出来了!让学生感受成功的喜悦,增强学习数学的自信心。
教师:刚才有三个小组的代表上来展示了他们的研究成果,非常的精彩,有的方法是老师也没有想到的,说明同学们进行了认真的思考讨论。由于时间关系,我们的展示到这里。没有做完的小组课后继续完成所有公式的推导。
(反思提高)
教师:我们这节课主要推导了a+β,a-β的三角函数公式,在推导公式前,我们首先理清了这些公式间的发展脉络,找到了解决问题的出发点,同学们能否画出这些公式的一个结构图?
教师:在我们推导公式的过程中都用到了那些数学方法?
学生:通过建立直角坐标系和利用单位圆来解决问题。
教师:这种通过建立直角坐标系来解决问题的方法叫坐标法(解析法),是平面解析几何。