【问题】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
　　（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
　　
　　
　　（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
　　【命题意图】本题是2010年天津市的一道中考试题，它着重考查轴对称性质、图形中线段和的极值问题．本题涉及轴对称的概念、三角形三边关系、矩形的性质、平行四边形的性质、直角三角形全等与相似等初中数学中的核心内容，渗透几何变换与数形结合的数学思想，将推理论证与计算紧密结合起来，凸现了几何基本图形在学习中的重要性．
　　【解题指导】（1）由于线段CD是定值，因此要使△CDE的周长最小，也就是使点E到点D、点C的距离之和最小，并且点D、点C都在x轴的同侧，我们只需要作出点D（或点C）关于x轴的对称点D′（或C′），再连接CD′（或C′D）即可确定动点的位置，可以应用图形中隐含的相似三角形，或利用待定系数法求得直线D′C的解析式来确定E点的坐标；第（2）问，由于DC、EF的长不变，注意到第（1）问的解题策略，我们可以借助其解题方法，截取CG=EF，作D的对称点D′，连接D′G，与x轴交于点E，并作CF∥GE，此时DE+CF最小．
　　【解题过程】（1）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE．
　　若在边OA上任取点E′（与点E不重合），连接CE′、DE′、D′E′．
　　由DE′+ CE′=D′E′+CE′＞CD′=D′E+CE=DE+CE，
　　可知△CDE的周长最小．
　　∵ 在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
　　∴ BC=3，D′O=DO=2，D′B=6．
　　∵ OE∥BC，
　　∴ Rt△D′OE∽Rt△D′BC，有■=■，
　　∴OE=■＝■＝1．
　　∴ 点E的坐标为(1，0）．
　　（2）如图2，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=2，连接D′G与x轴交于点E，在EA上截取EF=2．
　　∵ GC∥EF，GC=EF，
　　∴ 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF．
　　又 DC、EF的长为定值，
　　∴ 此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．
　　∵ OE∥BC，
　　∴ Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有■=■，
　　∴OE=■＝■=■＝■，
　　∴ OF=OE+EF=■+2=■，
　　∴ 点E的坐标为■，0，点F的坐标为■，0．
　　【追根溯源】本题是一道源于课本、高于课本的变式拓展题，它类似于苏科版《数学》八年级上册教材第38页第9题：
　　如图，点A、B在直线l的同侧，点B′是点B关于直线l对称点，AB′交l于点P．
　　（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？
　　（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+BQ与AP+PB的大小，并说明理由．
　　【变式拓展】
　　1．如图，在小河l的同侧有水平距离为100米的A、B两点(水平距离指A、B两点分别到河岸的两个垂直投影点间的距离)，它们到河岸的距离分别为45米和35米．一牧民在A处放马，傍晚要到河边去饮马.马在河边一边饮水一边沿河岸朝靠近B处的方向（沿PQ方向）走40米，最后回到B处，则马由A到B至少走 米．
　　
　　
　　2．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为 米．
　　【参考答案】1．1402．3
　　
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