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【摘要】数学分析是高等学校数学专业的一门最核心的基础主干课程.这门课程中有很多定理和公式的证明与应用，用传统讲法，既费时，又不容易让学生理解和掌握.将AP微积分教学理念融入数学分析的教与学中，不仅可加深学生对内容的理解与掌握，同时能够提高学生解决问题的能力和创新能力.
【关键词】数学分析;AP微积分;教学改革
【基金项目】中北大学院级教改项目，中北大学校基金（5001-204）国家自然基金（61603351，11401541）.
数学分析[1]是高等学校数学专业的最核心的基础主干课程之一，课程内容丰富、结构复杂、层次繁多.它不仅是数学专业学生进校后首先面临的一门重要课程，而且也是学生学习常微分方程、復变函数、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等后继数学类课程的基础.数学分析的课程教学还直接影响到培养其数学思想、逻辑推理能力以及综合数学素养.
一、数学分析课程的现状以及存在的问题
基于数学分析课程的基础地位，在数学分析的长期教学实践中，人们一直都在努力实现本课程的教学目标——“三基”，即基础理论、基本知识、基本技能.“三基”强调在教学的过程中，基础理论、基本知识、基本技能处于同等重要的地位.然而，实际的情况是，教师在教学内容上，侧重于对定义、定理、公式的讲解，片面强调知识的系统性，而忽视学生的基本技能的培养.我们会发现，很多数学系的学生在微积分知识的应用能力上，在基本计算技能如计算极限、导数、积分上往往不如对高等数学有较高要求的一些非数学专业的学生，而对知识的系统掌握、对基本理论的理解又让人堪忧.于是，数学分析课程的教学实质上陷入了学生对微积分的基本理论掌握不够、逻辑推理能力不强、基本计算能力较差的尴尬境地.
同时，随着时代的发展和科技的进步，学科的交叉与应用越来越广泛和深入，比如，大数据、人工智能等都需要应用型数学人才.因此，为适应当前教学改革和素质教育的需要，培养大批专业实践和创新能力都较强的应用型数学人才[4]，对数学分析课程教学改革势在必行.如何在数学分析课程教学中实施研究性教学，激发学生的学习兴趣、培养学生的研究和创新能力，显得尤为重要.
二、数学分析课程的改革内容
始于1955年的美国AP课程（Advanced Placement Courses），即在高中阶段开设具有大学水平的课程以供学有余力的学生在高中阶段就能学习大学课程.AP微积分教学重点在微积分的理解和应用，教材比较重视与实际相联系，语言通俗易懂，使微积分变得简单易学.AP微积分强调图像、数值、符号及语言四个方面多角度刻画微积分，使学生从整合的表征中获取更多的信息.AP微积分强调微积分技能不仅代数操作，还包括解决实际问题、画草图、求解、作图、估计、确定及计算等方面.AP微积分理念力图改变传统微积分以运算技巧为主的教学思想，提倡学生通过数学实验和数学建模来体验和理解数学知识的发生和应用过程.
将AP微积分教学理念引入数学分析的教学实践中，首先，借助现代化的教学工具，在教学中将数学分析中一些抽象的难以理解的概念和分析过程（比如，极限、连续、积分等等）多角度地直观刻画展示，并尽可能在计算机上以动态的方式显示给学生.对适合用多媒体技术教学的章节制作多媒体课件，配合黑板，灵活多样地进行教学，以克服抽象、难于理解的困难.其次，在课堂教学中引导学生适当地利用数学软件求导数、求积分等运算，并可以进行图像绘制，增强学生的动手能力和解决实际问题的能力，同时化解求导数、求积分等数学运算的困难，使学生有更多的精力来理解数学概念和逻辑推理.最后，考虑建模思想的融入.课堂上强调数学与相邻学科联系的同时，加强建立数学模型的思想和训练，增加实际应用内容，将微积分在经济、物理、生物、生产中的应用问题引入课堂，使学生学会从实际问题中抽象出数学模型，了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高学生应用数学的意识和创新能力，使学生适应21世纪对数学人才的培养.
举例1 二元函数极限——沿着不同路径趋于原点，由于平面和一维数轴的本质区别使得二元函数极限有无穷多种可能性，这让学生学习时感到有较大的困难，课堂教学时可以通过举例多角度理解概念，让学生更直观地体会二元函数极限的概念和计算方法，可以主动去体验如何发现、总结数学规律，激发学生的学习兴趣.例如，[2]
举例2 积分的几何意义——平面图形的面积，可以采取一个数值逼近的方法，做成一个动态过程，这样使得教学过程更加直观，更加富有启发性，既能让学生对数学产生浓厚的兴趣，又有利于学生创新意识的培养.
举例3 不定积分、级数求和的时候，在不影响教学计划的情况下，恰当利用Matlab、Mathematica等软件进行计算，将相应的软件代码介绍给学生，淡化计算技巧.
举例4 在讲解导数的应用时，可以设置开放性题目，比如，导弹的飞行规律、人口问题等等.在讲到积分的应用时，可以设置通信卫星的覆盖面积、不规则图形的面积等题目.在多元函数微分中，可以布置曲线的拟合、河水的污染与净化等问题.在级数内容中，介绍斐波那契数列、药物问题、谐波的叠加等内容[3].对这些开放性的题目，学生可以通过小组讨论、试验等方式认识问题，并要求将题目的求解过程以书面的形式提交.这样不仅扩大了学生的知识面，培养了学生的动手能力、团队合作精神和创新思维，而且使学生感受到原来所学的东西跟实际问题是贴近的，从而有了一种成就感.
三、总 结
通过上面所举的几个例子我们可以看到，引入AP微积分理念不仅显著增强了学生利用数学分析、解决实际问题的能力，而且通过计算机软件的应用可以将教学过程中难以理解的内容和过程（比如，极限、积分、一致收敛等等）形象化、直观化，通过生动、形象的实例与图形展示基本概念与理论，让学生主动去体验如何发现、总结数学规律，激发学生的学习兴趣，提高学生的实验动手能力，发展学生的创新能力.
我们改革的目标是，使数学分析的内容变得平实、自然、有用、有趣.要把数学分析从一个高深莫测、苦涩乏味、让人望而生畏的旧体系中解放出来，还它朴实的本来面目，以更好地体现它的基本精神、基本内容.在数学分析这门课程在教学中实施研究性教学改革，以重视学生在学习中的主体地位为前提，努力培养学生的创新意识和实践创新能力.不仅可以提高数学分析的教学质量，也为其他相关教学质量的提高奠定了良好的基础.
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]James Stewart.Calculus：第4版[M].ITP，1999.
[3]李声锋，张裕生，梅红.将数学建模思想融入《数学分析》课程教学的探索与实践[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011（7）：247-248.
[4]毛安民，孙钦福，张克梅，等.数学分析专业基础课程教学改革的探索[J].曲阜师范大学学报，2018（3）：117-119.
【关键词】数学分析;AP微积分;教学改革
【基金项目】中北大学院级教改项目，中北大学校基金（5001-204）国家自然基金（61603351，11401541）.
数学分析[1]是高等学校数学专业的最核心的基础主干课程之一，课程内容丰富、结构复杂、层次繁多.它不仅是数学专业学生进校后首先面临的一门重要课程，而且也是学生学习常微分方程、復变函数、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等后继数学类课程的基础.数学分析的课程教学还直接影响到培养其数学思想、逻辑推理能力以及综合数学素养.
一、数学分析课程的现状以及存在的问题
基于数学分析课程的基础地位，在数学分析的长期教学实践中，人们一直都在努力实现本课程的教学目标——“三基”，即基础理论、基本知识、基本技能.“三基”强调在教学的过程中，基础理论、基本知识、基本技能处于同等重要的地位.然而，实际的情况是，教师在教学内容上，侧重于对定义、定理、公式的讲解，片面强调知识的系统性，而忽视学生的基本技能的培养.我们会发现，很多数学系的学生在微积分知识的应用能力上，在基本计算技能如计算极限、导数、积分上往往不如对高等数学有较高要求的一些非数学专业的学生，而对知识的系统掌握、对基本理论的理解又让人堪忧.于是，数学分析课程的教学实质上陷入了学生对微积分的基本理论掌握不够、逻辑推理能力不强、基本计算能力较差的尴尬境地.
同时，随着时代的发展和科技的进步，学科的交叉与应用越来越广泛和深入，比如，大数据、人工智能等都需要应用型数学人才.因此，为适应当前教学改革和素质教育的需要，培养大批专业实践和创新能力都较强的应用型数学人才[4]，对数学分析课程教学改革势在必行.如何在数学分析课程教学中实施研究性教学，激发学生的学习兴趣、培养学生的研究和创新能力，显得尤为重要.
二、数学分析课程的改革内容
始于1955年的美国AP课程（Advanced Placement Courses），即在高中阶段开设具有大学水平的课程以供学有余力的学生在高中阶段就能学习大学课程.AP微积分教学重点在微积分的理解和应用，教材比较重视与实际相联系，语言通俗易懂，使微积分变得简单易学.AP微积分强调图像、数值、符号及语言四个方面多角度刻画微积分，使学生从整合的表征中获取更多的信息.AP微积分强调微积分技能不仅代数操作，还包括解决实际问题、画草图、求解、作图、估计、确定及计算等方面.AP微积分理念力图改变传统微积分以运算技巧为主的教学思想，提倡学生通过数学实验和数学建模来体验和理解数学知识的发生和应用过程.
将AP微积分教学理念引入数学分析的教学实践中，首先，借助现代化的教学工具，在教学中将数学分析中一些抽象的难以理解的概念和分析过程（比如，极限、连续、积分等等）多角度地直观刻画展示，并尽可能在计算机上以动态的方式显示给学生.对适合用多媒体技术教学的章节制作多媒体课件，配合黑板，灵活多样地进行教学，以克服抽象、难于理解的困难.其次，在课堂教学中引导学生适当地利用数学软件求导数、求积分等运算，并可以进行图像绘制，增强学生的动手能力和解决实际问题的能力，同时化解求导数、求积分等数学运算的困难，使学生有更多的精力来理解数学概念和逻辑推理.最后，考虑建模思想的融入.课堂上强调数学与相邻学科联系的同时，加强建立数学模型的思想和训练，增加实际应用内容，将微积分在经济、物理、生物、生产中的应用问题引入课堂，使学生学会从实际问题中抽象出数学模型，了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高学生应用数学的意识和创新能力，使学生适应21世纪对数学人才的培养.
举例1 二元函数极限——沿着不同路径趋于原点，由于平面和一维数轴的本质区别使得二元函数极限有无穷多种可能性，这让学生学习时感到有较大的困难，课堂教学时可以通过举例多角度理解概念，让学生更直观地体会二元函数极限的概念和计算方法，可以主动去体验如何发现、总结数学规律，激发学生的学习兴趣.例如，[2]
举例2 积分的几何意义——平面图形的面积，可以采取一个数值逼近的方法，做成一个动态过程，这样使得教学过程更加直观，更加富有启发性，既能让学生对数学产生浓厚的兴趣，又有利于学生创新意识的培养.
举例3 不定积分、级数求和的时候，在不影响教学计划的情况下，恰当利用Matlab、Mathematica等软件进行计算，将相应的软件代码介绍给学生，淡化计算技巧.
举例4 在讲解导数的应用时，可以设置开放性题目，比如，导弹的飞行规律、人口问题等等.在讲到积分的应用时，可以设置通信卫星的覆盖面积、不规则图形的面积等题目.在多元函数微分中，可以布置曲线的拟合、河水的污染与净化等问题.在级数内容中，介绍斐波那契数列、药物问题、谐波的叠加等内容[3].对这些开放性的题目，学生可以通过小组讨论、试验等方式认识问题，并要求将题目的求解过程以书面的形式提交.这样不仅扩大了学生的知识面，培养了学生的动手能力、团队合作精神和创新思维，而且使学生感受到原来所学的东西跟实际问题是贴近的，从而有了一种成就感.
三、总 结
通过上面所举的几个例子我们可以看到，引入AP微积分理念不仅显著增强了学生利用数学分析、解决实际问题的能力，而且通过计算机软件的应用可以将教学过程中难以理解的内容和过程（比如，极限、积分、一致收敛等等）形象化、直观化，通过生动、形象的实例与图形展示基本概念与理论，让学生主动去体验如何发现、总结数学规律，激发学生的学习兴趣，提高学生的实验动手能力，发展学生的创新能力.
我们改革的目标是，使数学分析的内容变得平实、自然、有用、有趣.要把数学分析从一个高深莫测、苦涩乏味、让人望而生畏的旧体系中解放出来，还它朴实的本来面目，以更好地体现它的基本精神、基本内容.在数学分析这门课程在教学中实施研究性教学改革，以重视学生在学习中的主体地位为前提，努力培养学生的创新意识和实践创新能力.不仅可以提高数学分析的教学质量，也为其他相关教学质量的提高奠定了良好的基础.
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系.数学分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]James Stewart.Calculus：第4版[M].ITP，1999.
[3]李声锋，张裕生，梅红.将数学建模思想融入《数学分析》课程教学的探索与实践[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011（7）：247-248.
[4]毛安民，孙钦福，张克梅，等.数学分析专业基础课程教学改革的探索[J].曲阜师范大学学报，2018（3）：117-119.