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[摘 要]数学的产生与发展，与人类的思考紧密相关。学数学，本质上就是在学习思考，发展思维。教数学，应把数学思考目标作为核心，通过合适的途径和方法，引导学生实现思维能力的提升。
[关键词]数学 思考 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-001
一、数学是人类思考的产物
我们经常和数学打交道，但很少有人去想这样一个问题：数学是怎么来的？
数学的产生，源于人类的思考！
远古时期，我们的先人在劳作中经常会遇到这样的问题：今天打到了多少猎物，每人分到了多少果子，羊群里的羊少了没有……怎样才能把事情搞清楚呢？有人想到了用手指来记数，如每数一只羊就扳一个手指头。羊多了，手指不够怎么办？用小石子来记数，每数一只羊就用一块小石子代替。石子多了太重了怎么办？在石头上刻画或在泥板上做记号。怎样的记号，能让大家看得懂，使用起来又方便？……慢慢地，记数的符号产生了，计数的系统形成了，数学由此拉开帷幕。
所以，数学最原始的基因，那就是“思考”。
与数学的产生一样，数学的发展，也是人类思考催动的结果。毕达哥拉斯的学生希伯索斯思考着：边长为1的正方形的对角线怎么用整数或整数比来表示呢？“万物皆数”的信条被打破了，数学史上的第一次危机爆发了。危机之后，无理数产生了，逻辑推理、欧几里得几何走上了历史舞台，数学由此掀开全新的页面。笛卡尔思考着：几何图形是直观的，而代数方程是抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来研究呢？他苦苦探索，做梦都在想办法。梦中的蜘蛛网让他有了灵感，于是，坐标系产生了，形与数统一了，解析几何诞生了，数学从此发生重大转折。欧拉在思考着：怎样才能不重复、不遗漏地一次走完格尼斯堡上的七座桥，最后回到出发点呢？他巧妙地将七桥问题转化成了一个几何问题，从对一笔画的研究入手来分析解答。结果，答案有了，数学的一个新的分支——图论与几何拓扑产生了，数学又增添了全新的研究领域……
可见，正是人类不断地思考，不断地探索，才造就了数学今天的壮丽和完美。数学，从来就是与“思考”紧密相连！
二、思考是数学的本质特征
思考，如此的重要，那它究竟为何物？它与数学又有何关联呢？
翻看《现代汉语词典》：“思考是指进行比较深刻、周到的思维活动。”词典中对“思维”的解释是：“思维是指在表象和概念的基础上进行综合、分析、判断、推理等认识活动的过程。思维是人类特有的一种精神活动，是从社会实践中产生的。”若将两个概念合在一起，我们不妨可将思考理解为“人类所特有的比较深刻、周到的综合、分析、判断、推理等认识事物的精神活动（过程）。”
那么，当我们回看数学的产生和发展，就会发现，伴随数学一路走来的，正是人类各种各样的、深刻周到的认识事物的精神活动。扳手指、用小石子来记数，其核心就是“一一对应”的思想；刻画记号，那就是“形象”和“直观”的萌芽；说明边长为1的正方形对角线不能用整数或整数比表示，用到的是“反例”和“推理”的思想；笛卡尔实现数与形的结合借助的是“想象”和“顿悟”；欧拉构建出数学模型是以“抽象”、“转化”为方法……
以上种种精神活动，不都是人类特有的认识事物的方式吗？不都呈现出了深刻而周到的鲜明特征吗？
所以，这些精神活动显然都是“思考”！
由此，我们也可以清晰地体会到，人类正是因为具备了这些“思考”，才推动了数学及科技的进步，才使得“生命日益充实与强盛”。同时，我们也必定深切地感受到，人类具备的这些“思考”，早已经和数学相伴而行了千万年，早已经和数学紧紧地融为一体而不可分了。所以，数学一定是蕴含着思考，一定是展现着思考。
时至今日，哪怕数学已成为了一门人人都要学习的学科，哪怕是在一个普普通通的数学学习内容中，数学这样的特征，还是一览无遗地显现着。
如“10的组成”，蕴含着“有序思考”；“20以内的加法”，蕴含着“多样化和优化”；“认识乘法”，蕴含着“比较、归纳”；“四边形的认识”，蕴含着“分类、抽象”；……
不用再多举例子，因为每个数学知识都是人类“思考”的结果，所以它一定是承载着能提升人认识事物能力的思维方式和思想方法。数学知识，本质上就是一个承载“思考”的载体；学数学，本质上就是要领悟其中的“思考”。
所以，人们大胆地表达着这样的观点——“思考是学生学习数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征。”（孔企平）
三、教数学重在教人思考
毫无疑问，教数学必须要将启发学生思考、发展学生思维作为重要的目标来追求。
承载着新时期教育使命的《义务教育数学课程标准（2011年版）》，清晰地展现着这样的理念。在“前言”部分，它就指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。在课程的“总目标”中，更是明确地提出了“数学思考”的目标：
●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。
●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
从这些描述“数学思考”的语句中，我们可以看到，所谓“数学思考”，实则就是在数学学习活动过程中所进行的思维活动，以及通过这样的活动所积累的思维方式和思想方法。
目的和意义已无需多讲，我们要考虑的，就是如何在日常教学中去落实这样的“数学思考”目标。笔者以为，关注以下几个方面，将有利于目标的实现。 1.准确定位展现数学思考的教学目标
教学目标，是课堂内涵的反映。想要通过课堂引发学生数学地思考，发展思维能力，就需要教师准确地剖析教学内容中的“数学思考”点，并把它作为重要的教学目标予以呈现。如此，课堂才会有教学的“灵魂”和方向。
首先要将“数学思考”内涵定下来。大多数教学内容，教师通过自己的教学经验就能知道其中的“数学思考”点。如看到“平行四边形面积”，马上就可想到“转化”思想；看到“搭配”，也不难意识到“分类讨论”和“有序思考”。但有些教学内容，要把握其中的“数学思考”点，则需要教师对课程标准的核心词有深入理解。如看到“加法交换律和结合律”的内容编排，教师应当意识到，像教材中那样通过大量举例归纳得出结论的方法，是一种“合情推理”——从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。
然后要把“数学思考”目标讲清楚。目标不仅仅就是呈现出一个或几个包含有“数学思考”内涵的名词，它更需要执教者清楚地表述出是以怎样的过程和方法来追求（达成）这个目标的。如一位教师要上一节图形与几何的课，他把课的过程性目标确定为“通过观察、比较、想象、操作等活动，使学生发展形象思维，提升空间观念。”如此的表述，既意味着教师已明确了本课的“数学思考”点，更说明教师已经设想好了实现这些“数学思考”目标该采取的行为。在这样的目标引领下的教学，我们才有可能让学生围绕“数学思考”开展学习，得到收获。
2.巧妙设计促使学生思考的教学过程
有了明确的目标，还需要一个与之匹配的教学过程。在这个过程中，无论是学习情境、学习材料、教学环节，还是教学形式，都应当紧紧贴着“数学思考”目标，并为这个目标的实现“推波助澜”。
如在学习情境方面，教师应当尽可能选用或创设蕴含较强思考成分的情境，以激发学生挑战的愿望，促使学生深入研究。如一位教师教学“三位数乘两位数的练习”，“数学思考”目标之一是培养学生的数感。他引导学生编制了一道题目“999×99”，然后要求学生不可以笔算，依次解决“答案是几位数”和“98999、99901、98901三个答案哪个对”两个问题。结果，学生在这样的挑战性情境中，充分展现了自己的能力，观察、比较、估算、巧算、推理等各种各样的方法纷纷出现，整个学习过程充满张力，思维激扬。
又如在教学环节方面，我们也应当基于为促进学生的思考而考虑环节的摆布、环节的转换等。如一位教师教学“三角形三边关系”，新授部分是三个环节。第一环节让学生借助小棒，研究“两条短边之和小于长边”的情况，时间很短，学生主要是理解小棒围三角形的方法。第二环节也是借助小棒，研究“两条短边之和大于长边”的情况，时间略长，学生主要是理解为什么能围成三角形的道理（有重叠，可在端点运动路线交点处围成）。第三环节，教师不提供小棒，转为让学生想象“两条短边之和等于长边”的情况，并以自己个性化的经验来说明到底能不能围成三角形。结果，学生展现出了不同层次的空间想象水平，能力得到提升。
3.灵活运用激励学生思考的教学方式
在课堂实施中，一定存在很多可以启迪学生数学思考的机会，如学生一个特别的问题，一个精彩的回答，一种有趣的算法，等等。教师要善于抓住这样的机会，或语言引导，或行为跟进，以各种灵活的方式引导学生朝思维的更深处行进。
如一位教师教学“运算定律总复习”，师生共同回顾梳理各个运算定律时，一位学生提出“除法也有分配律，是（a b）÷c=a÷c b÷c”。其他学生哗然，有人说不对，有人说对。只见教师不慌不忙，一个问题马上跟进：“对还是不对，你们有什么办法说明？”等学生举例验证认可后，又一个问题：“那么这个为什么不叫除法分配律？”两个问题，让学生经历了“举例”、“转化”等数学思想的洗礼。
课堂实施中，教师多用以下的语言来引导，就能有效促进学生的思考。“你是怎样想的？”——这是引导学生反思和有条理说明思考过程的常规手段。“还有没有其他的解法？”——这是扩大学生思考面的好途径。“如果……会怎么样？”——这是促使学生深入思考的有效策略。其实，教师的课堂上有怎样的语言或行为，与教师的信念紧密相关。教师只要是想着“我要引导学生多思考”，自然会时刻关注学生，从而产生相应举动。
上述三个策略，分别指向于目标定位、过程设计、课堂调控这三个教学要素，但数学教学的元素，远不止这三个，如何教人思考，更不是一两个例子所能言尽的。数学教学，如何与思考同行，需要我们更深入的研究。
（责编 金 铃）
[关键词]数学 思考 思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）14-001
一、数学是人类思考的产物
我们经常和数学打交道，但很少有人去想这样一个问题：数学是怎么来的？
数学的产生，源于人类的思考！
远古时期，我们的先人在劳作中经常会遇到这样的问题：今天打到了多少猎物，每人分到了多少果子，羊群里的羊少了没有……怎样才能把事情搞清楚呢？有人想到了用手指来记数，如每数一只羊就扳一个手指头。羊多了，手指不够怎么办？用小石子来记数，每数一只羊就用一块小石子代替。石子多了太重了怎么办？在石头上刻画或在泥板上做记号。怎样的记号，能让大家看得懂，使用起来又方便？……慢慢地，记数的符号产生了，计数的系统形成了，数学由此拉开帷幕。
所以，数学最原始的基因，那就是“思考”。
与数学的产生一样，数学的发展，也是人类思考催动的结果。毕达哥拉斯的学生希伯索斯思考着：边长为1的正方形的对角线怎么用整数或整数比来表示呢？“万物皆数”的信条被打破了，数学史上的第一次危机爆发了。危机之后，无理数产生了，逻辑推理、欧几里得几何走上了历史舞台，数学由此掀开全新的页面。笛卡尔思考着：几何图形是直观的，而代数方程是抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来研究呢？他苦苦探索，做梦都在想办法。梦中的蜘蛛网让他有了灵感，于是，坐标系产生了，形与数统一了，解析几何诞生了，数学从此发生重大转折。欧拉在思考着：怎样才能不重复、不遗漏地一次走完格尼斯堡上的七座桥，最后回到出发点呢？他巧妙地将七桥问题转化成了一个几何问题，从对一笔画的研究入手来分析解答。结果，答案有了，数学的一个新的分支——图论与几何拓扑产生了，数学又增添了全新的研究领域……
可见，正是人类不断地思考，不断地探索，才造就了数学今天的壮丽和完美。数学，从来就是与“思考”紧密相连！
二、思考是数学的本质特征
思考，如此的重要，那它究竟为何物？它与数学又有何关联呢？
翻看《现代汉语词典》：“思考是指进行比较深刻、周到的思维活动。”词典中对“思维”的解释是：“思维是指在表象和概念的基础上进行综合、分析、判断、推理等认识活动的过程。思维是人类特有的一种精神活动，是从社会实践中产生的。”若将两个概念合在一起，我们不妨可将思考理解为“人类所特有的比较深刻、周到的综合、分析、判断、推理等认识事物的精神活动（过程）。”
那么，当我们回看数学的产生和发展，就会发现，伴随数学一路走来的，正是人类各种各样的、深刻周到的认识事物的精神活动。扳手指、用小石子来记数，其核心就是“一一对应”的思想；刻画记号，那就是“形象”和“直观”的萌芽；说明边长为1的正方形对角线不能用整数或整数比表示，用到的是“反例”和“推理”的思想；笛卡尔实现数与形的结合借助的是“想象”和“顿悟”；欧拉构建出数学模型是以“抽象”、“转化”为方法……
以上种种精神活动，不都是人类特有的认识事物的方式吗？不都呈现出了深刻而周到的鲜明特征吗？
所以，这些精神活动显然都是“思考”！
由此，我们也可以清晰地体会到，人类正是因为具备了这些“思考”，才推动了数学及科技的进步，才使得“生命日益充实与强盛”。同时，我们也必定深切地感受到，人类具备的这些“思考”，早已经和数学相伴而行了千万年，早已经和数学紧紧地融为一体而不可分了。所以，数学一定是蕴含着思考，一定是展现着思考。
时至今日，哪怕数学已成为了一门人人都要学习的学科，哪怕是在一个普普通通的数学学习内容中，数学这样的特征，还是一览无遗地显现着。
如“10的组成”，蕴含着“有序思考”；“20以内的加法”，蕴含着“多样化和优化”；“认识乘法”，蕴含着“比较、归纳”；“四边形的认识”，蕴含着“分类、抽象”；……
不用再多举例子，因为每个数学知识都是人类“思考”的结果，所以它一定是承载着能提升人认识事物能力的思维方式和思想方法。数学知识，本质上就是一个承载“思考”的载体；学数学，本质上就是要领悟其中的“思考”。
所以，人们大胆地表达着这样的观点——“思考是学生学习数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征。”（孔企平）
三、教数学重在教人思考
毫无疑问，教数学必须要将启发学生思考、发展学生思维作为重要的目标来追求。
承载着新时期教育使命的《义务教育数学课程标准（2011年版）》，清晰地展现着这样的理念。在“前言”部分，它就指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。在课程的“总目标”中，更是明确地提出了“数学思考”的目标：
●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。
●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。
●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
从这些描述“数学思考”的语句中，我们可以看到，所谓“数学思考”，实则就是在数学学习活动过程中所进行的思维活动，以及通过这样的活动所积累的思维方式和思想方法。
目的和意义已无需多讲，我们要考虑的，就是如何在日常教学中去落实这样的“数学思考”目标。笔者以为，关注以下几个方面，将有利于目标的实现。 1.准确定位展现数学思考的教学目标
教学目标，是课堂内涵的反映。想要通过课堂引发学生数学地思考，发展思维能力，就需要教师准确地剖析教学内容中的“数学思考”点，并把它作为重要的教学目标予以呈现。如此，课堂才会有教学的“灵魂”和方向。
首先要将“数学思考”内涵定下来。大多数教学内容，教师通过自己的教学经验就能知道其中的“数学思考”点。如看到“平行四边形面积”，马上就可想到“转化”思想；看到“搭配”，也不难意识到“分类讨论”和“有序思考”。但有些教学内容，要把握其中的“数学思考”点，则需要教师对课程标准的核心词有深入理解。如看到“加法交换律和结合律”的内容编排，教师应当意识到，像教材中那样通过大量举例归纳得出结论的方法，是一种“合情推理”——从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。
然后要把“数学思考”目标讲清楚。目标不仅仅就是呈现出一个或几个包含有“数学思考”内涵的名词，它更需要执教者清楚地表述出是以怎样的过程和方法来追求（达成）这个目标的。如一位教师要上一节图形与几何的课，他把课的过程性目标确定为“通过观察、比较、想象、操作等活动，使学生发展形象思维，提升空间观念。”如此的表述，既意味着教师已明确了本课的“数学思考”点，更说明教师已经设想好了实现这些“数学思考”目标该采取的行为。在这样的目标引领下的教学，我们才有可能让学生围绕“数学思考”开展学习，得到收获。
2.巧妙设计促使学生思考的教学过程
有了明确的目标，还需要一个与之匹配的教学过程。在这个过程中，无论是学习情境、学习材料、教学环节，还是教学形式，都应当紧紧贴着“数学思考”目标，并为这个目标的实现“推波助澜”。
如在学习情境方面，教师应当尽可能选用或创设蕴含较强思考成分的情境，以激发学生挑战的愿望，促使学生深入研究。如一位教师教学“三位数乘两位数的练习”，“数学思考”目标之一是培养学生的数感。他引导学生编制了一道题目“999×99”，然后要求学生不可以笔算，依次解决“答案是几位数”和“98999、99901、98901三个答案哪个对”两个问题。结果，学生在这样的挑战性情境中，充分展现了自己的能力，观察、比较、估算、巧算、推理等各种各样的方法纷纷出现，整个学习过程充满张力，思维激扬。
又如在教学环节方面，我们也应当基于为促进学生的思考而考虑环节的摆布、环节的转换等。如一位教师教学“三角形三边关系”，新授部分是三个环节。第一环节让学生借助小棒，研究“两条短边之和小于长边”的情况，时间很短，学生主要是理解小棒围三角形的方法。第二环节也是借助小棒，研究“两条短边之和大于长边”的情况，时间略长，学生主要是理解为什么能围成三角形的道理（有重叠，可在端点运动路线交点处围成）。第三环节，教师不提供小棒，转为让学生想象“两条短边之和等于长边”的情况，并以自己个性化的经验来说明到底能不能围成三角形。结果，学生展现出了不同层次的空间想象水平，能力得到提升。
3.灵活运用激励学生思考的教学方式
在课堂实施中，一定存在很多可以启迪学生数学思考的机会，如学生一个特别的问题，一个精彩的回答，一种有趣的算法，等等。教师要善于抓住这样的机会，或语言引导，或行为跟进，以各种灵活的方式引导学生朝思维的更深处行进。
如一位教师教学“运算定律总复习”，师生共同回顾梳理各个运算定律时，一位学生提出“除法也有分配律，是（a b）÷c=a÷c b÷c”。其他学生哗然，有人说不对，有人说对。只见教师不慌不忙，一个问题马上跟进：“对还是不对，你们有什么办法说明？”等学生举例验证认可后，又一个问题：“那么这个为什么不叫除法分配律？”两个问题，让学生经历了“举例”、“转化”等数学思想的洗礼。
课堂实施中，教师多用以下的语言来引导，就能有效促进学生的思考。“你是怎样想的？”——这是引导学生反思和有条理说明思考过程的常规手段。“还有没有其他的解法？”——这是扩大学生思考面的好途径。“如果……会怎么样？”——这是促使学生深入思考的有效策略。其实，教师的课堂上有怎样的语言或行为，与教师的信念紧密相关。教师只要是想着“我要引导学生多思考”，自然会时刻关注学生，从而产生相应举动。
上述三个策略，分别指向于目标定位、过程设计、课堂调控这三个教学要素，但数学教学的元素，远不止这三个，如何教人思考，更不是一两个例子所能言尽的。数学教学，如何与思考同行，需要我们更深入的研究。
（责编 金 铃）