九年级的同学可能都做过下面这道题，但这道题究竟是两解，还是多解，在许多同学心中至今还是个谜. 下面与大家共同探究这道题.
　　 题目 若一元二次方程的两根之比是３ ∶ ４，其判别式的值等于９，求这个方程.
　　 分析 一般地，同学们的解法是先将方程的两根分别设为３ｋ，４ｋ. 利用韦达定理做一个一元二次方程. 利用已知条件Δ ＝ ９，建立关于ｋ的方程，从而求解.
　　
　　 ∴所求方程是ｘ２ － ２１ｘ ＋ １０８ ＝ ０或ｘ２ ＋ ２１ｘ ＋ １０８ ＝ ０.
　　 提出问题 解题过程看不出有什么不合理的地方，但满足题目中的两个条件的一元二次方程是否只有两个？请看下面两个方程：
　　
　　 其中ａ是非零的任意实数，由此可知满足上述两个条件的方程有无数多个.
　　 比较两种解法的结果，不难发现前者是后者当ａ ＝ １时的特殊情况.
　　 所以此题的正确答案应该是解法二的结果. 如果希望学生用解法一求解，原题目应再加条件. 例如可改为若已知一元二次方程ｘ２ ＋ ｐｘ ＋ ｑ ＝ ０的两根之比是３∶４，其判别式的值等于９，求这个方程. 不难看出这里对ａ已限定为１了. 答案就变为两解，即所求方程是ｘ２ ± ２１ｘ ＋ １０８ ＝ ０.
　　 （１） 应当注意在方程ａｘ２ ± ２１ｘ ＋＝ ０（ａ ≠ ０）中当ａ的值确定了，即可得到与ａ的取值相对应，且满足上述两个条件的一元二次方程，并且只有两个. 例如，当ａ ＝ ２时，方程为２ｘ２ ± ２１ｘ ＋ ５４ ＝ ０；当ａ ＝ ５时，方程５ｘ２ ± ２１ｘ ＋ ＝ ０.
　　 （２） 所求方程，在整理过程中，可以在方程一边作恒等变形. 例如，常数项中可约分为５４. 不可以在方程两边作同解变形，例如去分母等，否则，得到的是同解方程，其Δ的值会发生变化.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”