摘要：本文首先对凸函数的有关概念进行阐述，然后对凸函数的运算性质进行简要分析，最后通过举例的方式对凸函数的具体应用进行了重点探讨。
　　关键词：凸函数；运算；应用
　　在高等数学课程学习中，当运用导数对函数性态进行探讨时，往往遇到凸函数。凸函数是一种特殊函数，其具有一些性质能对某些初等不等式、函数不等式及积分不等式进行简单证明。下面就对凸函数的性质及其应用展开详细探讨。
　　一、 凸函数的有关概念
　　定义1若函数f（x）对于区间（a，b）内的任意x1，x2以及λ∈（0，1），恒有
　　f[λx1 （1-λ）x2]≤λf（x1） （1-λ）f（x2），
　　则称f（x）为区间（a，b）上的凸函数。
　　二、 凸函数的运算性质
　　性质1若f（x）为区间I上的凸函数，k为非负实数，则kf（x）也为区间I上的凸函数。
　　性质2若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，则f（x） g（x）也为区间I上的凸函数。
　　推论若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，k1，k2为非负实数，则k1f（x） k2g（x）也为区间I上的凸函数。
　　性质3若f（x）为区间I上的凸函数，g（x）为J上的凸增函数，且f（I）J，则g·f为区间I上的凸函数。
　　性质4若f（x），g（x）均为区间I上的凸函数，则F（x）=max{f（x），g（x）}也是区间I上的凸函数。
　　上述性质很容易证明，故在此省略。
　　三、 凸函数的应用
　　在学习初等数学与数学分析时，证明不等式是一项关键的学习内容，通过对凸函数理论的应用，能有效简化许多不等式的证明过程。下面具体分析：
　　例1求证：对任意实数a，b，有ea b2≤12（ea eb）。
　　证明设f（x）=ex，则f″（x）≥0，x∈（-∞， ∞）故f（x）=ex 为（-∞， ∞）上的凸函數。从而对x1=a，x2=b，λ=12有定义
　　fx1 x22≤12[f（x1） f（x2）]。
　　即得
　　ea b2≤12（ea eb）。
　　注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就能导出结果。
　　例2设0　　证明设f（x）=（1 x）1-a（1-xa）（0　　那么f′（x）=（1-a）（1 x）-a（1-xa） （1 x）1-a（-axa-1），
　　f″（x）=-a（1-a）（1 x）-1-a（1-xa）-a（1-a）（1 x）-axa-1-a（1-a）（1 x）-axa-1-a（1-a）（1 x）1-axa-2=-a（1-a）（1 x）-1-a[（1-xa） （1 x）xa-1 xa-1（1 x）-（1 x）2xa-2]=-a（1-a）（1 x）-1-a（1-xa-2）=a（1-a）（1 x）-1-a（xa-2-1）。
　　于是，当00，由严格凸函数的定义，其中λ=x，x1=1，x2=0，得f（x）=f[x·1 （1-x）·0]　　即（1 x）1-a（1-xa）<1-x。
　　注：该题运用了定理1及推论1的结论。
　　例3在△ABC中，证明
　　sinA sinB sinC≤332。
　　证明 令f（x）=-sinx，x∈（0，π），f″（x）=sinx>0，x∈（0，π）由应用2得f（A） f（B） f（C）3≥FA B C3，即
　　sinA sinB sinC≤sinA B C3≤sinπ3=32，
　　所以sinA sinB sinC≤332。
　　例4设a1、a2、…、an均为正数，且a1 a2 … an=1。求证：
　　a1 1a12 a2 1a22 … an 1an2≥（1 n2）2n。
　　证明因为f（x）=x2是凸函数，由凸函数的性质有
　　a1 1a12a2 1a22 … an 1an2
　　≥na1 1a1 a2 1a2 … an 1ann2
　　=1n1 1a1 1a2 … 1an2。（1）
　　由柯西不等式：∑ni=1ai2·∑ni=1bi2≥∑ni=1aibi2得
　　1a1 1a2 … 1an=1a1 1a2 … 1an·1 =1a1 1a2 … 1an（a1 a2 … an）≥n2，
　　∴1a1 1a2 … 1an≥n2，由（1））即得
　　a1 1a12a2 1a22 … an 1an2≥（1 n2）2n。
　　参考文献：
　　[1] 华东师范大学数学系编.数学分析上第三版[M].北京：高等教育出版社，2001：148-154.
　　[2] 李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）[M].西安：西安交通大学出版社，2004，1：265-269.
　　作者简介：陈飞翔，重庆市重庆三峡学院数学与统计学院。