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【摘要】
本文从细观尺度研究受拉水泥基复合材料中倾斜纤维的桥联行为，提出细观约束变位模型以解决承受轴拉的随机各向分布纤维增强混凝土的力学性能。通过将单根随机纤维的理论解在三维空间进行积分运算可以有效地描述受拉纤维混凝土的受力过程。给出拉拔力与裂纹张开位移及纤维倾斜角的函数关系，所绘制的圆直纤维混凝土σ-ω曲线与试验结果有较好的一致性。
【关键词】 纤维混凝土；裂纹张开位移；拉拔力；变位约束细观模型
Micromechanic Solution of Variable Engagement Model For Inclined Crack-Bridging Fiber Reinforced Concrete Under Uniaxial Tension
Zhang Shu-feng
(Guilin building design and research instituteGuilinGuangxi541000)
【Abstract】In this paper, a model named the Micromechanical Variable Engagement Model is developed to describe the behaviour of randomly orientated discontinuous fibre reinforced composites subject to uniaxial tension. The model is developed by integrating the behaviour of single, randomly oriented, fibres over 3D space and is capable of describing the peak and post-peak response of fibre-cement-based composites in tension. The functional relationship of pullout force, total consumed energy, COD and inclined angle is demonstrated. The analytical results show that the model can preliminarily simulate the elastic pullout behaviour of inclined steel crack-bridging fiber.
【Key words】Fiber reinforced concrete；Crack opening displacement；Pullout load；Micromechanical variable engagement model
纤维增强水泥基复合材料在土木工程建筑、交通运输、国防工程等领域有着广泛的应用背景。由于县委的加入，改变了基体内部局域应力场的分布，可以改善基体材料的某些性能。因此，了解细观尺度纤维与基体的相互作用机制，对于复合材料性能的设计和优化有重要的意义。目前，关于细观尺度的研究主要集中于描述纤维体拔出基体过程的脱粘、滑动以及摩擦作用模型的建立。使用离散的延性纤维增强混凝土类脆性材料一直是水泥基复合材料的重要研究课题。在短纤维增强复合材料中，纤维随机分散在基体材料中，它们与材料制备以及加载过程中产生的裂纹面有一定的角度，因此讨论倾斜纤维的桥联作用有一定的实用意义。
混凝土的抗拉强度可通过合理分布纤维得到提高。混凝土基体抗拉强度的降低主要是由于内部微裂纹、孔洞等细观固体缺陷的扩展产生。Romualdi［1］推测如这些细观固体缺陷受到约束，则裂纹扩展可被延缓并且材料抗拉强度得到提高。此外，纤维的存在也可提高混凝土的疲劳性能，延性、硬度、耐久性和吸收的能量从而提高其使用寿命。Visalvanich［2］针对随机分布的钢纤维增强砂浆考虑界面摩擦以及纤维的完全拔出建立了半经验模型。俞家欢［3］发现钢纤维与水泥基复合材料的结合力主要是机械力，因此锚固比粘结作用更大，纤维的平均拉力与通过断裂面的纤维数量无关，该结论与Naaman［4］相矛盾。Naaman［4］证实对于拉拔试验中倾斜或平行于外加应力的钢纤维，增强效果与穿越裂纹面的纤维数量成反比，与纤维方向关系不大。Pinchin［5］通过试验证实纤维周边致密的混凝土可有效地提高机械结合力从而增加拉拔力，而拉拔力的大小与纤维——基体间的错配有关。这种错配定义为纤维半径和混凝土收缩孔径的差值。Burakiewicz ［6］提出荷载——张开位移曲线的形状取决于纤维类型，端钩纤维比其余纤维（刻痕或光滑）的结合强度离散性要小，端钩、刻痕纤维拉拔过程中比光滑纤维需要更多的能量。界面结合强度取决于拉拔过程的加载速率，和纤维取向无关。刘文彦［7］研究纤维直径、基体性能和纤维埋入端长度对拉拔性能的影响，证实界面平均结合强度与埋入长度成反比，是纤维直径的增函数，基体强度与纤维拉拔强度无关，界面摩擦结合强度与基体抗压强度无关。
目前纤维——基体界面力学增强机理仍未有统一结论，混凝土与纤维组合方式的多样性使得建立通用的细观模型并不实际。然而工程上需要一种简单并准确的模型以描述受拉纤维混凝土的断裂模式，本文给出的变位约束细观模型可有效地解决这一问题。
1. 变位约束细观模型
如基体裂纹被许多弱结合力的纤维桥接，则裂纹的扩张被有效阻止，这是由于纤维脱粘、界面结合力的克服以及倾斜纤维的变形都需要吸收能量。图1显示ω=0时纤维内部作用力可忽略不计。随ω增加，断裂区域的纤维将产生变形。
对变位约束细观模型，有如下假定：
(1)纤维增强复合材料的整体性能可通过单根纤维在裂纹面上的性能进行空间求和而得到；
(2)纤维的几何中心在空间中均匀分布，所有纤维在任意方向的分布概率相等；
(3)所有纤维均从较短埋入端拔出，较长端纤维在基体中保持固定不动；
(4)纤维的弹性变形相对于滑移忽略不计；
(5)纤维弯曲刚度足够小以至于纤维弯曲过程中所吸收的能量忽略不计。
1.1拔出力与纤维倾角。
对锚固纤维，界面脱粘后纤维与基体间会产生滑移，并且ω＞滑移量。定义纤维有效约束时刻的COD为ωe，考虑θ=0时，并且θ=π/2时ωe无穷大。
图1纤维桥接裂纹示意图 (a)起裂前 (b)起裂后
选取连续函数ωe=αtanθ(1)
其中α为非连续纤维有效系数，与纤维方向和平均拔出长度有关。根据Banthia［8］试验，对端钩纤维有α=1.25。
对于变位约束细观模型，定义单根纤维承受拉力分别为：
Pf=0： ω＜ωe和＞la时
Pf=πdfτb(la-ω)： ωe＜ω≤la时 (2)
其中df为纤维直径，la为纤维埋入端初始长度，τb为开裂并滑移后纤维剩余埋入部分的平均剪应力，取为常数。
1.2约束角。
定义θcrit为临界约束角。在纤维倾角θ≤θcrit时纤维承受拉力，而θ>θcrit时纤维不承受拉力。由方程(1)可得：
θcrit=tan-1(ω/α)(3)
在给定裂纹张开位移ω下，随α增加θcrit减小。考虑纤维最大滑移ω=lf/2发生时极限角为
θlim=tan-1(lf/2α)(4)
在θ≥θlim时不仅纤维失去增强作用，而且还会因纤维——基体间薄弱界面的影响，使水泥基复合材料抗拉强度降低。
2. 三维随机分布纤维增强混凝土的整体方向因子与断裂能
对于三维随机分布纤维增强混凝土，Aveston［9］证明通过单位面积的纤维数量为pf/2，其中Pf为纤维体积率。对长度lf，直径df从较短埋入端拉出并通过裂纹面的纤维，Marti［10］证明在ω=0时，纤维平均埋入长度为lf/4，并且随着ω的增加，结合纤维的数量将减少。 改写(2)式为
Pf=kπdfτblf/2(5)
其中k为局部方向因子，有：
k=0， ω＜ωe 和 ω＞la时（6a）
k=2(la-ω)/lf， ωe ＜ω≤la时 (6b)
将方程(5)对单位面积进行积分可得拉应力：
σ=KfKdαfρfτb(7)
其中αf=lf/df为纤维长径比，Kf为整体方向因子，Kd为反映相邻纤维拔出时结合效率损失的损伤因子。随纤维体积率的增加Kd将减少，并且纤维成团缠绕在一起也会降低其增强效应，可知Kd为纤维数量、类型、基体强度以及COD的函数。对于工程上常用的纤维混凝土，如不存在纤维缠绕现象时，可近似选取Kd=1。
Kf可通过概率统计由纤维分布区域的形状得到。假设基体起裂时纤维仍有效约束，则
Kf=0.5(1-2ω/lf)2。
采用变位约束细观模型可得：Kf=1NΣNi=1ki(8)
其中N为穿过单位面积的纤维数量，Ki为第i根纤维的局部方向因子。将其代入方程(3)可得
Kf=limN→∞1N{Σθerit0k(ω)+Σπ/2θeritk(ω)}=limN→∞1N{Σθerit0k(ω)}(9)
假定随机分布穿过裂纹的每根纤维较短埋入部分的长度都在0和lf/2之间，则所有受约束纤维局部方向因子的平均值为
kave =12-ωlf(10)
假设粘结的纤维比例与ω成减函数的关系，并有
Kf=2θeritkaveπ•1-2ωlf(11)
其中方程(11)括号中代数项为在给定张开位移ω下未从基体中拉拔出来的纤维比例。将式(3)和(10)代入(11)式，有：
Kf=tan-1(ω/α)π1-2ωlf(12)
当α→0时，Kf值趋近于Marti［10］的数值解。图2中针对纤维长度lf=60mm和不同的α值给出了Kf与2w/lf的函数关系。α=0.5时，Kf的峰值在2ω/lf=0.074时得到。
图2时整体方向因子——张开位移曲线
纤维断裂能可通过式(7)在ω∈［0，lf/2］区间积分得到，此时
GF=∫lf /20σdω=Kdρfτbαf6π［M+N］(13a)
这里
M=θlimlf-3θlimlfctg2(θlim)(13b)
B=5α+2αln(cosθlim)(3-ctg2θlim)(13c)
其中(13)式为仅由纤维引起的断裂能。对钢纤维混凝土而言，基体的断裂能可忽略不计。但对玻璃、有机纤维增强混凝土则不然。假设拉拔过程中纤维并不断裂，则满足(14)式时方能成立(12)式。
lf＜lc=αf2σfuτb(14)
其中lc——临界纤维长度；σfu——纤维极限抗拉强度。
3. 应力——张开位移（σ-ω）模型
假设沿纤维长度剪应力均匀分布，由力平衡条件，任意方向的纤维满足(15)式时将发生断裂。 la≥df4σfuτb+ωe(15)
对给定ω，整体方向因子为
Kf=2π1lf/2-ω∫crit0∫la，critωk(la，θ)dladθ1-2ωlf(16)
其中la，crit为纤维能够发生断裂时的临界埋入长度，
la，crit=min(lc/2+ωe，lf/2)(17)
将(6)式代入(16)式得到：
Kf=4πl2f∫crit0{max(la，crit-ω，0)}2dθ(18)
其中θcrit由(3)式得到，方程(18)可通过数值积分求解。如lc＜lf则纤维不会断裂并且(18)式退化为(12)式。弯曲可减少纤维的轴向承载力，尤其对于延性较差的玻璃、碳纤维更是如此。而方程(14)和(15)中关于σfu的计算忽略纤维弯曲应力的影响。
4. 变位约束细观模型理论计算结果与试验验证
试验证实纤维类型，界面剪应力τb以及混凝土的单轴抗拉强度fct间存在联系。通过纤维拉拔试验可求出剪应力τb。对圆直型纤维增强混凝土，有τb=1.2fct。其中fct=0.33•fcm， fcm为圆柱形试件的平均抗压强度(MPa)。
对受拉基体，应力——张开位移之间有以下关系：σct θ=fcte-cω(19)
其中σct ——拉应力；ω——张开位移；c——衰减指数，对砼和砂浆分别有c=15和c=30。
4.1Barragán［11］进行了端钩钢纤维混凝土的单轴拉伸试验。5个完全相同的试件中，纤维长度lf=60mm,直径df=0.75 mm ，混凝土试件70天时抗压强度达到fcm=41MPa。纤维体积率为ρf=0.
45%，抗拉强度1000 MPa。圆柱形试件直径为150mm,表面刻槽15mm深。试验方案见图3。混凝土粗骨料最大粒径为12mm,水灰比0.57,砂灰比5.5。在变位约束细观模型中，混凝土抗拉强度为fct=0.33•fcm=2.1MPa，剪切力τb=5.3MPa，约束参数α= 0.2。
图4描述拉应力与张开位移ω的函数关系。阴影区为试验中5个试件的数据分布。尽管5个试件的试验过程和材料组成完全相同，但对于给定COD在开裂后应力值的误差仍可达30%,在ω达到2mm时，断裂能的变位约束细观模型的计算结果为1.62N/mm,而试验平均值为1.84N/mm,两者相差不大。
图3Barragán［11］ 试验装置及试件尺寸
图4Barragán［11］ 试验值和理论值比较
4.2Li［12］进行端钩钢纤维增强普通混凝土(fcm=52MPa)的单轴拉伸试验。纤维长度lf=30mm,直径df=0.5mm,抗拉强度σfu和弹性模量Es分别为1000MPa和200GPa，纤维体积率6%。混凝土基体成分为最大粒径10mm的粗骨料以及硅石灰，水灰比为0.45,试件的矩形截面尺寸为100mm×20mm,试验方案如图5所示，位移加载速率为0.004mm/min。混凝土基体抗拉强度为4.2 MPa，剪应力τb=10.5MPa ，由式(17)可知纤维临界长度lc=23.8mm，由此必有部分纤维发生断裂。采用式(18)计算整体方向系数Kf并选取约束参数α = 0.13。图6显示拉应力与张开位移ω的函数关系，可知VEM与试验结果吻合较好。
图5Li［12］拉拔试验装置及试件尺寸
图6Li［12］试验值和理论值比较
5. 结论
本文提出细观约束变位模型以解决承受轴拉的随机各向分布纤维增强混凝土的力学性能。该模型通过将单根随机纤维的理论解在三维空间进行积分运算可以有效地描述受拉纤维混凝土的受力过程。通过与研究者Lim［11］所进行的轴拉纤维混凝土试验的比较验证了该模型的准确性，所绘制的σ～ω曲线与试验结果吻合。证实该弹性模型可以较好模拟纤维的破坏机理，但将其扩展为弹塑性模型以模拟加载，屈服及卸载等过程仍需要更为深入的研究。
参考文献
［1］Romualdi, J.P., and Batson, G.B., 1963. "Behaviour of Reinforced Concrete Beams with Closely Spaced Reinforcement", Journal of the American Concrete Institute, Proceedings Vol. 60, No. 6, June, pp: 775-789.
［2］Visalvanich, K., and Naaman, A.E., 1983. "Fracture Model for Fibre Reinforced Concrete", ACI Journal, Vol. 80, No. 2, pp: 128-138.
［3］俞家欢，张峰，贾连光，钢纤维混凝土配合比优化设计，沈阳工业大学学报，2006，No4,182-187
［4］Naaman, A.E., and Shah, S.P., 1976. "Pull-Out Mechanism in Steel Fiber-Reinforced Concrete", Journal of the Structural Division, Proceedings of ASCE, Vol. 102, No. ST8, August, pp: 1537-1548.
［5］Pinchin, D.J., and Tabor, D., 1978. "Interfacial Contact Pressure and Frictional Stress Transfer in Steel Fiber", Proceeding, RILEM Symposium on Testing and Test Methods of FibreCement Composites, R.N. Swamy, ed., The Construction Press, pp: 337-334.
［6］Burakiewicz, A., 1978. "Testing of Fibre Bond Strength in Cement Matrix," Testing and Test Methods if Fibre Cement Composites, RILEM Symposium, The Construction Press, Lancaster, pp: 355-365.
［7］刘文彦，徐松林，唐志平，水泥基复合材料中倾斜钢纤维细观桥联模型，工程力学，Vol. 21, No.3, pp:138-145，2004.
［8］Banthia, N., and Trottier, J.F., 1994. "Concrete Reinforced with Deformed Steel Fibers, Part 1: Bond-Slip Mechanisms", ACI Materials Journal, September-October, pp: 435-446.
［9］Aveston, J., and Kelly, A., 1973. "Theory of Multiple Fracture of Fibrous Composites", Journal of Materials Science, Vol. 8, pp: 352-362.
［10］Marti, P., Pfyl, T. Sigrit, Viktor, and Ulaga, T., 1999. "Harmonized Test Procedure for Steel Fibre-Reinforced Concrete", ACI Materials Journal, Vol. 96, No. 6, Nov-Dec, pp: 676-685.
［11］Barragán, B.E., Gettu, R., Martín, M.A., and Zerbino, R.L., 2003. "Uniaxial Tension Test for Steel Fibre Reinforced Concrete - A Parametric Study", Cement and Concrete Composites, Volume 25, Number 7, October 2003, pp. 767-777(11)
［12］Li, Z., Li F., Chang, T.Y P., and Mai, Y.W., 1998. "Uniaxial Tensile Behavior of Concrete Reinforced with Randomly Distributed Short Fibers", ACI Materials Journals, Vol. 15, No. 5, Sep-Oct, pp: 564-574.
［文章编号］1619-2737（2011）04-20-025
［作者简介］张树峰（1964-）男,教授级高工,从事纤维混凝土、组合结构研究。
本文从细观尺度研究受拉水泥基复合材料中倾斜纤维的桥联行为，提出细观约束变位模型以解决承受轴拉的随机各向分布纤维增强混凝土的力学性能。通过将单根随机纤维的理论解在三维空间进行积分运算可以有效地描述受拉纤维混凝土的受力过程。给出拉拔力与裂纹张开位移及纤维倾斜角的函数关系，所绘制的圆直纤维混凝土σ-ω曲线与试验结果有较好的一致性。
【关键词】 纤维混凝土；裂纹张开位移；拉拔力；变位约束细观模型
Micromechanic Solution of Variable Engagement Model For Inclined Crack-Bridging Fiber Reinforced Concrete Under Uniaxial Tension
Zhang Shu-feng
(Guilin building design and research instituteGuilinGuangxi541000)
【Abstract】In this paper, a model named the Micromechanical Variable Engagement Model is developed to describe the behaviour of randomly orientated discontinuous fibre reinforced composites subject to uniaxial tension. The model is developed by integrating the behaviour of single, randomly oriented, fibres over 3D space and is capable of describing the peak and post-peak response of fibre-cement-based composites in tension. The functional relationship of pullout force, total consumed energy, COD and inclined angle is demonstrated. The analytical results show that the model can preliminarily simulate the elastic pullout behaviour of inclined steel crack-bridging fiber.
【Key words】Fiber reinforced concrete；Crack opening displacement；Pullout load；Micromechanical variable engagement model
纤维增强水泥基复合材料在土木工程建筑、交通运输、国防工程等领域有着广泛的应用背景。由于县委的加入，改变了基体内部局域应力场的分布，可以改善基体材料的某些性能。因此，了解细观尺度纤维与基体的相互作用机制，对于复合材料性能的设计和优化有重要的意义。目前，关于细观尺度的研究主要集中于描述纤维体拔出基体过程的脱粘、滑动以及摩擦作用模型的建立。使用离散的延性纤维增强混凝土类脆性材料一直是水泥基复合材料的重要研究课题。在短纤维增强复合材料中，纤维随机分散在基体材料中，它们与材料制备以及加载过程中产生的裂纹面有一定的角度，因此讨论倾斜纤维的桥联作用有一定的实用意义。
混凝土的抗拉强度可通过合理分布纤维得到提高。混凝土基体抗拉强度的降低主要是由于内部微裂纹、孔洞等细观固体缺陷的扩展产生。Romualdi［1］推测如这些细观固体缺陷受到约束，则裂纹扩展可被延缓并且材料抗拉强度得到提高。此外，纤维的存在也可提高混凝土的疲劳性能，延性、硬度、耐久性和吸收的能量从而提高其使用寿命。Visalvanich［2］针对随机分布的钢纤维增强砂浆考虑界面摩擦以及纤维的完全拔出建立了半经验模型。俞家欢［3］发现钢纤维与水泥基复合材料的结合力主要是机械力，因此锚固比粘结作用更大，纤维的平均拉力与通过断裂面的纤维数量无关，该结论与Naaman［4］相矛盾。Naaman［4］证实对于拉拔试验中倾斜或平行于外加应力的钢纤维，增强效果与穿越裂纹面的纤维数量成反比，与纤维方向关系不大。Pinchin［5］通过试验证实纤维周边致密的混凝土可有效地提高机械结合力从而增加拉拔力，而拉拔力的大小与纤维——基体间的错配有关。这种错配定义为纤维半径和混凝土收缩孔径的差值。Burakiewicz ［6］提出荷载——张开位移曲线的形状取决于纤维类型，端钩纤维比其余纤维（刻痕或光滑）的结合强度离散性要小，端钩、刻痕纤维拉拔过程中比光滑纤维需要更多的能量。界面结合强度取决于拉拔过程的加载速率，和纤维取向无关。刘文彦［7］研究纤维直径、基体性能和纤维埋入端长度对拉拔性能的影响，证实界面平均结合强度与埋入长度成反比，是纤维直径的增函数，基体强度与纤维拉拔强度无关，界面摩擦结合强度与基体抗压强度无关。
目前纤维——基体界面力学增强机理仍未有统一结论，混凝土与纤维组合方式的多样性使得建立通用的细观模型并不实际。然而工程上需要一种简单并准确的模型以描述受拉纤维混凝土的断裂模式，本文给出的变位约束细观模型可有效地解决这一问题。
1. 变位约束细观模型
如基体裂纹被许多弱结合力的纤维桥接，则裂纹的扩张被有效阻止，这是由于纤维脱粘、界面结合力的克服以及倾斜纤维的变形都需要吸收能量。图1显示ω=0时纤维内部作用力可忽略不计。随ω增加，断裂区域的纤维将产生变形。
对变位约束细观模型，有如下假定：
(1)纤维增强复合材料的整体性能可通过单根纤维在裂纹面上的性能进行空间求和而得到；
(2)纤维的几何中心在空间中均匀分布，所有纤维在任意方向的分布概率相等；
(3)所有纤维均从较短埋入端拔出，较长端纤维在基体中保持固定不动；
(4)纤维的弹性变形相对于滑移忽略不计；
(5)纤维弯曲刚度足够小以至于纤维弯曲过程中所吸收的能量忽略不计。
1.1拔出力与纤维倾角。
对锚固纤维，界面脱粘后纤维与基体间会产生滑移，并且ω＞滑移量。定义纤维有效约束时刻的COD为ωe，考虑θ=0时，并且θ=π/2时ωe无穷大。
图1纤维桥接裂纹示意图 (a)起裂前 (b)起裂后
选取连续函数ωe=αtanθ(1)
其中α为非连续纤维有效系数，与纤维方向和平均拔出长度有关。根据Banthia［8］试验，对端钩纤维有α=1.25。
对于变位约束细观模型，定义单根纤维承受拉力分别为：
Pf=0： ω＜ωe和＞la时
Pf=πdfτb(la-ω)： ωe＜ω≤la时 (2)
其中df为纤维直径，la为纤维埋入端初始长度，τb为开裂并滑移后纤维剩余埋入部分的平均剪应力，取为常数。
1.2约束角。
定义θcrit为临界约束角。在纤维倾角θ≤θcrit时纤维承受拉力，而θ>θcrit时纤维不承受拉力。由方程(1)可得：
θcrit=tan-1(ω/α)(3)
在给定裂纹张开位移ω下，随α增加θcrit减小。考虑纤维最大滑移ω=lf/2发生时极限角为
θlim=tan-1(lf/2α)(4)
在θ≥θlim时不仅纤维失去增强作用，而且还会因纤维——基体间薄弱界面的影响，使水泥基复合材料抗拉强度降低。
2. 三维随机分布纤维增强混凝土的整体方向因子与断裂能
对于三维随机分布纤维增强混凝土，Aveston［9］证明通过单位面积的纤维数量为pf/2，其中Pf为纤维体积率。对长度lf，直径df从较短埋入端拉出并通过裂纹面的纤维，Marti［10］证明在ω=0时，纤维平均埋入长度为lf/4，并且随着ω的增加，结合纤维的数量将减少。 改写(2)式为
Pf=kπdfτblf/2(5)
其中k为局部方向因子，有：
k=0， ω＜ωe 和 ω＞la时（6a）
k=2(la-ω)/lf， ωe ＜ω≤la时 (6b)
将方程(5)对单位面积进行积分可得拉应力：
σ=KfKdαfρfτb(7)
其中αf=lf/df为纤维长径比，Kf为整体方向因子，Kd为反映相邻纤维拔出时结合效率损失的损伤因子。随纤维体积率的增加Kd将减少，并且纤维成团缠绕在一起也会降低其增强效应，可知Kd为纤维数量、类型、基体强度以及COD的函数。对于工程上常用的纤维混凝土，如不存在纤维缠绕现象时，可近似选取Kd=1。
Kf可通过概率统计由纤维分布区域的形状得到。假设基体起裂时纤维仍有效约束，则
Kf=0.5(1-2ω/lf)2。
采用变位约束细观模型可得：Kf=1NΣNi=1ki(8)
其中N为穿过单位面积的纤维数量，Ki为第i根纤维的局部方向因子。将其代入方程(3)可得
Kf=limN→∞1N{Σθerit0k(ω)+Σπ/2θeritk(ω)}=limN→∞1N{Σθerit0k(ω)}(9)
假定随机分布穿过裂纹的每根纤维较短埋入部分的长度都在0和lf/2之间，则所有受约束纤维局部方向因子的平均值为
kave =12-ωlf(10)
假设粘结的纤维比例与ω成减函数的关系，并有
Kf=2θeritkaveπ•1-2ωlf(11)
其中方程(11)括号中代数项为在给定张开位移ω下未从基体中拉拔出来的纤维比例。将式(3)和(10)代入(11)式，有：
Kf=tan-1(ω/α)π1-2ωlf(12)
当α→0时，Kf值趋近于Marti［10］的数值解。图2中针对纤维长度lf=60mm和不同的α值给出了Kf与2w/lf的函数关系。α=0.5时，Kf的峰值在2ω/lf=0.074时得到。
图2时整体方向因子——张开位移曲线
纤维断裂能可通过式(7)在ω∈［0，lf/2］区间积分得到，此时
GF=∫lf /20σdω=Kdρfτbαf6π［M+N］(13a)
这里
M=θlimlf-3θlimlfctg2(θlim)(13b)
B=5α+2αln(cosθlim)(3-ctg2θlim)(13c)
其中(13)式为仅由纤维引起的断裂能。对钢纤维混凝土而言，基体的断裂能可忽略不计。但对玻璃、有机纤维增强混凝土则不然。假设拉拔过程中纤维并不断裂，则满足(14)式时方能成立(12)式。
lf＜lc=αf2σfuτb(14)
其中lc——临界纤维长度；σfu——纤维极限抗拉强度。
3. 应力——张开位移（σ-ω）模型
假设沿纤维长度剪应力均匀分布，由力平衡条件，任意方向的纤维满足(15)式时将发生断裂。 la≥df4σfuτb+ωe(15)
对给定ω，整体方向因子为
Kf=2π1lf/2-ω∫crit0∫la，critωk(la，θ)dladθ1-2ωlf(16)
其中la，crit为纤维能够发生断裂时的临界埋入长度，
la，crit=min(lc/2+ωe，lf/2)(17)
将(6)式代入(16)式得到：
Kf=4πl2f∫crit0{max(la，crit-ω，0)}2dθ(18)
其中θcrit由(3)式得到，方程(18)可通过数值积分求解。如lc＜lf则纤维不会断裂并且(18)式退化为(12)式。弯曲可减少纤维的轴向承载力，尤其对于延性较差的玻璃、碳纤维更是如此。而方程(14)和(15)中关于σfu的计算忽略纤维弯曲应力的影响。
4. 变位约束细观模型理论计算结果与试验验证
试验证实纤维类型，界面剪应力τb以及混凝土的单轴抗拉强度fct间存在联系。通过纤维拉拔试验可求出剪应力τb。对圆直型纤维增强混凝土，有τb=1.2fct。其中fct=0.33•fcm， fcm为圆柱形试件的平均抗压强度(MPa)。
对受拉基体，应力——张开位移之间有以下关系：σct θ=fcte-cω(19)
其中σct ——拉应力；ω——张开位移；c——衰减指数，对砼和砂浆分别有c=15和c=30。
4.1Barragán［11］进行了端钩钢纤维混凝土的单轴拉伸试验。5个完全相同的试件中，纤维长度lf=60mm,直径df=0.75 mm ，混凝土试件70天时抗压强度达到fcm=41MPa。纤维体积率为ρf=0.
45%，抗拉强度1000 MPa。圆柱形试件直径为150mm,表面刻槽15mm深。试验方案见图3。混凝土粗骨料最大粒径为12mm,水灰比0.57,砂灰比5.5。在变位约束细观模型中，混凝土抗拉强度为fct=0.33•fcm=2.1MPa，剪切力τb=5.3MPa，约束参数α= 0.2。
图4描述拉应力与张开位移ω的函数关系。阴影区为试验中5个试件的数据分布。尽管5个试件的试验过程和材料组成完全相同，但对于给定COD在开裂后应力值的误差仍可达30%,在ω达到2mm时，断裂能的变位约束细观模型的计算结果为1.62N/mm,而试验平均值为1.84N/mm,两者相差不大。
图3Barragán［11］ 试验装置及试件尺寸
图4Barragán［11］ 试验值和理论值比较
4.2Li［12］进行端钩钢纤维增强普通混凝土(fcm=52MPa)的单轴拉伸试验。纤维长度lf=30mm,直径df=0.5mm,抗拉强度σfu和弹性模量Es分别为1000MPa和200GPa，纤维体积率6%。混凝土基体成分为最大粒径10mm的粗骨料以及硅石灰，水灰比为0.45,试件的矩形截面尺寸为100mm×20mm,试验方案如图5所示，位移加载速率为0.004mm/min。混凝土基体抗拉强度为4.2 MPa，剪应力τb=10.5MPa ，由式(17)可知纤维临界长度lc=23.8mm，由此必有部分纤维发生断裂。采用式(18)计算整体方向系数Kf并选取约束参数α = 0.13。图6显示拉应力与张开位移ω的函数关系，可知VEM与试验结果吻合较好。
图5Li［12］拉拔试验装置及试件尺寸
图6Li［12］试验值和理论值比较
5. 结论
本文提出细观约束变位模型以解决承受轴拉的随机各向分布纤维增强混凝土的力学性能。该模型通过将单根随机纤维的理论解在三维空间进行积分运算可以有效地描述受拉纤维混凝土的受力过程。通过与研究者Lim［11］所进行的轴拉纤维混凝土试验的比较验证了该模型的准确性，所绘制的σ～ω曲线与试验结果吻合。证实该弹性模型可以较好模拟纤维的破坏机理，但将其扩展为弹塑性模型以模拟加载，屈服及卸载等过程仍需要更为深入的研究。
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［文章编号］1619-2737（2011）04-20-025
［作者简介］张树峰（1964-）男,教授级高工,从事纤维混凝土、组合结构研究。